| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Многосолитонные решения двухкомпонентного уравнения Камассы–Холма и его редукций Гай-Хуа Ван School of Mathematics and Physics, Nanjing Institute of Technology, Nanjing, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923030029 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ данной работе рассматривается двухкомпонентное уравнение Камассы–Холма (уравнение 2КХ). Оно имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &m_t+um_x+2mu_x-\rho\rho_x=0, \\ &\rho_t+(u\rho)_x=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $m=u-u_{xx}+\kappa$, $u,\rho$ – функции от $x,t$, а $\kappa$ считается неотрицательным вещественным числом. Впервые это уравнение было предложено в работе [1] (и независимо в работе [2]). У этого уравнения есть пара Лакса [3] и бигамильтонова структура [1], которые являются важными атрибутами интегрируемых систем. Таким образом, это уравнение полностью интегрируемо. При $\rho=0$ уравнение (1) сводится к уравнению Камассы–Холма, которое является известным уравнением волн на мелкой воде и описывает однонаправленное распространение волн над плоским дном. Это уравнение получено из физических соображений Камассой и Холмом [4] (а также выведено из физических принципов Фокасом [5]). Оно имеет вид На самом деле уравнение Камассы–Холма впервые появилось в работе [6] и всесторонне подробно исследовалось (см., например, [7]–[19]). При замене в уравнении (1) $\rho\rho_x$ на $-\rho\rho_x$ оно превращается в похожую систему, а именно в другое двухкомпонентное уравнение Камассы–Холма (обозначим его КХ2), которое впервые появилось в работе [20], где оно было выведено в рамках три-гамильтоновой дуальности. Оба уравнения 2КХ и КХ2 считаются двухкомпонентными обобщениями уравнения Камассы–Холма (КХ) и привлекают большое внимание (см., например, [10], [21]–[38] и ссылки в этих работах). В частности, в работе [27] установлена связь между уравнением 2КХ (1) и отрицательными потоками иерархии АКНС и получены пиконы и многокинковые решения. Затем в работе [28] была найдена более простая связь между уравнением 2КХ и первым отрицательным потоком иерархии АКНС, а затем применено преобразование Дарбу для нахождения солитонных решений этого уравнения при $n\leqslant 4$. Кроме того, путем масштабирования переменных
$$
\begin{equation}
u=\epsilon^2\bar{u},\quad \rho=\epsilon \bar{\rho}, \quad m=\bar{m},\quad x=\epsilon \bar{x},\quad t=\frac{\bar{t}}{\epsilon}
\end{equation}
\tag{3}
$$
уравнение (1) переходит в двухкомпонентное уравнение Хантера–Сакстона (уравнение 2ХС) при $\epsilon\to 0$. Его можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bar{m}_{\bar{t}}+\bar{u}\bar{m}_{\bar{x}}+2\bar{m}\bar{u}_{\bar{x}}-\bar{\rho}\bar{\rho}_{\bar x}=0,\\ &\bar {\rho}_{\bar {t}}+(\bar {u}\bar {\rho})_{\bar {x}}=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $\bar{m}=-\bar{u}_{\bar{x}\bar{x}}+\kappa$, что отличается от $m$ в уравнении (1). Уравнение 2ХС – еще одна редукция уравнения 2КХ, оно является коротковолновым пределом уравнения 2КХ. Более того, уравнение 2ХС является частным случаем системы Гуревича–Зыбина [39], а его математические свойства подробно изучались во многих работах (см. [40]–[47] и ссылки в этих работах). Кроме того, при $\bar{\rho}=0$ уравнение 2ХС переходит в уравнение Хантера–Сакстона (ХС)
$$
\begin{equation}
\bar{u}_{\bar{x}\bar{x}\bar{t}}-2 \kappa \bar{u}_{\bar{x}}+\bar{u}\bar{u}_{\bar{x}\bar{x}\bar{x}}+2\bar{u}_{\bar{x}}\bar{u}_{\bar{x}\bar{x}}=0.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Впервые уравнение ХС было предложено Хантером и Сакстоном в качестве модели для изучения нелинейной неустойчивости в поле директора нематического жидкого кристалла [48], его также считают коротковолновым пределом уравнения КХ. Уравнение 2КХ и указанные выше его редукции полностью интегрируемы. Кроме того, уравнения 2КХ и 2ХС можно описать с помощью одной и той же пары Лакса
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Psi_{xx}&=\biggl(\frac{\mu}{4}-\lambda m+\lambda^2\rho^2\biggr)\Psi,\\ \Psi_t&=-\biggl(\frac{1}{2\lambda}+u\biggr)\Psi_x+\frac{1}{2}u_x\Psi, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $\lambda$ – спектральный параметр, $m=\kappa+\mu u-u_{xx}$. Уравнение (6) является парой Лакса для уравнения 2КХ при $\mu=1$, а при $\mu=0$ – парой Лакса для уравнения 2ХС. Система (6) сводится к спектральной задаче для уравнения КХ при $\rho=0$. Мы знаем, что преобразование Дарбу–Беклунда уравнения КХ, основанное на паре Лакса, отличается от стандартных. Расин и Шифф [13] исследовали преобразование Беклунда уравнения КХ, применяя преобразование взаимности, и использовали его для построения различных решений. Позже большое количество уравнений было исследовано методом преобразования Беклунда [49]–[52]. Под влиянием этих примеров мы также рассмотрим преобразование Беклунда для уравнений 2КХ и 2ХС, применяя соответствующим образом метод, указанный в работе [13]. Мы увидим, что уравнения КХ, 2ХС и ХС возникают из уравнения 2КХ при различных редукциях, что побуждает нас попытаться найти решения этих трех уравнений непосредственно из решения уравнения 2КХ с помощью метода преобразования Беклунда. Целью работы является построение преобразования Беклунда уравнения 2КХ и его использование для построения некоторых решений. Затем мы применяем другие редукции для нахождения решений уравнений КХ, 2ХС и ХС. Мацуно развивает систематический метод построения многосолитонных решений уравнения КХ2 методом билинейных преобразований [53], [54] и применяет в работе [11] редукцию для получения многосолитонных решений уравнений КХ и 2ХС из решений уравнения КХ2 путем преобразования переменных, связывающего $x,t,y,\tau$. В настоящей работе предлагается другой способ представления решений уравнения 2КХ и его редукций с помощью метода преобразования Беклунда. Анализируя решения уравнения 2КХ, мы получили различные решения, включая солитоны, кинки и петлевые решения. Более того, нетрудно получить решение уравнения КХ из решения уравнения 2КХ просто с помощью затравочного решения $\rho_0=0$ (ср. с решением в работе [11]). Предложенный Мацуно метод сведения уравнения 2КХ к уравнению 2ХС путем редукций позволяет получать решения уравнения 2ХС из решений уравнения 2КХ с помощью метода преобразования Беклунда путем масштабирования переменных и перехода к соответствующему пределу при $\kappa \neq 0$. Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы напоминаем преобразование взаимности уравнения 2КХ и преобразуем уравнение 2КХ в ассоциированное уравнение 2КХ. Затем с помощью преобразования взаимности и преобразования Беклунда для ассоциированного уравнения 2КХ получим преобразование Беклунда для уравнения 2КХ. На основе теоремы Бьянки предложена формула нелинейной суперпозиции для построения двухволнового решения. В разделе 3 исходя из затравочного решения $\rho=\rho_0$, $u=u_0$ получаем многосолитонное, многопетлевое и многокинковое решения уравнения 2КХ при $\kappa=0$ и $\kappa \ne 0$. Далее, переопределив затравочное решение $\rho_0=0$, получаем солитонное решение и каспон уравнения КХ. В разделе 4 мы провели соответствующее преобразование переменных при $\kappa\ne 0$ и выполнили нужный предельный переход с целью получения решений уравнений 2ХС и ХС из решений уравнения 2КХ. 2. Преобразование Беклунда и формула нелинейной суперпозиции для уравнения 2КХВ данном разделе мы строим преобразование Беклунда и формулу нелинейной суперпозиции для уравнения 2КХ. Для этого сначала напомним преобразование взаимности для уравнения 2КХ [27], [11]. Во втором уравнении (1), которое представляет собой закон сохранения, проведем преобразование взаимности $(x,t)\to (y,\tau)$ следующим образом: Таким образом, справедливы соотношения
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial x}=\rho\frac{\partial}{\partial y},\qquad \frac{\partial}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial\tau}-\rho u\frac{\partial}{\partial y}
\end{equation}
\tag{8}
$$
и
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial y}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x},\qquad \frac{\partial}{\partial \tau}=u\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial t}.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Под действием преобразования (8) уравнение 2КХ (1) преобразуется в уравнение относительно ($y,\tau$), которое можно назвать ассоциированным уравнением 2КХ. Его можно представить в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\rho_{y}-\biggl(\frac{m}{\rho^2}\biggr)_{\tau}=0,\\ &\rho_{\tau}+\rho^2u_{y}=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
$$
где $m=u+\rho(\ln\rho)_{y\tau}+\kappa$. Линейная спектральная задача (6) для уравнения 2КХ также изменяется и становится уравнением относительно ($y, \tau$) благодаря преобразованию (8). Осуществив деформацию, получим пару Лакса ассоциированного уравнения 2КХ где
$$
\begin{equation*}
U=\begin{pmatrix} \lambda&\dfrac{1}{\rho}\\ -\biggl(\dfrac{m}{\rho}+\rho_{y}\biggr)\lambda+\dfrac{1}{4\rho}&-\lambda \end{pmatrix},\qquad V=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}\rho(u_{y}-1)&-\dfrac{1}{2\lambda}\\\dfrac{1}{2}u+\dfrac{1}{2}\kappa-\dfrac{1}{8\lambda}&-\dfrac{1}{2}\rho(u_{y}-1) \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\Phi=(\phi_1,\phi_{2})^\mathrm{T}$. Отсюда получаем (10) с условием совместности $\Phi_{y\tau}=\Phi_{\tau y}$. Таким образом, преобразование Дарбу основано на системе (11). Начнем с элементарной матрицы $T$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\hat{\Phi}=T\Phi,\qquad T=\lambda F+G,\qquad F=(f_{ij})_{2\times2}, \qquad G=(g_{ij})_{2\times2},
\end{equation*}
\notag
$$
и $\hat{\Phi}$ удовлетворяет уравнениям
$$
\begin{equation*}
\hat{\Phi}_y=\hat{U}\hat{\Phi},\qquad \hat{\Phi}_\tau=\hat{V}\hat{\Phi},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\hat{\Phi}=(\hat{\phi}_1,\hat{\phi}_{2})^\mathrm{T}$, а выражения для $\hat{U},\hat{V}$ такие же, как и для $U$, $V$, с подстановкой $\hat{m}$, $\hat{\rho}$, $\hat{u}$ вместо $m$, $\rho$, $u$. После прямых вычислений найдем матрицы $F$ и $G$, в которых $f_{11}=b(y,\tau)$, $g_{21}=a(y,\tau)$, в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
F=\begin{pmatrix}b&0\\ \dfrac{b}{2}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{\alpha}{4a}& \dfrac{1}{b}\end{pmatrix}, \qquad G=\begin{pmatrix}2a&4a\\a&2a\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Продолжив анализ, получим связь между $b$ и $a$: где $\alpha$ служит соответствующим параметром Беклунда. Кроме того, получим также преобразование Беклунда для ассоциированного уравнения 2КХ в виде где $\eta=a^2$ и удовлетворяет уравнениям
$$
\begin{equation}
\eta_{y} =\frac{16}{\rho}((\rho u_{y}+u+\kappa)^2-\rho^2)\eta^2+\frac{1}{\rho}(2\alpha\rho u_{y}+2\alpha(u+\kappa)-1)\eta+\frac{\alpha^2}{16\rho},
\end{equation}
\tag{14}
$$
$$
\begin{equation}
\eta_{\tau} =\frac{8}{\alpha}(\rho^2-(u+\kappa)^2+2\rho u_{y\tau}-\rho^2u_{y}^2+2u_{\tau})\eta^2-\biggl(u+\kappa-\frac{1}{2\alpha}\biggr)\eta-\frac{\alpha}{32}.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Таким образом, с помощью преобразования взаимности и преобразования Беклунда (12)–(15) для ассоциированного уравнения 2КХ мы получили связь между $\hat{\rho}$, $\hat{u}$ и $\rho$, $u$ на плоскости $(x,t)$ в виде
$$
\begin{equation}
\hat{\rho} =\frac{\rho}{16((u+\kappa+u_x)^2-\rho^2)\eta+2\alpha (u_x+u+\kappa)+\alpha^2/16\eta},
\end{equation}
\tag{16}
$$
$$
\begin{equation}
\hat{u} =\frac{8}{\alpha}(\rho^2-(u+\kappa)^2+u_x^2+2(uu_x+uu_{xx}+(u+u_x)_t))\eta+\frac{1}{2\alpha}-\frac{\alpha}{32\eta}-\kappa,
\end{equation}
\tag{17}
$$
где
$$
\begin{equation}
\eta_x={}16((u+\kappa+u_x)^2-\rho^2)\eta^2+(2\alpha(u+\kappa+ u_x)-1)\eta+\frac{\alpha^2}{16},
\end{equation}
\tag{18}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \eta_t={}&8\biggl((\rho^2-(u+\kappa)^2-u_x(u_x+2u+2\kappa))\biggl(2u+\frac{1}{\alpha}\biggr)+\frac{2}{\alpha}[(u^2+\kappa u+uu_x)_x+{} \nonumber \\ &+(u+u_x)_t]\biggr)\eta^2-\biggl(2\alpha u(u+\kappa+u_x)+\kappa-\frac{1}{2\alpha}\biggr)\eta-\frac{\alpha (1+2\alpha u)}{32}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{19}
$$
Заметим, что независимая переменная $x$ в уравнении 2КХ также изменяется под воздействием преобразования Дарбу. Поэтому, чтобы получить преобразование Беклунда для уравнения 2КХ, нужно найти связь между $\hat{x}$ и $x$. Из преобразования взаимности (7) получим
$$
\begin{equation*}
d\hat{x}-dx=\biggl(\frac{1}{\hat{\rho}}-\frac{1}{\rho}\biggr)dy+(\hat{u}-u)d\tau=d(\ln |\eta|),
\end{equation*}
\notag
$$
что означает где $c_0$ – константа интегрирования. Таким образом получим преобразование Беклунда для уравнения 2КХ, а именно (16), (17), (20), при этом $\eta$ является решением уравнений (18), (19). Далее построим формулу нелинейной суперпозиции и двухволновое решение для уравнения 2КХ. Чтобы унифицировать стиль изложения, поясним и будем использовать обозначения, аналогичные обозначениям в нашей предыдущей работе [49]: решения $u$ (или $\rho$) уравнения 2КХ – решения, полученные с помощью преобразования Беклунда с параметрами $\alpha$ и $\beta$, будем обозначать $u_1$ (или $\rho_1$) и $u_2$ (или $\rho_2$), а решения уравнений (19), (20), соответствующие этим параметрам $\alpha$ и $\beta$, обозначим $a_1(\eta_1)$ и $a_{2}(\eta_{2})$ соответственно. Тогда на основе определения $a_1(\nu_1)$ (или $a_2(\nu_2)$), делая преобразование Беклунда снова с параметром $\beta$ (или $\alpha$), будем обозначать решения уравнения (18), (19) через $a_{12}(\nu_{12})$ (или $a_{21}(\nu_{21})$). Окончательные полевые переменные обозначим $u_{12}$ и $u_{21}$. Согласно перестановочной теореме Бьянки имеем соотношение $T(a_{12},\beta)T(a_1,\alpha)=T(a_{21},\alpha)T(a_{2},\beta)$, которое можно решить:
$$
\begin{equation}
\eta_{12}=\frac{(\alpha\eta_{2}-\beta\eta_1)(u+\kappa-\rho+u_x)\eta_{2}}{16\eta_1\eta_{2}(u+\kappa-\rho+u_x)(s_{2}-s_1)+\beta\eta_1s_{2}-\alpha\eta_{2}s_1},
\end{equation}
\tag{21}
$$
где $s_k=\rho_k-u_k-\kappa-(\rho_k/\rho)u_{k,x}$, $k=1,2$, и $\eta_1=a_1^2$, $\eta_{2}=a_{2}^2$, $\eta_{12}=a_{12}^2$, $\eta_{21}=a_{21}^2$. Тогда из (16), (17), (20) получим формулу нелинейной суперпозиции для уравнения 2КХ:
$$
\begin{equation}
\rho_{12}=\frac{\rho_1}{16((u_1+\kappa+u_{1x_1})^2-\rho_1^2)\eta_{12}+2\beta (u_1+\kappa+u_{1x_1})+\beta^2/16\eta_{12}},
\end{equation}
\tag{23}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{12}={}&\frac{8}{\beta}(\rho_1^2-(u_1+\kappa)^2+u_{1x_1}^2+2(u_1u_{1x_1}+u_1u_{1x_1x_1}+(u_1+u_{1x_1})_{t_1}))\eta_{12}+{} \\ &+\frac{1}{2\beta}-\frac{\beta}{32\eta_{12}}-\kappa, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
где $u_{1x_1}=u_{1x}(-F_{x_1}/F_x)$, $u_{1t_1}=u_{1t}-u_{1x}(F_t/F_x)$, $F=x_1-x-\ln|\eta_1|$. Далее эта формула нелинейной суперпозиции применяется для построения многосолитонных, многопетлевых и многокинковых решений уравнения 2КХ.
3. Решения уравнений 2КХ и КХВ разделе 2 получены выражения (16), (17) и (20) для $u_1$, $\rho_1$ и $x_1$, а также формулы нелинейной суперпозиции для них (22)–(24). Чтобы найти решение уравнения 2КХ в виде бегущей волны (более конкретно, солитонное решение, петлевое решение и кинк), начнем с постоянного затравочного решения $u=u_0$, $\rho=\rho_0$ и найдем $\eta$ как решение системы (18), (19), причем это решение $\eta$ связано с параметрами $\kappa$, $u_0$ и $\rho_0$. Если $\kappa \neq 0$, то
$$
\begin{equation}
\eta_1=\frac{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha(u_0+\kappa)-1}{32(\rho_0^2-(u_0+\kappa)^2)},
\end{equation}
\tag{25}
$$
где $U_1=\sqrt{4\alpha^2\rho_0^2-4\alpha(u_0+\kappa)+1}$, $z_1=x-(u_0+1/2\alpha)t-x_{01}$, $x_{01}$ – произвольная постоянная. Подставив (25) в (16), (17), (20), получим одноволновое решение уравнения 2КХ в параметрическом виде:
$$
\begin{equation}
x_1={} x+\ln\biggl|U_1\operatorname{th}\biggl(\frac{1}{2}U_1z_1\biggr)+2\alpha(u_0+\kappa)-1\biggr|+c_0,
\end{equation}
\tag{26}
$$
$$
\begin{equation}
\rho_1={} \rho_0 \biggl[\frac{1+2\alpha(u_0+\kappa)-U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)}{2} +\frac{2\alpha^2(\rho_0^2-(u_0+\kappa)^2)}{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha(u_0+\kappa)-1}\biggr]^{-1},
\end{equation}
\tag{27}
$$
$$
\begin{equation}
u_1={} \frac{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha(u_0-\kappa)+1}{4\alpha}-\frac{\alpha(\rho_0^2-(u_0+\kappa)^2)}{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha(u_0+\kappa)-1}.
\end{equation}
\tag{28}
$$
У системы (18), (19) есть другое решение, такое же, как (25), но с заменой функции $\operatorname{th}$ на $\operatorname{cth}$. Легко показать, что функция $x_1$ всегда сингулярна, это справедливо и для (20), поэтому мы обсудим только решение типа “$\operatorname{th}$” в качестве одноволнового решения. Перейдем теперь к решению (26)–(28). Чтобы получить вещественное решение, напишем $\alpha (u_0+\kappa)<\alpha^2\rho_0^2+1/4$. Как и в работах [13], [49]–[52], у нас нет гарантии того, что отображения из $x_1$ в $x$ являются биекциями. Поэтому первый шаг анализа указанного выше решения – установить, являются ли отображения из $x_1$ в $x$ биекциями. Мы нашли, что уравнение 2КХ имеет солитонные и петлевые решения при разных условиях. Например, при
$$
\begin{equation*}
(u_0+\kappa)^2>\rho_0^2, \qquad \frac{1}{2}<\alpha\rho_0<\alpha (u_0+\kappa)<\alpha^2\rho_0^2+\frac{1}{4}
\end{equation*}
\notag
$$
отображения из $x_1$ в $x$ являются биекциями, причем $u_1\to u_0$, $\rho_1\to \rho_0$ при $x\to\pm\infty$, что соответствует солитонному решению уравнения 2КХ, которое изображено на рис. 1. Это же решение также было получено в работе [11] при $\rho\to i\rho$. В другом случае, когда
$$
\begin{equation*}
(u_0+\kappa)^2>\rho_0^2, \qquad \alpha (u_0+\kappa)<\frac{1}{2}, \qquad \alpha^2\rho_0^2>\frac{1}{4}, \qquad \alpha (u_0+\kappa)<\alpha^2\rho_0^2+\frac{1}{4},
\end{equation*}
\notag
$$
отображения из $x_1$ в $x$ не являются биекциями. На рис. 2 показано, что отображение из $x$ в $x_1$ является отображением 3 в 1, а профиль решения $u_1$ как функция от $x$ является солитоном. Таким образом, оно порождает петлевое решение $u_1$ как функцию от $x_1$. Интересно, что это решение, насколько нам известно, ранее не указывалось и является новым решением уравнения 2КХ. Как бы то ни было, функция $\rho_1$ при таких условиях сингулярна, что следует из (26). Графики петлевого решения $u_1$ и сингулярного решения $\rho_1$ уравнения 2КХ изображены на рис. 3. Если $\kappa=0$, нужно рассмотреть связь между $u_0^2$ и $\rho_0^2$. 1. Если $u_0^2\neq\rho_0^2$, решение $\eta_1$ и выражения $x_1$, $\rho_1$, $u_1$ возникают соответственно из (25) и (26), (27), (28) при $\kappa=0$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
\eta_1=\frac{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha u_0-1}{32(\rho_0^2-u_0^2)},
\end{equation}
\tag{29}
$$
что может породить решение типа “$\operatorname{th}$” со скоростью $c=u_0+1/2\alpha$, а одноволновое решение для уравнения 2КХ имеет вид
$$
\begin{equation}
x_1 =x+\ln\biggl|U_1\operatorname{th}\biggl(\frac{1}{2}U_1z_1\biggr)+2\alpha u_0-1\biggr|+c_0,
\end{equation}
\tag{30}
$$
$$
\begin{equation}
\rho_1 =\rho_0\biggl[\frac{1+2\alpha u_0-U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)}{2}+\frac{2\alpha^2(\rho_0^2 -u_0^2)}{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha u_0-1}\biggr]^{-1},
\end{equation}
\tag{31}
$$
$$
\begin{equation}
u_1 =\frac{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha u_0+1}{4\alpha}-\frac{\alpha(\rho_0^2-u_0^2)}{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha u_0-1},
\end{equation}
\tag{32}
$$
где $U_1=\sqrt{4\alpha^2\rho_0^2-4\alpha u_0+1}$. Как и в случае $\kappa\neq0$, решения, представленные в (30)–(32), содержат также солитонное и петлевое решения. Если $u_0^2>\rho_0^2$, $1/2<\alpha\rho_0<\alpha u_0<\alpha^2\rho_0^2+1/4$, отображения из $x_1$ в $x$ являются биекциями, при этом $u_1$, $\rho_1$ порождают солитонные решения. Этот результат также был получен в работе [28] с помощью преобразования Дарбу. Если $u_0^2>\rho_0^2$, $\alpha u_0<1/2$, $\alpha^2\rho_0^2>1/4$, $\alpha u_0<\alpha^2\rho_0^2+1/4$, то отображения $x_1$ в $x$ не являются биекциями, и они порождают петлевое решение $u_1$, новое, насколько нам известно, решение уравнения 2КХ с $\kappa= 0$. Отметим, что петлевое решение $\rho$ получено в работе [29], но оно отличается от петлевого решения $u$ в нашей работе. 2. Если $u_0^2=\rho_0^2$, положим $\rho_0=-u_0$ без ограничения общности. Согласно уравнениям (18), (19) выражение для $\eta_1$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\eta_1=-\frac{\alpha^2}{16(2\alpha u_0-1)}+\widetilde{C}e^{(2\alpha u_0-1)z_1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde{C}$ – произвольная постоянная. Подставив затравочное решение и $\widetilde{C}=1$ в (16), (17) и (20), получим
$$
\begin{equation}
x_1 =x+\ln\biggl|-\frac{\alpha^2}{16(2\alpha u_0-1)}+e^{(2\alpha u_0-1)z_1}\biggr|+c_0,
\end{equation}
\tag{33}
$$
$$
\begin{equation}
\rho_1 =-\frac{u_0(16(2\alpha u_0-1)e^{(2\alpha u_0-1)z_1}-\alpha^2)}{\alpha(32u_0(2\alpha u_0-1)e^{(2\alpha u_0-1)z_1}-\alpha)},
\end{equation}
\tag{34}
$$
$$
\begin{equation}
u_1 =\frac{8(2\alpha u_0-1)e^{(2\alpha u_0-1)z_1}-\alpha^{3}u_0}{\alpha (16(2\alpha u_0-1)e^{(2\alpha u_0-1)z_1}-\alpha^2)}.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Можно показать, что все решения $\rho_1$, $u_1$, $x_1$ несингулярны и отображения из $x_1$ в $x$ являются биекциями при $0<\alpha u_0<1/2$. Возвращаясь к второму уравнению в (1), заметим, что оба решения $\pm\rho$ удовлетворяют уравнению 2КХ, это означает, что $-\rho_1$ также является решением, если решением является $\rho_1$. Из (34) и (35) имеем, что $\rho_1\to -u_0$, $u_1\to u_0$ при $x\to +\infty$ и $\rho_1\to -1/2\alpha$, $u_1\to 1/2\alpha$ при $x\to -\infty$. Это означает, что оба решения $u_1$, $\rho_1$ являются кинками, что также показано в работе [27]. Их графики показаны на рис. 4. Теперь нужно представить решение уравнения 2КХ в параметрическом виде и исследовать его при различных условиях, приводящих к трем типам решений. Хорошо известно, что уравнение (1) сводится к уравнению (2) при $\rho=0$, так что интересно рассмотреть уравнение КХ и получить его решение из решения уравнения 2КХ. Мацуно [11] ввел $\rho=\rho_0\bar{\rho}$ и другие переменные для получения решений уравнения КХ в пределе $\rho_0\to 0$ из решений уравнения 2КХ, применяя метод билинейного преобразования. В настоящей работе мы показали, что решение уравнения 2КХ порождает решение уравнения КХ просто выбором затравочного решения $\rho_0=0$. Таким образом, из (26)–(28) получим $\rho_1=0$ и одноволновое решение уравнения КХ
$$
\begin{equation}
x_1 =x+\ln\biggl|U_1\operatorname{th}\biggl(\frac{1}{2}U_1z_1\biggr)+2\alpha (u_0+\kappa)-1\biggr|+c_0,
\end{equation}
\tag{36}
$$
$$
\begin{equation}
u_1 =\frac{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha (u_0-\kappa)+1}{4\alpha}+\frac{\alpha (u_0+\kappa)^2}{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha (u_0+\kappa)-1},
\end{equation}
\tag{37}
$$
где $U_1=\sqrt{1-4\alpha(u_0+\kappa)}$, $\kappa$ – неотрицательное вещественное число. Анализ решения (36), (37) показал, что оно может представлять собой гладкое солитонное решение и каспон, которые также представлены в работе [13]. Если $0<\alpha (u_0+\kappa)<1/4$, то отображения из $x_1$ в $x$ являются биекциями, что соответствует гладкому солитонному решению уравнения КХ (рис. 5). Если $\alpha (u_0+\kappa)<0$, то существует $x_{1x}\geqslant 0$, которому соответствует негладкое сингулярное солитонное решение $u_1$ (рис. 6). Тогда из рис. 7 видно, что для негладкого сингулярного солитонного решения уравнения КХ профили $u_{1x_1}$ как функции $x_1$ не являются непрерывными, а стремятся к бесконечности на гребне, а это означает, что негладкое сингулярное солитонное решение является каспоном как при $\kappa=0$, так и при $\kappa \neq 0$. Имея одноволновые решения для уравнений 2КХ и КХ, согласно работе [13] мы знаем, что принцип суперпозиции дает простой способ построения двухволнового решения, которое представлено формулами (23)–(25). В процессе изучения одноволнового решения получены следующие результаты. Если $\kappa\neq 0$ или $\kappa=0, \rho_0^2\neq u_0^2$, то, имея
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \eta_1&=\frac{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha(u_0+\kappa)-1}{32(\rho_0^2-(u_0+\kappa)^2)}, &\qquad \eta_{2}&=\frac{U_{2}\operatorname{cth}(U_{2}z_{2}/2)+2\beta(u_0+\kappa)-1}{32(\rho_0^2-(u_0+\kappa)^2)},\\ U_1&=\sqrt{4\alpha^2\rho_0^2-4\alpha(u_0+\kappa)+1},&\qquad U_2&=\sqrt{4\beta^2\rho_0^2-4\beta(u_0+\kappa)+1},\\ z_1&=x-\biggl(u_0+\frac{1}{2\alpha}\biggr)t-x_{01},&\qquad z_2&=x-\biggl(u_0+\frac{1}{2\beta}\biggr)t-x_{02}, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где $x_{01}$, $x_{02}$ – произвольные постоянные, а $\kappa$ – неотрицательное вещественное число, можно получить решения разных типов при различных условиях. Например, при
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (u_0+\kappa)^2>\rho_0^2,\qquad \frac{1}{2}<\alpha\rho_0<\alpha (u_0+\kappa)<\alpha^2\rho_0^2+\frac{1}{4}, \\ \frac{1}{2}<\beta\rho_0<\beta (u_0+\kappa)<\beta^2\rho_0^2+\frac{1}{4}, \qquad |\beta|>|\alpha| \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
получим солитон-солитонное решение для уравнения 2КХ (рис. 8, 9). При
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (u_0+\kappa)^2>\rho_0^2, \qquad \frac{1}{2}<\alpha\rho_0<\alpha (u_0+\kappa)<\alpha^2\rho_0^2+\frac{1}{4}, \quad \beta (u_0+\kappa)<\frac{1}{2}, \\ \beta^2\rho_0^2>\frac{1}{4}, \quad \beta (u_0+\kappa)<\beta^2\rho_0^2+\frac{1}{4}, \qquad \alpha>0, \quad\beta<0 \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
получим солитонно-петлевое решение $u_{12}$ и солитонно-сингулярное решение $\rho_{12}$ (рис. 10). При
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (u_0+\kappa)^2>\rho_0^2, \qquad \alpha (u_0+\kappa)<\frac{1}{2}, \qquad \alpha^2\rho_0^2>\frac{1}{4}, \qquad \alpha(u_0+\kappa)<\alpha^2\rho_0^2+\frac{1}{4}, \\ \beta (u_0+\kappa)<\frac{1}{2}, \qquad \beta^2\rho_0^2>\frac{1}{4}, \qquad \beta( u_0+\kappa)<\beta^2\rho_0^2+\frac{1}{4}, \qquad |\beta|<|\alpha| \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
получим двухпетлевое решение $u_{12}$ и сингулярное решение $\rho_{12}$ (рис. 11). Кроме того, при $\kappa=0$, $\rho_0=-u_0$, имея
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \eta_1=-\frac{\alpha^2}{16(2\alpha u_0-1)}+e^{(2\alpha u_0-1)z_1},\qquad \eta_{2}=-\frac{\beta^2}{16(2\beta u_0-1)}-e^{(2\beta u_0-1)z_{2}},\\ 0<\alpha u_0<\frac{1}{2}, \quad 0<\beta u_0<\frac{1}{2},\quad |\alpha|>|\beta|, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
построим двухкинковое решение для уравнения 2КХ с помощью (22)–(24) (рис. 12). Рассмотрим двухволновое решение уравнения КХ. Его можно получить из двухволнового решения уравнения 2КХ при $\rho_0=0$. Согласно одноволновому решению уравнения КХ, выбирая
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \eta_1=-\frac{U_1\operatorname{th}(U_1z_1/2)+2\alpha(u_0+\kappa)-1}{32(u_0+\kappa)^2}, \quad \eta_{2}=-\frac{U_{2}\operatorname{cth}(U_{2}z_{2}/2)+2\beta(u_0+\kappa)-1}{32(u_0+\kappa)^2},\\ U_1=\sqrt{1-4\alpha(u_0+\kappa)},\qquad U_{2}=\sqrt{1-4\beta(u_0+\kappa)}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\kappa\neq0$ или $\kappa=0$, $\rho_0^2\neq u_0^2$, при $0<\alpha u_0<1/4$, $0<\beta u_0<1/4$, $|\alpha|>|\beta|$ построим по формулам (22)–(24) солитон-солитонное решение уравнения КХ. При $\alpha u_0<0$, $\beta u_0<0$ и $|\alpha|>|\beta|$ получим решение типа “каспон-каспон”. Графики этих решений показаны на рис. 13, 14.
4. Редукции к уравнениям 2ХС и ХСВ этом разделе рассматриваются уравнения 2ХС и ХС, а также их решения при $\kappa \neq 0$. С помощью пары Лакса (6) и преобразования (8) можно убедиться, что преобразования Дарбу ассоциированных уравнений 2КХ и 2ХС различаются по форме. Ассоциированное уравнение 2ХС – это уравнение, полученное из уравнения 2ХС путем перехода к переменным $y,\tau$. Очевидно, можно также изучить уравнение 2ХС и его решения методом преобразования Беклунда, который нужно просто применить к уравнению 2КХ, а затем решение уравнения ХС получится при $\bar{\rho}_0=0$. Мацуно [11] успешно провел редукцию и получил многосолитонное решение уравнения 2ХС. Это побудило нас попытаться получить решение уравнения 2ХС из решения уравнения 2КХ с помощью метода преобразования Беклунда. Пометим переменные в одноволновом решении уравнения 2ХС чертой сверху ($\bar{u}_1$, $\bar{\rho}_1$, $\bar{m}_1$, $\bar{x}_1$, $\bar{t}_1$, $\bar{\alpha}$, $\bar{x}_{01}$) и введем соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_1&=\epsilon^2\bar{u}_1,\qquad \rho_1=\epsilon \bar{\rho_1},\qquad x_1=\epsilon \bar{x_1},\qquad t_1=\frac{\bar{t}_1}{\epsilon},\\ u_0&=\epsilon^2\bar{u}_0,\qquad \rho_0=\epsilon \bar{\rho}_0, \qquad x_{01}=\epsilon \bar{x}_{01}, \qquad \alpha=\frac{\bar{\alpha}}{\epsilon^2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{38}
$$
Заметим, что соотношения (38) отличаются от соотношений (4.16) для $x,t,y,\tau$ в работе [11]. Подставив (38) в (25) и упростив при $\epsilon\to 0$, получим для функции $\eta_1$, которая заменяет $\bar{\eta_1}$, выражение
$$
\begin{equation}
\bar{\eta_1}=\frac{2\kappa \bar{\alpha}+\epsilon^2(2\bar{\alpha}\bar{u_0}-1)+\epsilon\sqrt{4\bar{\alpha}^2\bar{\rho_0}^2-4\kappa\bar{\alpha}+\epsilon^2(1-4\bar{\alpha}\bar{u_0})}\operatorname{th} \bar{z_1}}{32\epsilon^2(\epsilon^2\bar{\rho_0}^2-(\epsilon^2\bar{u_0}+\kappa)^2)},
\end{equation}
\tag{39}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\bar{z}_1=\sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho_0}^2-\kappa \bar{\alpha}}\,\biggl(\bar{x}-\biggl(\bar{u_0}+\frac{1}{2\bar{\alpha}}\biggr)\bar{t}-\bar{x}_{01}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Возвращаясь к (12), (13) и применяя преобразования (9), (38), получим
$$
\begin{equation}
\bar{\rho}_1 =\frac{\bar{\rho}_0\bar{\eta}_1}{\bar{\eta}_1+\bar{\eta}_{1\bar{x}}/\epsilon},
\end{equation}
\tag{40}
$$
$$
\begin{equation}
\bar{u}_1 =\bar{u}_0\biggl(1+\frac{1}{\epsilon}\frac{\bar{\eta}_{1\bar{x}}}{\bar{\eta}_1}\biggr)+\frac{1}{\epsilon}\frac{\bar{\eta}_{1\bar{t}}}{\bar{\eta}_1}.
\end{equation}
\tag{41}
$$
В силу (39) выражения (40) и (41) в пределе $\epsilon\to 0$ принимают вид
$$
\begin{equation}
\bar{\rho}_1 =\frac{\kappa \bar{\rho}_0(e^{\bar{z}_1}+e^{-\bar{z}_1})^2}{4\bar{\alpha}\bar{\rho}_0^2+\kappa(e^{\bar{z}_1}-e^{-\bar{z}_1})^2},
\end{equation}
\tag{42}
$$
$$
\begin{equation}
\bar{u}_1 =\bar{u}_0+\frac{2(\kappa-\bar{\alpha}\bar{\rho}_0^2)}{\kappa \bar{\alpha}(e^{\bar{z}_1}+e^{-\bar{z}_1})^2}.
\end{equation}
\tag{43}
$$
Теперь попытаемся найти взаимосвязь между переменными $\bar{x}_1$ и $\bar{x}$. С помощью (3) и (38) соотношение (20) принимает вид
$$
\begin{equation}
\bar{x}_1=\bar{x}+\frac{1}{\epsilon}\ln |\bar{\eta}_1|+\frac{1}{\epsilon} c_0.
\end{equation}
\tag{44}
$$
Очевидно, что $\bar{x}_1$ нельзя преобразовать точно так же, как $\bar{u}_1, \bar{\rho}_1$. Следуя методу редукции между уравнениями 2КХ и 2ХС, изложенному в работе [11], применив разложение Тейлора по $\epsilon$ к (45) и взяв в асимптотике главный порядок $\epsilon^{1}$, получим
$$
\begin{equation}
\bar{x}_1=\bar{x}+\frac{\sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa \bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1}{\kappa \bar{\alpha}}+d,
\end{equation}
\tag{45}
$$
где $c_0$ принимает значение соответствующей переменной, $d$ – произвольная постоянная. Таким образом, решение уравнения 2ХС получено из решения уравнения 2КХ с помощью соответствующего предельного перехода. Чтобы получить вещественное решение уравнения 2ХС, положим $\bar{\rho}_0^2>\kappa/\bar{\alpha}$. Анализируя, являются ли отображения из $\bar{x}_1$ в $\bar{x}$ биекциями, получим, что при $\kappa \bar{\alpha}>0$ отображения из $\bar{x}_1$ в $\bar{x}$ являются биекциями, и одноволновое решение (42), (43), (45) порождает солитонное решение уравнения 2ХС (рис. 15). При $\kappa \bar{\alpha}<0$ отображение из $\bar{x}$ в $\bar{x}_1$ является отображением 3 в 1 и профиль решения $\bar{u}_1$ как функция от $\bar{x}$ является солитоном, который порождает петлевое решение $\bar{u}_1$ как функцию $\bar{x}_1$. Насколько нам известно, это новое решение уравнения 2ХС. Из (42) видно, что $\bar{\rho}_1$ является при этом условии сингулярным решением (рис. 16). Полученный результат можно описать подробнее. Из преобразования (3), (38), (9) и выражений (12), (13), (20) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bar{\rho}_1&=\frac{\bar{\rho}_0\bar{\eta}_1}{\bar{\eta}_1+\bar{\eta}_{1\bar{x}}/\epsilon},\\ \bar{u}_1&=\bar{u}_0\biggl(1+\frac{1}{\epsilon}\frac{\bar{\eta}_{1\bar{x}}}{\bar{\eta}_1}\biggr)+\frac{1}{\epsilon}\frac{\bar{\eta}_{1\bar{t}}}{\bar{\eta}_1},\\ \bar{x}_1&=\bar{x}+\frac{1}{\epsilon}\ln |\bar{\eta}_1|+\frac{1}{\epsilon} c_0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\bar{\eta}_{1\bar{x}}=16\epsilon\biggl((\epsilon^2\bar{u}+\kappa+\epsilon \bar{u}_{\bar{x}})^2-\epsilon^2\bar{\rho}^2\biggr)\bar{\eta}_1^2+\biggl(2\bar{\alpha}\biggl(\epsilon \bar{u}+\bar{u}_{\bar{x}}+\frac{\kappa}{\epsilon}\biggr)-\epsilon\biggr)\bar{\eta}_1+\frac{\bar{\alpha}^2}{16\epsilon^{3}},
\end{equation}
\tag{46}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bar{\eta}_{1\bar{t}}={}&8\biggl[\epsilon\biggl(2\bar{u}+\frac{1}{\bar{\alpha}}\biggr)(\epsilon^2\bar{\rho}^2-(\epsilon^2\bar{u}+\kappa)^2-\epsilon \bar{u}_{\bar{x}}(\epsilon \bar{u}_{\bar{x}}+2\epsilon^2\bar{u}+2\kappa))+{} \\ &\qquad\qquad\qquad+\frac{2\epsilon^2}{\bar{\alpha}}((\epsilon^2\bar{u}^2+\kappa \bar{u}+\epsilon \bar{u}\bar{u}_{\bar{x}})_{\bar{x}}+\epsilon(\epsilon \bar{u}+\bar{u}_{\bar{x}})_{\bar{t}})\biggr]\bar{\eta}_1^2-{} \\ &-\frac{1}{\epsilon}\biggl(2\bar{\alpha} \bar{u}(\epsilon^2\bar{u}+\epsilon \bar{u}_{\bar{x}}+\kappa)+\kappa-\frac{\epsilon^2}{2\bar{\alpha}}\biggr)\bar{\eta}_1-\frac{\bar{\alpha}(1+2\bar{\alpha}\bar{ u})}{32\epsilon^{3}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{47}
$$
Чтобы получить одноволновое решение уравнения 2ХС, возьмем сначала затравочное решение $\bar{\rho}=\bar{\rho}_0,\bar{u}=\bar{u}_0$, которое соответствует затравочному решению $\rho=\rho_0$, $u=u_0$ в уравнении 2КХ. Из уравнений (46), (47) получим выражение для $\bar{\eta}_1$, которое совпадает с (39). Кроме того, $\bar{\rho}_1$, $\bar{u}_1$ можно переписать в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bar{\rho}_1&=\frac{\bar{\rho}_0}{16(\epsilon^{4}\bar{u}_0^2-\epsilon^2\bar{\rho}_0^2+\bar{\kappa}^2+2\bar{\kappa}\epsilon^2\bar{u}_0)\bar{\eta}_1+2(\bar{\alpha} \bar{u}_0+\kappa\bar{\alpha}/\epsilon^2)+\bar{\alpha}^2/16\epsilon^{4}\bar{\eta}_1},\\ \bar{u}_1&=-\frac{8}{\bar{\alpha}}((\epsilon^2\bar{u}_0+\kappa)^2-\epsilon^2\bar{\rho}_0^2)\bar{\eta}_1-\frac{\kappa}{\epsilon^2}+\frac{1}{2\bar{\alpha}}-\frac{\bar{\alpha}}{32\epsilon^{4}\bar{\eta}_1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя (39) в приведенные выше выражения для $\bar{\rho}_1$, $\bar{u}_1$ и переходя к пределу $\epsilon\to 0$, непосредственно получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bar{\rho}_1&=\frac{\kappa\bar{\rho}_0}{\bar{\alpha}\bar{\rho}_0^2+(\kappa-\bar{\alpha}\bar{\rho}_0^2)\operatorname{th}^2\bar{z}_1}, \\ \bar{u}_1&=\bar{u}_0+\frac{(\bar{\alpha}\bar{\rho}_0^2-\kappa)\operatorname{th}^2\bar{z}_1+\kappa-\bar{\alpha}\bar{\rho}_0^2}{2\bar{\alpha}\kappa}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что совпадает с (42) и (43). Теперь можно построить формулу нелинейной суперпозиции для уравнения 2ХС, которая зависит от (40), (41), (44), а $\bar{\eta}_{12}$ получим из (21) с помощью масштабного преобразования (3), (38). Выражения для решений имеют вид
$$
\begin{equation}
\bar{\rho}_{12}=\bar{\rho}_1\biggl[16((\epsilon^2\bar{u}_1+\kappa+\epsilon \bar{u}_{1\bar{x}_1})^2-\epsilon^2\bar{\rho}_1^2)\bar{\eta}_{12}+\frac{2\bar{\beta}}{\epsilon^2}(\epsilon^2\bar{u}_1+\epsilon \bar{u}_{1\bar{x}_1}+\kappa)+\frac{\bar{\beta}^2}{16\epsilon^{4}\bar{\eta}_{12}}\biggr]^{-1},
\end{equation}
\tag{48}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bar{u}_{12}={}&-\frac{8}{\bar{\beta}}(\epsilon^{4}\bar{u}_1^2+\kappa^2-\epsilon^2(\bar{\rho}_1^2+\bar{u}_{1\bar{x}_1}^2-2\kappa \bar{u}_1+2\bar{u}_1\bar{u}_{1\bar{x}_1\bar{x}_1}+2\bar{u}_{1\bar{x}_1\bar{t}_1})-{}\\ &-2\epsilon^{3}(\bar{u}_1\bar{u}_{1\bar{x}_1}+\bar{u}_{1\bar{t}_1}))\bar{\eta}_{12}+\frac{1}{2\bar{\beta}}-\frac{\kappa}{\epsilon^2}-\frac{\bar{\beta}}{32\epsilon^{4}\bar{\eta}_{12}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{49}
$$
$$
\begin{equation}
\bar{x}_{12}=\bar{x}+\frac{1}{\epsilon}\ln(\bar{\eta}_1\bar{\eta}_{12})+\frac{1}{\epsilon}c_0,
\end{equation}
\tag{50}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \bar{\eta}_{12}=\frac{(\bar{\alpha}\bar{\eta}_{2}-\bar{\beta}\bar{\eta}_1)(\epsilon^2\bar{u}+\kappa-\epsilon \bar{\rho}+\epsilon \bar{u}_{\bar{x}})\bar{\eta}_{2}}{16\epsilon^2\bar{\eta}_1\bar{\eta}_{2}(\epsilon^2\bar{u}+\kappa-\epsilon\bar{\rho}+\epsilon \bar{u}_{\bar{x}})(\bar{s}_{2}-\bar{s}_1)+\bar{\beta}\bar{\eta}_1\bar{s}_{2}-\bar{\alpha}\bar{\eta}_{2}\bar{s}_1},\\ \bar{s}_k=\epsilon\bar{\rho}_k-\epsilon^2\bar{u}_k-\kappa-\frac{\epsilon \bar{\rho}_k}{\bar{\rho}}\bar{u}_{k,\bar{x}},\quad k=1,2,\\ \bar{u}_{1\bar{x}_1}=\bar{u}_{1\bar{x}}\biggl(-\frac{\bar{F}_{\bar{x}_1}}{\bar{F}_{\bar{x}}}\biggr),\quad \bar{u}_{1\bar{t}_1}=\bar{u}_{1\bar{t}} -\bar{u}_{1\bar{x}}\biggl(\frac{\bar{F}_{\bar{t}}}{\bar{F}_{\bar{x}}}\biggr),\quad \bar{F}=\bar{x}_1-\bar{x}-\frac{\sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2 -\kappa \bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1}{\kappa \bar{\alpha}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для двухволнового решения уравнения 2ХС выберем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bar{\eta_1}&=\frac{2\kappa \bar{\alpha}+\epsilon^2(2\bar{\alpha}\bar{u_0}-1)+\epsilon\sqrt{4\bar{\alpha}^2\bar{\rho_0}^2-4\kappa\bar{\alpha}+\epsilon^2(1-4\bar{\alpha}\bar{u_0})}\operatorname{th} \bar{z_1}}{32\epsilon^2(\epsilon^2\bar{\rho_0}^2-\epsilon^{4}\bar{u_0}^2-2\kappa\epsilon^2\bar{u_0}-\kappa^2)}, \\ \bar{\eta_{2}}&=\frac{2\kappa \bar{\beta}+\epsilon^2(2\bar{\beta}\bar{u_0}-1)+\epsilon\sqrt{4\bar{\beta}^2\bar{\rho_0}^2-4\kappa\bar{\beta}+\epsilon^2(1-4\bar{\beta}\bar{u_0})}\operatorname{cth} \bar{z_{2}}}{32\epsilon^2(\epsilon^2\bar{\rho_0}^2-\epsilon^{4}\bar{u_0}^2-2\kappa\epsilon^2\bar{u_0}-\kappa^2)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\bar{z}_1=\sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho_0}^2-\kappa \bar{\alpha}}\biggl(\bar{x}-\biggl(\bar{u_0}+\frac{1}{2\bar{\alpha}}\biggr)\bar{t}-\bar{x}_{01}\biggr),\quad \bar{z}_{2}=\sqrt{\bar{\beta}^2\bar{\rho_0}^2-\kappa \bar{\beta}}\biggl(\bar{x}-\biggl(\bar{u_0}+\frac{1}{2\bar{\beta}}\biggr)\bar{t}-\bar{x}_{02}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
и подставим в (48)–(50). Разложив (50) в ряд Тейлора по $\epsilon$ и взяв главный порядок $\epsilon^{1}$, получим в пределе $\epsilon\to 0$ для двухволнового решения уравнения 2ХС следующие выражения:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bar{x}_{12}={}&\bar{x}+\frac{\sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa \bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1}{\kappa \bar{\alpha}}+\frac{\sqrt{\bar{\beta}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa \bar{\beta}}\operatorname{cth} \bar{z}_{2}}{\kappa \bar{\beta}}+d+ \bar{\alpha}\bar{\rho}_{2}(\bar{\rho}_0-\bar{u}_{2\bar{x}})\times {} \nonumber \\ &\times\frac{(\sqrt{\bar{\beta}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa \bar{\beta}}\operatorname{cth} \bar{z}_{2}-\bar{\beta}\bar{\rho}_0)-\bar{\beta}\bar{\rho}_1(\bar{\rho}_0-\bar{u}_{1\bar{x}})(\sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa \bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1-\bar{\alpha}\bar{\rho}_0)}{\kappa\bar{\rho}_0(\bar{\alpha}\sqrt{\bar{\beta}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa \bar{\beta}}\operatorname{cth} \bar{z}_{2}-\bar{\beta}\sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa \bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{51}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bar{\rho}_{12}={}&\kappa \bar{\rho}_1\biggl[2\kappa \bar{\beta}\bar{ u}_1-\bar{\beta}(\bar{u}_{1\bar{x}_1}^2+2\kappa \bar{u}_1-\bar{\rho}_1^2)-{} \nonumber \\ &+\frac{\bar{\beta} W(W-2\bar{\rho}_0\bar{u}_{1\bar{x}_1}(\bar{\alpha} \sqrt{\bar{\beta}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\beta}}\operatorname{cth} \bar{z}_{2}-\bar{\beta} \sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1))}{\bar{\rho}_0^2(\bar{\alpha} \sqrt{\bar{\beta}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\beta}}\operatorname{cth} \bar{z}_{2}-\bar{\beta} \sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1)^2}\biggr]^{-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{52}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bar{u}_{12}={}&\frac{1}{2\bar{\beta}}+\frac{ W^2}{2\kappa\bar{\rho}_0^2(\bar{\alpha} \sqrt{\bar{\beta}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\beta}}\operatorname{cth} \bar{z}_{2}-\bar{\beta} \sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1)^2}-{} \\ &-\frac{1}{2\kappa}(\bar{\rho}_1^2+\bar{u}_{1\bar{x}_1}^2+2\bar{u}_1\bar{u}_{1\bar{x}_1\bar{x}_1}+2\bar{u}_{1\bar{x}_1\bar{t}_1}-2\kappa \bar{u}_1), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{53}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W={}&\bar{\alpha}\bar{\rho}_0(\kappa-\bar{\beta}\bar{\rho}_0^2)\operatorname{cth}^2\bar{z}_{2} +\bar{\alpha}\bar{\beta}\bar{\rho}_0(\bar{\rho}_1\bar{u}_{1\bar{x}}-\bar{\rho}_{2}\bar{u}_{2\bar{x}} +\bar{\rho}_0(\bar{\rho}_{2}-\bar{\rho}_1))+{} \\ &+\bar{\alpha}\bar{\rho}_{2}\bar{u}_{2\bar{x}}\sqrt{\bar{\beta}^2\bar{\rho}_0^2 -\kappa\bar{\beta}}\operatorname{cth} \bar{z}_{2}-\bar{\beta}\bar{\rho}_1\bar{u}_{1\bar{x}}\sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1+{} \\ &+\bar{\rho}_0^2(\bar{\alpha} \sqrt{\bar{\beta}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\beta}}\operatorname{cth} \bar{z}_{2}-\bar{\beta} \sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1) +{} \\ &+\bar{\rho}_0(\bar{\beta}\bar{\rho}_1\sqrt{\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1-\bar{\alpha}\bar{\rho}_{2}\sqrt{\bar{\beta}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\beta}}\operatorname{cth} \bar{z}_{2}+{} \\ &+\sqrt{(\bar{\alpha}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa\bar{\alpha})(\bar{\beta}^2\bar{\rho}_0^2-\kappa \bar{\beta})}\operatorname{th} \bar{z}_1\operatorname{cth} \bar{z}_{2}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По аналогии с одноволновым решением по формулам (51)–(53) строится солитон-солитонное решение уравнения 2ХС при $\bar{\rho}_0^2>\kappa/\bar{\alpha}$, $\bar{\rho}_0^2>\kappa/\bar{\beta}$, $\kappa\bar{\alpha}>0$, $\kappa\bar{\beta}>0$, $\bar{\beta}>\bar{\alpha}$ (рис. 17). Если выполняются условия $\bar{\rho}_0^2>\kappa/\bar{\alpha}$, $\bar{\rho}_0^2>\kappa/\bar{\beta}$, $\kappa\bar{\alpha}<0$, $\kappa\bar{\beta}<0$, $|\bar{\alpha}|>|\bar{\beta}|$, получим двухпетлевое решение $\bar{u}_{12}$ и сингулярное решение $\bar{\rho}_{12}$ (рис. 18). Наконец, обратимся к уравнению ХС и его решениям. Уравнение ХС является коротковолновым пределом уравнения КХ, и его также можно получить из уравнения 2ХС при $\bar{\rho}=0$. Таким образом, его решение можно получить двумя способами. Очевидно, более простой способ – получить решение уравнения ХС из решения уравнения 2ХС. Подставив $\bar{\rho}_0=0$ в (42), (43) и (45), получим $\bar{\rho}_1=0$ и одноволновое решение уравнения ХС:
$$
\begin{equation}
\bar{u}_1 =\bar{u}_0+\frac{2}{\bar{\alpha}(e^{\bar{z}_1}+e^{-\bar{z}_1})^2},
\end{equation}
\tag{54}
$$
$$
\begin{equation}
\bar{x}_1 =\bar{x}+\frac{\sqrt{-\kappa \bar{\alpha}}\operatorname{th} \bar{z}_1}{\kappa \bar{\alpha}}+d,
\end{equation}
\tag{55}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\bar{z}_1=\sqrt{-\kappa \bar{\alpha}}\biggl(\bar{x}-\biggl(\bar{u}_0+\frac{1}{2\bar{\alpha}}\biggr)\bar{t}-\bar{x}_{01}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, для вещественных решений нужно положить $\kappa \bar{\alpha} <0$, при этом по формулам (54), (55) строится каспон уравнения ХС (рис. 19). Аналогичным способом двухволновые решения уравнения ХС возникают из решений уравнения 2ХС (51)–(53) при $\bar{\rho}_0=0$, а при $\kappa\bar{\alpha}<0,\kappa\bar{\beta}<0, |\bar{\alpha}|>|\bar{\beta}|$ они порождают решение типа “каспон-каспон“ для уравнения ХС (рис. 20).
5. Заключительные замечанияВ данной работе построено преобразование Беклунда уравнения 2КХ, в которое входят как зависимые, так и независимые переменные, а также представлена соответствующая формула нелинейной суперпозиции. Анализируя решения уравнения 2КХ, мы не только получили представленные в работах [27], [28] многосолитонные и многокинковые решения, но и нашли многопетлевые решения $u$ для уравнения 2КХ. Анализируя однопетлевое решение, мы показали, что отображение из $x$ в $x_1$ является отображением 3 в 1, а решение $u_1$ как функция $x$ является солитоном. Вместе они порождают петлевое решение $u_1$ как функцию от $x_1$, которая является многозначной. В частности, проведены различные редукции для нахождения решений уравнений КХ, 2ХС и ХС при $\kappa \neq0$ с помощью метода преобразования Беклунда. Анализируя эти решения, мы получили многосолитонные и многокаспонные решения уравнения КХ, а также многосолитонные и многопетлевые решения уравнения 2ХС. Заметим, что петлевое решение $u$ уравнения 2КХ и петлевое решение $\bar{u}$ уравнения 2ХС, насколько нам известно, ранее не появлялись в литературе. Это означает, что они новые для двух указанных уравнений. Наконец, представлено также многокаспонное решение уравнения ХС. Однако пиконное решение уравнения 2KX, которое получено в работе [27], в нашей работе не получено, а также пока не обсуждалось общее $N$-пиконное решение указанного уравнения. Эта интересная задача будет рассмотрена в следующей работе. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Wan23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|