| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Сигарообразный солитон и решения уравнений для возмущений потоков Риччи в Цзюнь Янь Department of Physics, Sichuan Normal University, Chengdu, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923040050 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеУравнение потока Риччи является важным математическим инструментом современной дифференциальной геометрии. Это уравнение, которое было введено Гамильтоном при изучении трехмерных многообразий с положительной кривизной [1], имеет вид $\partial g_{ij}/\partial t=-2R_{ij}$. C помощью уравнения потока Риччи и метода геометрической энтропии Перельман доказал известную гипотезу Пуанкаре [2], метод потока Риччи использовался для доказательства различных типов теоремы о сфере [3]. Обобщенные уравнения потоков Риччи позволяют находить высшие производные компактных многообразий [4], с помощью этих уравнений также можно доказать существование вполне некомпактных многообразий [5]. С другой стороны, уравнение потока Риччи в дифференциальной геометрии похоже на уравнение потока ренормализационной группы (ПРГ) в теоретической физике. Фридан и его коллеги открыли уравнение ПРГ, исследуя $\beta$-функции нелинейной $\sigma$-модели [6]–[9], обобщенные уравнения ПРГ были получены Калланом и др. при вычислении $\beta$-функции $\sigma$-модели бозе-струны, далее из этих уравнений было выведено модифицированное уравнение Эйнштейна для полей дилатона и аксиона [10]. С помощью температурных $\beta$-функций и уравнений ПРГ также можно изучать температурную дуальность в космологии струн [11]. Кроме того, Мецаев и Цейтлин доказали, что существует определенная связь между $\beta$-функцей и конформной аномалией Вейля [12]–[14], т. е. след тензора энергии-импульса $T_a^a$ можно выразить через $\beta$-функции гравитонного поля $g_{\mu\nu}$, аксионного поля $B_{\mu\nu}$ и дилатонного поля $\Phi$ [15]. В квантовой теории поля также могут существовать конформные аномалии, известные как аномалии Вейля [16], это означает, что след перенормированного тензора энергии-импульса не равен нулю. Когда коэффициенты аномалии Вейля для различных полей в $\sigma$-модели струны равны нулю, модифицированное полевое уравнение Эйнштейна можно получить из уравнений потоков Риччи. Уравнения потока Риччи или уравнения ПРГ широко используются в различных областях теоретической физики. Например, уравнение Эйнштейна–де Турка может иметь решение типа солитона Риччи [17]. В двумерном пространстве можно вычислить массу солитона Риччи [18]. Для описания солитона Риччи также можно использовать неплоскую кэлерову метрику [19]. В работе [20] рассматривалась линеаризованная проблема устойчивости солитонов Риччи (или черных дыр Виттена) под действием ПРГ, и было показано, что мода линейных возмущений черных дыр Виттена неустойчива. Уравнения потоков Риччи также использовались для изучения физических проблем, связанных с кротовыми норами, черными дырами и космологией. Так, в работе [21] с помощью численных методов изучалась эволюция геометрической структуры кротовой норы под действием потока Риччи, в работе [22] был проведен анализ изменения двумерной площади и массы Хокинга под действием потока Риччи, а в работе [23] была доказана неустойчивость малых черных дыр с отрицательной модой. Поток Риччи также использовался для выяснения связи между энтропией Перельмана и геометрической энтропией Бекенштейна–Хокинга [24]–[26]. Было показано, что энтропия Перельмана не связана с энтропией Бекенштейна–Хокинга [27]. В работе [28] авторы обнаружили, что в аксион-дилатонной космологии на ранних временах расширение имеет осциллирующее поведение, однако начальная анизотропия исчезает с течением времени. В настоящей работе мы выводим уравнения для возмущений потоков Риччи и коэффициенты аномалии Вейля в $\sigma$-модели бозе-струны. Для сигарообразного солитона из уравнения для возмущения поля гравитона мы получаем решение однопетлевого уравнения, решение двухпетлевого уравнения получается методом разложения по малому параметру. Мы используем уравнения Гаусса–Кодацци (ГК), чтобы найти явный вид коэффициентов $l$ и $n$ второй базисной формы, как результат, модифицированная главная кривизна пространственно-временной поверхности выражается через $l$ и $n$. Далее мы обсуждаем физический смысл двухпетлевых $\beta$-функций при разных значениях масштаба импульса $\lambda$, а также анализируем геометрическую деформацию пространства-времени с квантовыми потоками Риччи. 2. Ренормированные $\beta$-функции в $\sigma$-модели бозе-струныУравнения потоков Риччи с двухпетлевой квантовой поправкой записываются как [29]–[31]
$$
\begin{equation}
\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial\lambda} =-\beta_{\mu\nu}^q= -\tilde\alpha(R_{\mu\nu}^{}+2\nabla_\mu^{}\nabla_\nu^{}\Phi)-\frac{\tilde\alpha^2}{2}R_{\mu klm}^{}R_\nu^{klm},
\end{equation}
\tag{1}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\Phi}{\partial\lambda} =-\beta^\Phi= -c+\tilde\alpha\biggl(\frac{1}{2}\nabla^2\Phi-(\nabla\Phi)^2\biggr)-\frac{\tilde\alpha^2}{16}R_{abcd}R^{abcd},
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\beta_{\mu\nu}^q$ и $\beta^\Phi$ – двухпетлевые $\beta$-функции поля гравитона $g_{\mu\nu}$ и поля дилатона $\Phi$ (их также можно понимать как коэффициенты аномалии Вейля), $\tilde\alpha$ – коэффициент натяжения струны, $c=(D-26)/6$ – центральный элемент алгебры Вирасоро, $D$ – размерность пространства-времени. Если перемасштабировать потоковый параметр $\lambda$ как $\lambda\to\lambda\tilde\alpha$, то уравнения потоков Риччи принимают вид
$$
\begin{equation}
\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial\lambda} = -(R_{\mu\nu}^{}+2\nabla_\mu^{}\nabla_\nu^{}\Phi)-\frac{\varepsilon}{2}R_{\mu klm}^{}R_\nu^{klm},
\end{equation}
\tag{3}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\Phi}{\partial\lambda} = -\frac{c}{\varepsilon}+\frac{1}{2}\nabla^2\Phi-(\nabla\Phi)^2-\frac{\varepsilon}{16}R_{abcd}R^{abcd},
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $\tilde\alpha=\varepsilon\ll 1$ представляет собой коэффициент слабой связи. Из уравнения (1) получаем уравнение для возмущения гравитонного потока Риччи:
$$
\begin{equation}
\biggl[g^{\mu\nu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial\lambda}\biggr]=- ([R]+2[g^{\mu\nu}\nabla_\mu\nabla_\nu\Phi])-\frac{\varepsilon}{2}[R^2],
\end{equation}
\tag{5}
$$
где квадратными скобками обозначено выражение после возмущения. Мы предполагаем, что метрика двумерного пространства-времени задается как $g_{00}=\alpha(x)+h(x,\lambda)$, $g_{11}=\beta( x)$, $g_{10}=g_{01}=0$, где $h(x,\lambda)$ – возмущение. Тогда уравнение для возмущения поля гравитона принимает вид
$$
\begin{equation}
R_h+2(g^{\mu\nu}\nabla_\mu\nabla_\nu\Phi)_h(1-\varepsilon R)+\frac{\varepsilon}{2}R^2(1-\varepsilon R)= -\frac{1}{\alpha}\frac{\partial h}{\partial\lambda}(1-\varepsilon).
\end{equation}
\tag{6}
$$
Возмущение скалярной кривизны выражается как
$$
\begin{equation}
R_h= \biggl(-\frac{1}{\alpha\beta}\biggr)\frac{\partial^2h}{\partial x^2}+ \biggl(\frac{\alpha'}{\alpha^2\beta}+\frac{\beta'}{2\alpha\beta^2}\biggr)\frac{\partial h}{\partial x}+ \biggl(\frac{\alpha''}{\alpha^2\beta}-\frac{\alpha^{\prime\,2}}{\alpha^3\beta}- \frac{\alpha'\beta'}{2\alpha^2\beta^2}\biggr)h.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Возмущенная часть поля описывается следующим явным уравнением:
$$
\begin{equation}
(g^{\mu\nu}\nabla_\mu\nabla_\nu\Phi)_h= \biggl(\frac{\Phi'}{2\alpha\beta}\biggr)\frac{\partial h}{\partial x}- \biggl(\frac{\alpha'\Phi'}{2\alpha^2\beta}\biggr)h.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Подставляя выражения (7) и (8) в (6), получаем линейное уравнение для возмущения гравитонного поля
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial^2h}{\partial x^2}&{}-\biggl(\frac{\alpha'}{\alpha}+ \frac{\beta'}{2\beta}+\Phi'-\varepsilon R\Phi'\biggr)\frac{\partial h}{\partial x}-{} \notag\\ &{}-\beta(1-\varepsilon R)\frac{\partial h}{\partial\lambda}+ \biggl(\frac{\alpha^{\prime\,2}}{\alpha^2}+\frac{\alpha'\beta'}{2\alpha\beta}- \frac{\alpha''}{\alpha}+\frac{\alpha'\Phi'}{\alpha}-\varepsilon R\frac{\alpha'}{\alpha}\Phi'\biggr)h=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
Уравнение для поля дилатона после возмущения записывается как
$$
\begin{equation}
\biggl[\frac{\partial(\Phi+c\lambda)}{\partial\lambda}\biggr]= \biggl[\frac{1}{2}\nabla^2\Phi-(\nabla\Phi)^2\biggr]-\biggl[\frac{\varepsilon}{16}R^2\biggr],
\end{equation}
\tag{10}
$$
где
$$
\begin{equation}
\nabla^2\Phi=g^{11}\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}+ \biggl(\frac{g^{11}}{2g}\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g^{11}}{\partial x}\biggr)\frac{\partial\Phi}{\partial x},\qquad (\nabla\Phi)^2=g^{11}\biggl(\frac{\partial\Phi}{\partial x}\biggr)^{\!2}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Здесь $g=\alpha\beta$ есть детерминант метрики. Таким образом, линейное уравнение для возмущения поля дилатона преобразуется в
$$
\begin{equation}
\frac{\partial(\Phi+c\lambda/\varepsilon)}{\partial\lambda}= \biggl(\frac{1}{2\alpha\beta}\biggr)\frac{\partial\Phi}{\partial x}\cdot\frac{\partial h}{\partial x}.
\end{equation}
\tag{12}
$$
В данном случае эффекты квантовых поправок могут привести уравнения для возмущений потоков Риччи к равновесию, когда коэффициент двухпетлевой квантовой поправки $\tilde\alpha^2\neq 0$. Тогда решения для метрики $\alpha(x)$ типа сигарообразного солитона и поля дилатона $\Phi(x)$ можно получить из уравнений (3), (4). В работе [20] изучалась устойчивость такого солитона под действием ПРГ. Если динамическое решение уравнения (9) для возмущения имеет вид $h(x,\lambda)=e^{Q\lambda}f(x)$, то получаем следующие коэффициенты аномалии Вейля:
$$
\begin{equation}
\beta_{00}^q=-Qe^{Q\lambda}f(x),\qquad \beta^\Phi=-\frac{4}{\varepsilon}-\frac{1}{2\alpha\beta}e^{Q\lambda}\frac{\partial f}{dx}\cdot\frac{\partial\Phi}{\partial x},
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $\lambda$ – потоковый параметр, $Q$ – пертурбативный индекс, $f(x)$ – статическое решение уравнения для возмущения (9). Скалярная кривизна выражается как
$$
\begin{equation}
R=\frac{\alpha^{\prime\,2}}{2\alpha^2\beta}+\frac{\alpha'\beta'}{2\alpha\beta^2}-\frac{\alpha''}{\alpha\beta},
\end{equation}
\tag{14}
$$
следовательно, в $\sigma$-модели некритической двумерной бозе-струны, когда сосуществуют возмущения потоков Риччи и квантовая поправка, гравитонный и дилатонный коэффициенты аномалии Вейля отличны от нуля. Если найдены квантово-возмущенные решения для сигарообразного солитона, то конкретные выражения для коэффициентов аномалии Вейля динамических полей можно получить из уравнений (13).
3. Решения однопетлевого уравнения для возмущения потоков в случае сигарообразного солитонаКоэффициенты метрики сигарообразного солитона можно выбрать как
$$
\begin{equation}
\alpha(x)=\frac{x^2}{1+x^2},\qquad \beta(x)=\frac{1}{1+x^2}.
\end{equation}
\tag{15}
$$
При этом классическое решение для поля дилатона имеет вид Из формулы (14) получаем следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
R=\frac{4}{1+x^2},\qquad R\Phi'=-\frac{4x}{(1+x^2)^2},\qquad R\frac{\alpha '}{\alpha}\Phi'=-\frac{8}{(1+x^2)^3}.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Выберем возмущение как $h(x,\lambda)=e^{(q-2)\lambda}f(x)$, где $q=Q+2$ есть пертурбативный индекс. Если $\tilde\alpha^2=0$, то однопетлевое уравнение для возмущения преобразуется в
$$
\begin{equation}
f''(x)+\biggl[\frac{2(x^2-1)}{x(x^2+1)}\biggr]f'(x)+\biggl[\frac{2+(2-q)x^2}{x^2(1+x^2)}\biggr]f(x)=0.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Это уравнение имеет аналитическое решение
$$
\begin{equation}
f(x)=c_1x\cdot{}_2F_1(\alpha_1,\beta_1,\gamma_1,-x^2)+c_2x^2\cdot{}_2F_1(\alpha_2,\beta_2,\gamma_2,-x^2),
\end{equation}
\tag{19}
$$
где $c_1$, $c_2$ – постоянные коэффициенты, ${}_2F_1(\,{\cdot}\,)$ – гипергеометрическая функция и
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{5} \alpha_1&=\frac{1}{4}(3-\sqrt{4q-7}\,),&\qquad \beta_1&=\frac{1}{4}(3+\sqrt{4q-7}\,),&\qquad \gamma_1&=\frac{1}{2}, \\ \alpha_2&=\frac{1}{4}(5-\sqrt{4q-7}\,),&\qquad \beta_2&=\frac{1}{4}(5+\sqrt{4q-7}\,),&\qquad \gamma_2&=\frac{3}{2}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Подставляя $h(x,\lambda)=e^{Q\lambda}f(x)$ в уравнение (12) и задавая решение для возмущения дилатонного поля как $\Phi(x,\lambda)=\Phi(x)+\phi(x,\lambda)$, получаем следующее уравнение для возмущения поля дилатона:
$$
\begin{equation}
\frac{d\phi}{d\lambda}= \biggl(\frac{1}{2\alpha\beta}\biggr)e^{Q\lambda}\frac{\partial f}{\partial x}.\frac{\partial\Phi}{\partial x}.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Решение этого уравнения записывается как
$$
\begin{equation}
\phi(x,\lambda)=-\frac{x^2+1}{2xQ}\frac{\partial f}{\partial x}e^{Q\lambda},
\end{equation}
\tag{22}
$$
где $\partial f/\partial x$ выражается через производную гипергеометрической функции в (19). Если струнный коэффициент связи $\tilde\alpha^2\neq 0$, то уравнение (9) с двухпетлевой квантовой поправкой не решается аналитически, поэтому мы будем искать асимптотическое решение этого уравнения.
4. Решения двухпетлевого уравнения для возмущения потоков в случае сигарообразного солитонаДвухпетлевое уравнение для возмущения имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f''(x)&{}+\biggl[\frac{2(x^2-1)}{x(x^2+1)}-\varepsilon\frac{4x}{(x^2+1)^2}\biggr]f'(x)+{} \notag\\ &{}+\biggl[\frac{2+(2-q)x^2}{x^2(x^2+1)}+\varepsilon\frac{4(q-2)(x^2+1)+8}{(x^2+1)^3}\biggr]f(x)=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
где два слагаемых, содержащих $\varepsilon$, описывают влияние квантовых флуктуаций на гравитационное поле в $\sigma$-модели струны. Это означает, что эффекты двухпетлевых квантовых поправок обычно проявляются на коротких расстояниях. Например, квантовые эффекты в двумерной некоммутативной черной дыре очевидны на малом расстоянии, но на большом расстоянии черная дыра по-прежнему описывается классической физикой [32]. В настоящей работе мы будем учитывать вклад квантовой поправки при $x\ll 1$, тогда из разложения гипергеометрической функции можно получить следующее однопетлевое асимптотическое решение:
$$
\begin{equation}
f(x)=c_1x(1-A_1x^2+B_1x^{4})+c_2x^2(1-A_2x^2+B_2x^{4}),
\end{equation}
\tag{24}
$$
где $A_i$ и $B_i$ ($i=1,2$) – коэффициенты разложения гипергеометрической функции, $c_1$ и $c_2$ – коэффициенты решения (19). Ограничимся членами порядка $x$ и $x^2$ в функции $f(x)$, пренебрегая членами высших порядков по $x$. Тогда решение уравнения для возмущения принимает вид Эта формула задает асимптотическое решение уравнения для возмущения. Двухпетлевое уравнение (23) для возмущения можно записать в виде следующего дифференциального уравнения с малым параметром $\varepsilon$:
$$
\begin{equation}
f''+(p_0(x)+\varepsilon p_1(x))f'+(q_0(x)+\varepsilon q_1(x))f=0,
\end{equation}
\tag{26}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} p_0(x)&=\frac{2(x^2-1)}{x(x^2+1)},&\qquad p_1(x)&=-\frac{4x}{(x^2+1)^2}, \\ q_0(x)&=\frac{2+(2-q)x^2}{x^2(x^2+1)},&\qquad q_1(x)&=\frac{4(q-2)(x^2+1)+8 }{(x^2+1)^3}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{27}
$$
Выберем решение уравнения (26) в виде $f=f_0+\varepsilon f_1$, где $f_0$ – однопетлевое решение (25) с коэффициентами $c_1=0$ и $c_2\neq 0$. Тогда дифференциальное уравнение для $f_1$ записывается как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f_1''&{}+\biggl[\frac{2(x^2-1)}{x(x^2+1)}\biggr]f_1'+\biggl[\frac{2+(2-q)x^2}{x^2(x^2+1)}\biggr]f_1+{} \notag\\ &{}+c_2x^2\biggl[\frac{4(q-2)x^2+4q}{(x^2+1)^3}\biggr]+c_2x \biggl[\frac{8x}{(x^2+1)^2}\biggr]=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{28}
$$
Если $q=4$ и $x\ll 1$, то асимптотическое решение этого модифицированного уравнения имеет вид отсюда получаем двухпетлевое решение для метрики сигарообразного солитона:
$$
\begin{equation}
f(x)=c_2\bigl[\bigl((1-2\varepsilon)x^2+\varepsilon x\bigr)\bigr],
\end{equation}
\tag{30}
$$
где $c_2$ отвечает за эффекты однопетлевого возмущения, а $\varepsilon c_2$ соответствует двухпетлевому возмущению. Подставляя решение (30) в уравнение (22), получаем асимптотическое решение уравнения для возмущения поля дилатона при малых расстояниях:
$$
\begin{equation}
\phi(x,\lambda)=-\frac{x^2+1}{4x}c_2[2(1-2\varepsilon )x+\varepsilon]e^{2\lambda}.
\end{equation}
\tag{31}
$$
При этом решение уравнения для возмущений потоков Риччи динамической метрики имеет вид
$$
\begin{equation}
h(x,\lambda)=c_2[(1-2\varepsilon)x^2+\varepsilon x]e^{2\lambda}.
\end{equation}
\tag{32}
$$
В разделе 2 мы получили общие выражения для коэффициентов аномалии Вейля, используя их, выводим из (31) и (32) $\beta$-функции гравитона и дилатона:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, -\beta_{00}^q&=\frac{\partial g_{00}}{\partial\lambda}=2e^{2\lambda}c_2\bigl[(1-2\varepsilon)x^2+\varepsilon x\bigr], \\ -\beta^\Phi&=\frac{\partial\Phi}{\partial\lambda}=\frac{4}{\varepsilon}- \frac{x^2+1}{2x}e^{2\lambda}c_2[2(1-2\varepsilon)x+\varepsilon]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{33}
$$
Если коэффициент $c_2>0$ и $\varepsilon$, $x$ – величины одного порядка, то $\partial g_{00}/\partial\lambda>0$, $\beta_{00}^q<0$ и $\partial\Phi/\partial\lambda>0$, $\beta^\Phi<0$. Таким образом, и метрика, и дилатонное поле растут с ростом масштаба импульса $\lambda$. Если $c_2<0$, то $\partial g_{00}/\partial\lambda<0$, $\beta_{00}^q>0$ и $\partial\Phi/\partial\lambda>0$, $\beta^\Phi<0$, в результате метрика убывает, а поле дилатона возрастает с ростом $\lambda$. Мы видим, что при возмущении метрика может иметь два тренда изменения, а дилатон – только один, поэтому знак $\beta$-функций может определять связь между возмущениями двух динамических полей и изменением масштаба импульса $\lambda$.
5. Квантовые потоки Риччи и деформация геометрии пространства-времениЧтобы изучить влияние возмущения потоков Риччи на геометрию пространственно-временной поверхности, необходимо сначала вывести уравнения ГК для квантово-возмущенной метрики. В дифференциальной геометрии поверхности обычно применяют два способа вывода уравнений ГК: один из них заключается в использовании естественной системы отсчета и K-связности, а другой – в использовании внешней дифференциальной формы и движущейся ортогональной системы для получения структурных уравнений поверхности [33], [34]. Для вывода деформированных уравнений ГК при возмущении потоков Риччи мы будем использовать второй способ. Первая базисная форма криволинейной поверхности имеет вид $\mathrm I=\omega_1\omega_1+\omega_2\omega_2$, а вторая равна $\mathrm{II}=\omega_1\omega_{13}+\omega_2\omega_{23}$, где $\omega_{ij}=\langle\vec{de}_i,\vec e_j\rangle$ ($i,j=1,2,3$) определяются ортогональной системой отсчета $\{\vec e_i\}$. Используя правила действия внешнего дифференциала, выводим следующие структурные уравнения для ортогональной системы отсчета:
$$
\begin{equation}
d\omega_{12}=\omega_{13}\wedge\omega_{32},\qquad d\omega_{13}=\omega_{12}\wedge\omega_{23},\qquad d\omega_{23}=\omega_{21}\wedge\omega_{13}.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Метрика двумерного пространства-времени записывается как где $ds^2=\mathrm I$, коэффициенты $\alpha=\alpha(x)$, $\beta=\beta(x)$ – множители стационарной метрики и $h(x,\lambda)$ – динамическое возмущение. Теперь выберем ортогональные векторы как $\vec e_1=\vec r_\tau/\sqrt{\alpha+h}$, $\vec e_2=\vec r_x/\sqrt{\beta}$, а 1-формы положим равными $\omega_1=\sqrt{\alpha+h}\,d\tau$, $\omega_2=\sqrt{\beta}\,d\tau$, тогда имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \omega_{12}&=-\omega_{21}=-\frac{\partial\sqrt{\alpha+h}}{\partial x}\frac{1}{\sqrt{\beta}}\,d\tau, \\ \omega_{13}&=\frac{l}{\sqrt{\alpha+h}}\,d\tau+\frac{m}{\sqrt{\alpha+h}}\,dx, \\ \omega_{23}&=\frac{m}{\sqrt{\beta}}\,d\tau+\frac{n}{\sqrt{\beta}}\,dx, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{36}
$$
где $l$, $m$, $n$ – коэффициенты второй базисной формы. Также имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, d\omega_{12}&=\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{\partial\sqrt{\alpha+h}}{\partial x}\frac{1}{\sqrt{\beta}}\biggr)d\tau\wedge dx, \\ d\omega_{13}&=\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{l}{\sqrt{\alpha+h}}\biggr)dx\wedge d\tau, \\ d\omega_{23}&=\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{m}{\sqrt{\beta}}\biggr)dx\wedge d\tau. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
Подставляя уравнения (36), (37) в (34), получаем уравнения ГК для возмущения потоков Риччи:
$$
\begin{equation}
-\sqrt{(\alpha+h)\beta}\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{\partial\sqrt{\alpha+h}}{\partial x}\frac{1}{\sqrt{\beta}}\biggr)=ln-m^2,
\end{equation}
\tag{38}
$$
$$
\begin{equation}
\phantom{{}-{}}\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{l}{\alpha+h}\biggr)- n\biggl(\frac{\frac{\partial}{\partial x}(\sqrt{\alpha+h})}{\beta}\biggr)=0,
\end{equation}
\tag{39}
$$
$$
\begin{equation}
-\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{m}{\sqrt{\beta}}\biggr)- m\biggl(\frac{\frac{\partial}{\partial x}(\sqrt{\alpha+h})}{\sqrt{(\alpha+h)\beta}}\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Если в уравнениях ГК известен вид метрических множителей $\alpha(x)$, $\beta(x)$ и возмущения $h(x,\lambda)$, то можно получить некоторые аналитические решения для коэффициентов $l$, $m$, $n$ второй базисной формы. Заметим, что уравнение (40) имеет решение $m=0$, тогда уравнения (38) и (39) можно свести к
$$
\begin{equation}
-\sqrt{eg}\biggl(\frac{(\sqrt{e}\,)^{\prime\,}}{\sqrt{g}}\biggr)^{\!{}_{\scriptstyle\prime}}=ln,
\end{equation}
\tag{41}
$$
$$
\begin{equation}
\phantom{{}-{}}\biggl(\frac{l}{e}\biggr)^{{}_{\scriptstyle\prime}}-n\biggl(\frac{(\sqrt{e}\,)^{\prime\,}}{g}\biggr)=0,
\end{equation}
\tag{42}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, e=\alpha+h,\qquad g=\beta, \\ (\sqrt{e}\,)'=\frac{e^{-1/2}e'}{2},\qquad (\sqrt{g}\,)'=\frac{g^{-1/2}g'}{2},\qquad \frac{(\sqrt{e}\,)'}{\sqrt{g}}=\frac{e^{-1/2}e'}{2g^{1/2}}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{43}
$$
Введем следующую функцию:
$$
\begin{equation}
f=e^{1/2}g^{1/2}\biggl(\frac{(\sqrt{e}\,)^{\prime\,}}{\sqrt{g}}\biggr)^{\!{}_{\scriptstyle\prime}}= e''-\frac{1}{2}\biggl(\frac{e^{\prime\,2}}{e}+\frac{g'e^{\prime\,}}{g}\biggr).
\end{equation}
\tag{44}
$$
В итоге получаем дифференциальное уравнение первого порядка для коэффициента $l$ второй базисной формы
$$
\begin{equation}
l'-\biggl(\frac{e^{\prime\,}}{e}\biggr)l+\biggl(\frac{e'e^{1/2}}{2g}\biggr)fl^{-1}=0.
\end{equation}
\tag{45}
$$
Это уравнение Бернулли, его общее решение имеет вид
$$
\begin{equation}
l=\exp\biggl(-\int p(x)\,dx\biggr)\sqrt{B+2\int q(x)\exp\biggl(2\int p(z)\,dz\biggr)dx},
\end{equation}
\tag{46}
$$
где $B$ – постоянная интегрирования, а подынтегральные функции $p(x)$ и $q(x)$ записываются как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, p(x)&=-\frac{e'}{e}=-\frac{\alpha'}{\alpha}+\biggl(\frac{\alpha'}{\alpha^2}h-\frac{h'}{\alpha}\biggr), \\ q(x)&=\frac{e'e^{1/2}}{2g} f=-\frac{\alpha^{1/2}}{2\beta}\biggl(\alpha'+h'+\frac{1}{2}\frac{\alpha'}{\alpha}h\biggr)f. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{47}
$$
Из уравнения (41) получаем аналитическое решение для другого коэффициента второй базисной формы: где
$$
\begin{equation}
f=\biggl(\alpha''-\frac{1}{2}\frac{\alpha^{\prime\,2}}{\alpha}-\frac{1}{2}\frac{\alpha'\beta'}{\beta}\biggr)- \frac{1}{2}\biggl(\frac{2\alpha'}{\alpha}h'+\frac{\beta'}{\beta}h'-\frac{\alpha^{\prime\,2}}{\alpha^2}h\biggr)+h''.
\end{equation}
\tag{49}
$$
Главная кривизна $k$ кривой в конкретной точке может быть определена двумя собственными значениями преобразования Вайнгартена [33]. Для вычисления $k$ сначала необходимо найти матрицу $M$ коэффициентов преобразования Вайнгартена касательного вектора. Далее из уравнения $\det(M-kI)=0$ получаем алгебраическое уравнение для кривизны $k$ Это уравнение имеет два корня отсюда с учетом выражения (14) получаем возмущение скалярной кривизны:
$$
\begin{equation}
R_h=k_1k_2-R=-\frac{h''}{\alpha\beta}+ \biggl(\frac{\alpha'}{\alpha^2\beta}+\frac{1}{2}\frac{\beta'}{\alpha\beta^2}\biggr)h'+ \biggl(\frac{\alpha''}{\alpha^2\beta}-\frac{\alpha^{\prime\,2}}{\alpha^3\beta}-\frac{\alpha '\beta'}{2\alpha^2\beta^2}\biggr)h.
\end{equation}
\tag{52}
$$
Этот результат полностью согласуется с возмущением скалярной кривизны (7), получающимся из метрического тензора. Если известен вид метрического множителя $\alpha$ и возмущения $h$, то выражения для главных кривизн $k_1$ и $k_2$ получаются по формулам (51). После линейной аппроксимации решения (30) для двухпетлевого возмущения соответствующие множители метрики сигарообразного солитона при действии квантовых потоков Риччи принимают вид
$$
\begin{equation}
\alpha=\frac{x^2}{1+x^2}+A_{\lambda}x,\qquad \beta=\frac{1}{1+x^2},
\end{equation}
\tag{53}
$$
где $A_{\lambda}=c_2\varepsilon e^{2\lambda}$. Чтобы получить частные решения уравнений для коэффициентов второй базисной формы, используем равенства
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \exp\biggl(2\int p(x)\,dx\biggr)\approx\frac{(1+x^2)^2}{x^{4}}\biggl[1-2A_{\lambda}\biggl(x+\frac{1}{x}\biggr)\biggr], \\ q(x)\approx\frac{\alpha^{1/2}}{\beta}\biggl[\frac{4x^3}{(x^2+1)^5}+\frac{x^2(x^2+5)}{(x^2+1)^{4}}A_{\lambda}\biggr]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{54}
$$
Подставляя их в (46) и (48), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, l=\frac{x^2}{1+x^2}\biggl(1+\frac{x^2+1}{x}A_{\lambda}\biggr) \sqrt{B+\frac{2x(3+2x^2)}{3(1+x^2)^{3/2}}+\biggl(\frac{8}{\sqrt{1+x^2}}-6\ln\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1}\biggr)A_{\lambda}}, \notag\\ {} \\ n=\biggl(\frac{4x^2}{(1+x^2)^3}-\frac{x(x^2-1)}{(1+x^2)^2}A_{\lambda}\biggr)l^{-1}. \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{55}
$$
Таким образом, главные кривизны имеют вид
$$
\begin{equation}
k_1=\frac{l}{\frac{x^2}{1+x^2}+A_{\lambda}x},\qquad k_2=\frac{n}{\frac{1}{1+x^2}}.
\end{equation}
\tag{56}
$$
Мы видим, что $k_1$ и $k_2$ зависят масштаба импульса $\lambda$, и возмущение потоков Риччи влияет на поведение деформированных главных кривизн. Если считать произведение коэффициента связи $\varepsilon$ для струны и коэффициента возмущения $c_2$ малой величиной и взять пространственную координату $x\sim 10^{-2}$, то мы получим следующие оценки производных, используя главный член в разложении по $x$ главных кривизн:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial k_1}{\partial\lambda}\sim c_2\varepsilon\cdot e^{2\lambda},\qquad \frac{\partial k_2}{\partial\lambda}\sim -c_2\varepsilon\cdot e^{2\lambda},
\end{equation}
\tag{57}
$$
где коэффициент $c_2>0$. Этот результат показывает, что при увеличении параметра $\lambda$ потока Риччи главная кривизна $k_1$ монотонно возрастает, а главная кривизна $k_2$ монотонно убывает. При малом расстоянии и малом возмущении изменение деформированных главных кривизн имеет противоположный характер. Кроме того, чем больше коэффициент возмущения $c_2$, тем быстрее изменяются главные кривизны как функции от $\lambda$.
6. Выводы и обсуждениеВ представленной работе мы исследовали свойства возмущений потоков Риччи для метрики типа сигарообразного солитона в $\sigma$-модели двумерной струны. На основе двухпетлевых квантово-модифицированных уравнений потоков Риччи мы получили дифференциальное уравнение для возмущения поля гравитона и нашли, что его однопетлевое решение выражается через гипергеометрические функции; это решение зависит от пертурбативного индекса $q$ и масштаба импульса $\lambda$. Двухпетлевое асимптотическое решение было получено с помощью разложения по малому параметру. Далее мы нашли явные выражения для коэффициентов аномалий Вейля для полей гравитона и дилатона. Результаты показывают, что поведение возмущений метрики и поля дилатона тесно связано с знаком коэффициента $c_2$ в выражении для возмущения. При $c_2>0$ мы имеем $\beta_{00}^q<0$ и $\beta^\Phi<0$, метрический коэффициент растет с увеличением масштаба импульса $\lambda$. Если $c_2<0$, то $\beta_{00}^q>0$ и $\beta^\Phi<0$, метрический множитель уменьшается с увеличением масштаба импульса. При этом поле дилатона растет с увеличением $\lambda$ независимо от знака коэффициента $c_2$. Обычно $\beta$-функция понимается как скорость изменения эффективной константы связи в зависимости от масштаба импульса [35]. В квантовой электродинамике (КЭД) $\beta>0$, эффективная константа связи растет с ростом масштаба импульса. В квантовой хромодинамике (КХД) $\beta<0$, эффективная константа связи уменьшается с увеличением масштаба импульса, т. е. КХД обладает свойством асимптотической свободы. В $\sigma$-модели двумерной бозе-струны $\beta$-функция равна скорости изменения возмущения поля гравитона или возмущения поля дилатона в зависимости от масштаба импульса. Если все $\beta$-функции отрицательны, возмущения возрастают с увеличением масштаба импульса, и поведение возмущений аналогично КЭД. Если все $\beta$-функции положительные, возмущения уменьшаются с увеличением масштаба импульса, и модель ведет себя, как КХД. Дополнительно мы исследовали деформацию геометрии пространства-времени при возмущении квантовых потоков Риччи. Мы вывели уравнения Гаусса–Кодацци для возмущения и получили общие решения для коэффициентов второй базисной формы. Оказалось, что деформированные главные кривизны $k_1$ и $k_2$ зависят от коэффициента возмущения $c_2$, масштаба импульса $\lambda$ и пространственной координаты $x$. Если координата мала, а возмущение положительно, то характеры изменения деформированных двух главных кривизн при изменении масштаба импульса прямо противоположны, и чем больше коэффициент возмущения $c_2$, тем быстрее изменяются главные кривизны. В этой статье мы изучали возмущения решения уравнений потоков Риччи в случае сигарообразного солитона. Имеют ли уравнения потоков Риччи другие формы солитонных решений и решений уравнений возмущения? Если существует поле аксиона $B_{\mu\nu}$, мы не знаем, существуют ли другие солитонные решения уравнений потоков Риччи [36], [37]. Эти задачи нуждаются в дальнейшем изучении. В калибровочной модели Весса–Зумино–Виттена рассматривается точная конформная теория поля, описывающая двумерную черную дыру. Метрика таргет-пространства этой теории имеет форму полубесконечной сигары. Виттен ввел поле дилатона в классическое действие и обнаружил, что дилатон должен подчиняться однопетлевому уравнению поля [38]. Дийкграаф с соавторами изучали тахионное поле в сигма-модели эффективного действия в таргет-пространстве и доказали, что решения уравнений для поля гравитона или дилатона по-прежнему сохраняют характерные черты геометрии черной дыры; в главном порядке решения для метрики и поля дилатона воспроизводят точную сигарообразную метрику Виттена [39]. Кроме того, в работе [40] для вычисления точной метрики и поля дилатона в теории струн на искривленном пространстве-времени был использован гамильтонов подход, и путем решения системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных были получены линейный элемент и дилатон. В нашей статье в основном изучались возмущенные решения уравнений для коэффициентов (15) метрики сигарообразного солитона и для сопряженного поля дилатона (16). Такой солитон очень похож на солитон Виттена, поскольку скалярная кривизна и кинетическая энергия поля дилатона локально распределены вблизи начала координат. Поэтому мы полагаем, что методы и идеи этой статьи можно использовать для изучения свойств возмущения сигарообразного солитона Виттена. С другой стороны, нетривиальной и интересной проблемой является влияние высших порядков на возмущенные решения. Начиная с третьей петли $\beta$-функция чистой метрики зависит от конкретного выбора схемы перенормировки. В этой статье мы в основном рассматривали решения для двухпетлевого квантового возмущения. Хотелось бы знать, работает ли полученное решение для возмущения в трехпетлевом случае, или нам нужно ввести другие поправочные коэффициенты. Эти интересные вопросы мы намерены рассмотреть в нашей дальнейшей работе. БлагодарностиАвтор хотел бы поблагодарить рецензента за внимательное прочтение рукописи и внесение очень ценных предложений. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Yan23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|