본 연구의 대상은 Fig. 1과 같은 가스발생기 사이클 액체로켓엔진으로 이에 대한 엔진 모드 해석 모델은 [1]에 정의된 바 있다. 엔진 모드 해석에서 작동점 정의에 필요한 성능 변수는 연소기/가스발생기에 공급되는 추진제 유량과 연소기/가스발생기 연소 압력, 터빈과 펌프의 출력을 특정하는 물리량으로 정의되어야 한다. [1]에서 정의한 엔진 작동점을 나타내는 성능 변수는 다음과 같다.

Fig. 1 
Schematic of a gas generator cycle liquid propellant rocket engine.

• - 터보펌프 회전수
• - 산화제 유량
• - 산화제 펌프 토출압
• - 연료 펌프 토출압
• - 연소기 연소압력
• - 연소기 연료 유량
• - 가스발생기 산화제 유량
• - 가스발생기 연료 유량
• - 가스발생기 연소 압력
• - 터빈 adiabatic velocity
• - 터빈 효율
• - 터빈 출구 온도
• - 터빈 출구 압력

위의 성능변수가 엔진 구성품 간의 압력, 유량, 파워 균형을 나타내는 13개의 비선형 방정식에 의해 결정된다[1].

앞 절에서 정의된 성능 변수가 시험결과와 일치하도록 하기 위해서는 아래의 인자들을 보정해 주어야 한다.

• 연소기 특성 속도 : c^*_cc
• 연소기 추력 계수 : C_f
• 가스발생기 특성 속도 : c^*_gg
• 터빈 효율 : η_tb
• 터빈 후방 노즐목 유량계수 : Cd_tbe
• 산화제 펌프 유량-양정 곡선 : H(Q_o)
• 연료 펌프 유량-양정 곡선 : H(Q_f)
• 연소기 산화제 구간 유량계수 : Kv_CC
• 연소기 연료 구간 유량계수 : Kv_CCF
• 가스발생기 산화제 구간 유량계수 : Kv_GGO
• 가스발생기 연료 구간 유량계수 : Kv_GGF

연소기 유량은 연소기 노즐목 단면적(A_t), 연소기 압력(P_cc)에 비례하고 연소기 특성속도(c^*_cc)에 반비례 한다[2].

연소기 노즐목 단면적와 추진제 유량은 측정값이고 연소기 특성속도는 이론값(c^*_cc,i)으로 추정하므로 연소기 특성속도 효율(η_c*)를 정의하여 시험과 해석의 수치가 일치하도록 한다.

Eq.(4)와 같이 연소기 특성속도 효율(η_c*)을 정의하면 시험에서의 연소압에 해당하는 연소기 유량을 갖는 연소기 해석 모델을 정의할 수 있다. 실제 엔진 작동 중에는 연소기 압력의 측정 오차나 연소기 노즐목 면적의 제작 편차, 열팽창에 의한 노즐목 면적 변동이 연소압력에 미치는 영향도 존재하나 이를 따로 구분하여 파악하는 것이 어렵거나 불가능하므로 연소기 특성 속도 효율로 시험과 해석의 차이를 보정하는 것이다.

엔진 추력(F_engine)은 연소기 추력(F_cc)과 터빈배기노즐의 추력(F_tb)의 합이다. 만일 터빈 배기 노즐이 주추력 방향과 일치하지 않는 경우 주추력 방향 성분만을 고려해야 한다.

일반적인 가스발생기 사이클 엔진의 터빈 추력은 연소기 추력 대비 1%미만이므로 엔진 추력 추정에 미치는 영향은 무시할 만하다.

연소기 추력은 시험과 동일한 유량일 때 연소기 특성속도(c^*_cc), 연소기 노즐 추력 계수(C_f), 추진제 유량(m˙cc)의 곱에 비례한다[2].

따라서 엔진 추력을 아래와 같이

전개할 수 있다. 여기서 c^*_cc는 앞 절에서와 같이 연소기 압력을 시험과 일치하는 값으로 정의된 값이므로 연소기 노즐 추력 계수(C_f)를 보정에 활용한다.

엔진 시험에서 측정된 추력과 동일한 값이 해석에서 도출되도록 하려면 아래 식을 만족해야 한다.

여기서 F_tb은 터빈 유량과 가스의 물성치로부터 도출된 계산 값이고 C_fi는 추력 계수 이론값이다. c^*_cc는 앞절에서 연소기 압력을 정의하기 위해 정해지는 값이며 F_engine과 m˙cc는 시험 결과 획득되는 값을 대입하면 다음과 같이 추력계수 효율(η_Cf)을 정의할 수 있다.

Eq.(9)와 같이 연소기 추력계수 효율을 정의함으로써 실제 연소기 유량에 해당하는 추력이 발생하는 수학적 모델을 얻게 된다.

가스발생기 압력은 가스발생기 특성속도(c^*_gg), 추진제 유량(m˙gg)에 비례하고 터빈 노즐목 단면적(A_t,tb)에 반비례 한다.

터빈 노즐목 단면적와 추진제 유량은 측정값이고 가스발생기 특성속도는 이론값(c^*_gg,i)으로 추정하므로 가스발생기 특성 속도를 보정하는 계수를 정의하여 시험과 일치하도록 한다.

Eq.(13) 같이 가스발생기 특성속도 효율(η_c*gg)을 정의하면 시험에서의 가스발생기 유량에 해당하는 연소압력을 갖도록 보정할 수 있다. 실제 엔진 작동 중에는 가스발생기 압력의 측정 오차나 터빈 노즐목 면적의 제작 편차, 열팽창에 의한 노즐목 면적 변동이 가스발생기 연소압력에 미치는 영향도 존재하나 이를 따로 구분하여 파악하는 것이 어렵거나 불가능하므로 가스발생기 특성 속도 효율로 시험과 해석의 차이를 보정하는 것이다.

터빈 유량 시험 값과 해석 결과가 일치하도록 터빈 효율을 보정한다. 터빈 효율식은 공기를 이용한 터빈의 단독 수락시험결과로부터 획득한 수식이므로 터빈 기체의 특성과 차이를 보정해야 한다.

산화제 펌프 출력(W_op)과 연료 펌프 출력(W_fp)의 합이 터빈 출력(W_tb)과 동일해야 하므로

Eq.(14)와 같이 정의할 수 있고 터빈 수락 시험에서 정의된 효율(η_tb,at)과 엔진 시험 결과로 보정하는 계수(k_ηtb)를 도입한다.

터빈 출구 압력(P_tbe)은 터빈 후방 노즐목에서 폐쇄(choking)되므로 이론적으로 터빈 유량 (m˙gg), 터빈 후방 노즐목 면적(A_t,tbe)과 아래와 같은 관계식을 만족한다.

여기서 k_gg는 터빈 기체 비열비, R_gg는 터빈 기체 기체상수, T_tbe는 터빈 출구 온도이다.

엔진 시험에서와 동일한 터빈 유량-터빈 출구 압력 관계를 보이는 엔진 해석 모델을 획득하기 위해 터빈 후방 노즐목의 유량 계수 (Cd_tbe)의 값을 다음과 같이 정의한다.

터빈 후방 노즐목의 제작편차, 온도와 압력의 측정 오차도 해석과 시험 결과의 차이를 유발할 수 있으나 이는 별도로 구분하지는 않는다.

펌프 토출압은 펌프의 유량–양정 관계(Q-H curve)로부터 정의되는데 이 관계식은 물을 이용한 펌프 수락시험으로부터 얻는다. 이 값이 엔진시험에서 실제 유량 측정 오차, 시험 매질의 차이, 토출압 측정 오차 등으로 실제 펌프의 출구압과 해석결과의 차이를 보인다. 이를 개별적으로 분석하여 보정하지 않고 한꺼번에 보정 계수 (k_H)를 적용한다. 펌프 출구 전압(P_e)은 펌프 입구 전압(P_i)과 양정(H(Q))의 합으로 표현된다.

이로부터 산화제, 연료 펌프출구압력에 대한 보정 계수(k_H,op, k_H,fp)를 Eq. (20), (21)과 같이 정의한다.

연소기 산화제 구간(CCO) 유량계수(Kv_CCO)를 엔진 시험에서 획득한 유량과 차압으로 정의하면 터보펌프 회전수와 연소기 산화제 유량 관계가 시험과 동일한 엔진 해석 모델을 얻을 수 있다.

CCO 유량 계수는 일반적인 정의를 따라 측정된 유량(m˙gg,o), 측정된 추진제 온도와 압력으로 환산된 연료 밀도(ρ_o), 측정된 차압(dP)을 이용하여 Eq.(22)와 같이 정의된다[3].

여기서 ρ_w는 상온에서 물의 밀도이다.

구성품 수락시험을 통해 얻은 연소기 산화제 분사기, 종단 밸브, 배관 차압 특성의 합으로도 얻을 수 있는 값이지만 실제 엔진시험에서는 수락 시험과의 계측 오차, 시험 조건의 차이가 있으므로 엔진 시험 결과에서 얻은 Kv_CCO를 엔진 해석 모델에 적용한다.

연소기 연료 구간(CCF) 유량계수(Kv_CCF)를 보정하여 엔진 시험에서 획득한 유량과 차압으로 정의하면 연소기 혼합비와 연소기 연료 유량 관계가 시험과 동일한 엔진 해석 모델을 얻을 수 있다.

CCF 유량 계수는 일반적인 정의를 따라 측정된 유량(m˙cc,f), 측정된 추진제 온도와 압력으로 환산된 연료 밀도(ρ_f), 측정된 차압(dP)을 이용하여 Eq.(23)과 같이 정의된다.

구성품 수락시험을 통해 얻은 연소기 연료 분사기, 연소기 재생냉각 채널, 종단 밸브, 제어밸브, 배관 차압 특성의 합으로도 얻을 수 있는 값이지만 실제 엔진시험에서는 수락시험과의 계측 오차, 시험 조건의 차이가 있으므로 엔진 시험 결과에서 얻은 Kv_CCF를 해석 모델에 적용한다.

가스발생기 산화제 구간(GGO) 유량계수(Kv_GGO)를 엔진 시험에서 획득한 유량과 차압으로 정의하면 연소기 연소압과 가스발생기 산화제 유량 관계가 시험과 동일한 엔진 해석 모델을 얻을 수 있다.

GGO 유량 계수는 일반적인 정의를 따라 측정된 유량(m˙gg,f), 측정된 추진제 온도와 압력으로 환산된 산화제 밀도(ρ_o), 측정된 차압(dP)을 이용하여 Eq.(24)와 같이 정의된다.

구성품 수락시험을 통해 얻은 가스발생기 산화제 분사기, 종단 밸브, 제어밸브, 배관 차압 특성의 합으로도 얻을 수 있는 값이지만 실제 엔진시험에서는 수락시험과의 계측오차, 시험조건의 차이가 있으므로 엔진 시험 결과에서 얻은 Kv_GGO를 엔진 해석 모델에 적용한다.

가스발생기 연료 구간(GGF) 유량계수(Kv_GGF)를 엔진 시험에서 획득한 유량과 차압으로 정의하면 가스발생기 혼합비와 가스발생기 연료 유량관계가 시험과 동일한 엔진 해석 모델을 얻을 수 있다.

GGF 유량 계수는 일반적인 정의에 따라 측정된 유량(m˙gg,f), 측정된 추진제 온도와 압력으로 환산된 연료 밀도(ρ_f), 측정된 차압(dP)을 이용하여 Eq.(25)와 같이 정의된다.

구성품 수락시험을 통해 얻은 가스발생기 연료 분사기, 종단 밸브, 제어밸브, 배관 차압특성의 합으로도 얻을 수 있는 값이지만 실제 엔진시험에서는 수락시험과의 계측 오차, 시험조건의 차이가 있으므로 엔진 시험 결과에서 얻은 Kv_GGF를 엔진 시스템 해석 모델에 적용한다.

한국형 발사체 1, 2단에 적용될 75톤급 엔진은 액체산소/케로신 가스발생기 사이클 액체로켓엔진으로 2018년 4월 현재 개발 시험을 진행 중이다. 75톤급 엔진 시험 결과를 예제로 엔진 모드 해석 인자의 보정 전/후를 비교하였다(Fig. 2). 모드해석 인자를 별도로 정의하지 않고 구성품의 수락시험결과를 종합한 해석 결과는 시험 결과 대비 최고 8%의 차이를 보이지만 Table. 1과 같이 모드해석 인자를 보정할 경우 1%이하의 차이를 보임을 알 수 있다(Fig. 2).

Fig. 2 
Deviation between test and analysis in terms of parameter correction.