Теоретическая и математическая физика, 2023, том 214, номер 3, страницы 427–468 DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10304 (Mi tmf10304)

DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10304

Финансовая поддержка	Номер гранта
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации	122021000038-7
Работа опубликована в рамках госзадания Минобрнауки России (тема “Квант”, № 122021000038-7).

Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 3, Pages 369–405
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923030054

Реферативные базы данных:

1. Введение

Основное состояние магнитных материалов обычно не является однородным, а представляет собой периодическую доменную структуру. Для широкого класса ферро- и антиферромагнетиков с плоскопараллельной полосовой доменной или спиральной структурой плотность функции Лагранжа имеет вид [1]–[9]

Угол $\Phi(q,t)$ задает ориентацию нормированного вектора ферро- или антиферромагнетизма $\mathbf{n}$ ($\mathbf{n}^2=1$) [5]–[9]. Например, в геликоидальном ферромагнетике с анизотропией типа “легкая плоскость” (плоскость $Oxy$) и внешним магнитным полем $\mathbf{H}=(0,0,H)$ в базисной плоскости координата $q=z$, $\kappa \propto H$, $N=1$, $\mathbf{n}=(\cos \Phi,\sin \Phi,0)$ [8]. Для ферромагнетика с полосовой доменной структурой и квадратичной анизотропией типа “легкая ось” (ось $Oz$) $\gamma=0$, $q=x$, $N=2$, $\mathbf{n}=(0,\cos \Phi,\sin \Phi)$ [6], [7]. Для мультиферроиков с циклоидальной структурой в плоскости $Oyz$ координата $q=y$, $N=2$, $\mathbf{n}=(0,\sin \Phi,\cos \Phi)$ [9]. Второе слагаемое в лагранжиане (1.1) характеризует остаточную анизотропию в “легкой плоскости” $Oyz$. В широко распространенных двухподрешеточных антиферромагнетиках кристаллографического класса $D_{2 h}$ электрическое поле $\mathbf{E}=(0,0,E)$ приводит к магнитоэлектрической связи $\gamma \partial_y \Phi$ с параметром $\gamma \propto E$.

Во всех случаях после масштабных преобразований $\Phi'=N \Phi$, $q'=q \sqrt{\kappa N/\alpha}$, $t'=c t \sqrt{\kappa N/\alpha}$ поле $\Phi$ описывается универсальной интегрируемой моделью синус-Гордон:

Уравнение синус-Гордон (1.2) эквивалентно условию совместности следующей вспомогательной линейной системы [10]:

Униформизация (1.4) обусловлена наличием доменной структуры:

Решению (1.5) соответствует одномерная решетка из топологических солитонов – $2\pi$-кинков поля $\varphi_0(\chi)$. Движение солитона в решетке из топологических солитонов сопровождается макроскопическими трансляциями доменной структуры. В этом отношении солитоны в доменной структуре напоминают дислокации в кристаллах [14]. Свойства солитонов в доменной структуре в отсутствие спиновых волн подробно изучены в работах [5], [15], [16]. В работах [5], [17] для изучения нелинейной динамики спиральной (полосовой доменной) структуры предложен вариант метода обратного рассеяния c двумя типами граничных условий:

Предельным значениям поля $\Phi(q,t)$ соответствуют фундаментальные матричные решения Йоста $\Psi_{1,2}(u,\chi,t)$ системы (1.3), задаваемые асимптотиками

На практике возбуждение солитонов в доменной структуре всегда сопровождается генерированием спин-волновых пакетов. Их наличие не связано со сдвигом структуры, а потому они совместимы с обоими типами краевых условий (1.7), (1.8) [5], [17]. Солитоны, волны и доменная структура в течение длительного времени образуют единую сильно коррелированную систему. Поскольку ядра солитонов не являются жесткими образованиями, нелинейная интерференция солитонов и волн приводит к релаксационным колебаниям солитонов, изменяет их свойства и характер движения. Впервые подобные эффекты были установлены в работах [18]–[21].

В работах [18], [19] показано, что ядра интегральных уравнений метода обратной задачи для моделей Кортевега–де Фриза, синус-Гордон и нелинейного уравнения Шредингера с однородным основным состоянием упрощаются при $t \to \pm \infty$ на интервалах $q= [q_0 +(\nu_0 \pm 0) t,\,+\infty)$. Здесь $q$ – пространственная координата, $t$ – время, $q_0, \nu_0 = \mathrm{const}$. На этих интервалах удалось вычислить асимптотические данные рассеяния для решений исходных моделей, а с их помощью оценить сдвиг фазы и положения, которые приобретает каждый солитон в результате взаимодействия с цугом диспергирующих волн и прочими солитонами. Более подробно строение оптических солитонов и особенности их динамики в поле излучения были исследованы методом одевания в рамках нелинейного уравнения Шредингера [20], [21].

Спектр линейных спиновых волн в полосовой структуре содержит две ветви – бесщелевую и активационную. Начальное возмущение доменов с течением времени трансформируется в два волновых цуга. В приближении, линейном по амплитуде возмущения $|r(u)|$, волновое поле в доменной структуре имеет вид [22]

Лоренцева симметрия модели (1.2) выделяет пространственно-временнóй конус $|q/t|<1$, в пределах которого только и могут распространяться волны. Групповая скорость активационных мод достигает предела, который в безразмерных переменных равен единице. Бесщелевые моды движутся медленнее. Их групповая скорость не превышает значения $v_\mathrm{max}= K k'/E$, где $E$ – полный эллиптический интеграл второго рода с модулем $k$.

В работе [22] показано, что в пространственно-временнóй области

В магнитных пленках возможны случаи, когда $L_0/l_0 = O(1)$ [7]. Зависимость предельной скорости бесщелевых мод от параметра $k$ (см. ниже рис. 2) показывает, что в пленках есть пространственные интервалы

Статья построена следующим образом. В разделе 2 приведены основные формулы, необходимые для расчета взаимодействия солитонов и волн в полосовой доменной структуре. В разделе 3 получены асимптотические формулы для поля излучения и матриц задачи Римана на больших временах в пространственной области (1.15) ($q>0$) при наличии цугов активационных и бесщелевых волн в доменной структуре. В разделе 4 найдены волновые поля и матрицы задачи Римана на переднем фронте цуга бесщелевых мод. С помощью этих результатов в разделе 5 построены и проанализированы новые решения модели синус-Гордон, описывающие кинки и бризеры в поле диспергирующих волн полосовой доменной структуры. Показано, что в ходе релаксационных колебаний солитоны стремятся к стационарным состояниям по закону $t^{-1/2}$. Наличие волнового поля ведет к уширению солитонов. Найдены изменения координат, скоростей и частот солитонов в волновом поле доменной структуры.

2. Аналитическое описание солитонов и волн в доменной структуре

Нам понадобятся ключевые результаты описания нелинейной динамики доменной структуры методом обратной задачи рассеяния [5], [17]. Прежде всего по начальному распределению намагниченности вычисляют спектральные данные вспомогательной линейной системы (1.3). Они регламентируют дальнейшую эволюцию возмущения доменной структуры: дискретный спектр порождает солитоны, непрерывный – спиновые волны [10], [23].

Матричная функция $\Psi_\delta (u,\chi,t)$ (1.10) обладает следующими трансформационными свойствами:

Нули функций $a(u)$ и $\bar{a}(u)$ в областях их аналитичности определяют дискретный спектр системы (1.3), который параметризует солитоны в доменной структуре. Далее для определенности считаем все нули простыми. Спектральные плотности $b(u)$ и $\bar{b}(u)$ конкретизируют диспергирующие волны в доменной структуре. Чисто солитонным возбуждениям соответствуют решения задачи Римана с нулями коэффициентов $a(u)$ и $\bar{a}(u)$ в областях $D_1$ и $D_2$, когда $b=\bar{b}\equiv 0$. В этом случае условие унимодулярности матрицы перехода дает $a_\mathrm{sol}(u) \bar{a}_\mathrm{sol}(u) =1$. Индекс “$\mathrm{sol}$” указывает, что рассматриваемые коэффициенты относятся к чисто солитонному сектору. Элементы $a_\mathrm{sol}(u)$ и $\bar{a}_\mathrm{sol}(u)$ являются мероморфными квазипериодическими функциями с периодами [$2 K, 4iK'$]. Их алгебраическая структура полностью определяется [5], [17] редукциями, нулями, полюсами и условием нормировки в особой точке $u=iK'$ вспомогательной линейной системы (1.3):

Для построения решений модели синус-Гордон, описывающих взаимодействие солитонов и волн в доменной структуре, удобно вначале рассмотреть более простую задачу описания диспергирующих волн в доменной структуре без солитонов. Волновые цуги не приводят к результирующему сдвигу структуры. Поэтому решения Йоста $F_{1,2}$ вспомогательной системы (1.3) задаются асимптотическими условиями

С помощью задачи Римана (2.9) формулы для поля излучения можно строить локально в окрестности каждой точки пространства и времени. Далее для определенности рассмотрим область (1.14), в которой координата $q>0$. Выделим из фундаментальных решений $F_{1,2}(\chi, t, u)$ множитель $\Psi_0 (\chi,t, u)$, содержащий существенные особенности по $u$, и введем новые функции $E_1 (u)$ и $E_2 (u)$, аналитические в областях $D_1$ и $D_2$ соответственно:

Кроме того, матричные функции $E_1(u)$ и $E_2(u)$ должны удовлетворять редукциям

При наличии непрерывного спектра явное решение регулярной задачи Римана невозможно. Однако в наиболее интересной пространственно-временнóй области (1.15) удается найти асимптотические решения уравнения (1.2) и вспомогательной системы (1.3) на больших временах. Остановимся на этом подробнее.

3. Асимптотическое решение задачи Римана

Построение “затравочного” волнового поля в доменной структуре сводится к решению задачи Римана, матрица сопряжения которой при $t \to +\infty$ быстро осциллирует на множестве непрерывного спектра вспомогательной линейной системы всюду, за исключением окрестностей точек стационарной фазы. Систематический подход асимптотического исследования осциллирующих задач Римана предложен в работах [24]–[26]. Его основная идея состоит в следующем. Посредством подходящих треугольных факторизаций матрицы сопряжения исходную задачу Римана локализуют вблизи точек стационарной фазы. Вводятся новые аналитические функции и разделяющий их контур. На новом контуре спектральные коэффициенты модельной задачи кусочно-постоянны, а матрица сопряжения экспоненциально стремится к единичной при удалении от точек стационарной фазы. В конечном счете решение упрощенной задачи Римана выражается через специальные функции. С помощью этой техники, получившей название метода наискорейшего нелинейного спуска, установлены многие важные результаты для интегрируемых нелинейных уравнений и моделей статистической механики [25]–[31]. Применим ее к нашей задаче.

В формулировке задачи Римана (2.10) матрица $G(u)$ имеет следующую алгебраическую структуру:

Zoom inZoom out

Рис. 1.Области аналитичности $D_1 = D_1^{(1)} \cup D_1^{(2)}$ и $D_2 = D_1^{(2)} \cup D_2^{(2)}$ функций $F_1 (u)$ и $F_2 (u)$ в параллелограмме периодов и контур $\Gamma=\gamma_1 \cup \gamma_2 \cup \tilde{\gamma}_1 \cup \tilde{\gamma}_2$ (жирные линии). Области ограниченности функции $e^C$ ($e^{-C}$) заштрихованы (без штриховки), $q/t<K k'/E<1$.

На отрезке $\gamma_1 = \{u = iv, -2 K'< v< 2 K'\}$ при $q>0$, $t \to +\infty$ параметры $v$ в точках стационарной фазы определяются уравнением [22]

На отрезке $\gamma_2 = \{u = iv-K, -2 K'< v< 2 K'\}$ параметры $v$ в точках стационарной фазы совпадают с корнями уравнения

В этом разделе мы получим асимптотические формулы для волнового поля в доменной структуре в области, где справедливы неравенства

Множители $e^{\pm C(u)}$ аналитически продолжаются с контура $\Gamma$ и остаются ограниченными только в определенных областях фундаментального прямоугольника. А именно, если $0<k<1$, $q>0$, то функция $e^C(u)$ ($e^{-C(u)}$) ограничена в заштрихованных (незаштрихованных) областях на рис. 1. Линии $\operatorname{Re} C(u) = 0$ в точках пересечения с отрезками $\Gamma$ имеют локальные экстремумы.

Zoom inZoom out

Рис. 2.Зависимость предельной скорости бесщелевых мод от модуля $k$ полосовой доменной структуры. В областях, где $0<q/t<K k'/E$, распространяются бесщелевые и активационные волны, в заштрихованной области $q/t>K k'/E$ остаются только активационные моды; $k_1 = 0.968$ ($L_0/l_0=5.5$), $k_2=0.9994$ ($L_0/l_0 =9.5$).

Для приближенного решения задачи Римана (2.10) сведем ее к эффективной задаче Римана с новым контуром $\Sigma$ [22]. В окрестности любой из точек стационарной фазы контур $\Sigma$ представляет собой объединение двух линий наискорейшего спуска для множителей $e^{\pm C(u)}$. В точке пересечения линии ортогональны и образуют в плоскости спектрального параметра $u$ “крест”, повернутый на угол $\pi/4$ относительно мнимой оси $u$ (см. рис. 3).

Zoom inZoom out

Рис. 3.Линии контура $\Sigma$ и секторы $\omega^{(p)}$ около точек стационарной фазы.

Для конкретизации преобразования зададим обход первоначальных отрезков $\Gamma=\gamma_1 \cup \tilde{\gamma}_1 \cup \gamma_2 \cup \tilde{\gamma}_2$ так, чтобы области $D_1^{(s)}$ оставались слева от них (рис. 1). Далее знак “$+$” (“$-$”) всегда приписывается области, которая располагается слева (справа) от ориентированной линии. Ключевую роль в упрощении задачи Римана играет функция $\kappa(u)$, имеющая на линиях $\Gamma$ скачок $n(u)=1+r(u) \bar{r}(u)$:

В пределе $q \to +\infty$ ($q/t<1$) точки $v_A, v_M$ стремятся к $K'$. Поэтому медленно меняющийся в пространстве и времени параметр $\Delta_0$ стремится к нулю. Отсюда заключаем, что квазипериодическая функция $\Psi_{\Delta_0}(u, \chi, t)$ в пределе $q \to +\infty$ становится двоякопериодической и совпадает с функцией $\Psi_{0}(u, \chi, t)$, которая задает асимптотические условия для решений Йоста (2.8). Более того, согласно (2.1), (3.9) функция

На рис. 3 линии $\Sigma_A^{(s)}$, $s=1,2,3,4$, нового контура $\Sigma$ и отрезок $\gamma_1$ прежнего контура разбивают окрестность точки $u=u_A$ на шесть секторов $\omega_A^{(p)}$, $p=1,2,\dots,6$. Похожие обозначения введем вблизи всех точек стационарной фазы в фундаментальном прямоугольнике со сторонами [$4K, 4iK'$]. Тогда нижний индекс $A, B, L, M,\dots$ у линий и секторов будет конкретизировать точку стационарной фазы. Сходными буквами латинского алфавита, например $A$ и $\widetilde{A}$, $B$ и $\widetilde{B}$ и т. п., обозначим “кресты”, сдвинутые на $2K$ вдоль вещественной $u$-оси. Верхние индексы на рис. 3 выбраны так, чтобы линии (секторы) с одинаковыми номерами $s$ ($p$) были связаны преобразованиями симметрии. Чтобы не загромождать рис. 3, мы изображаем на нем только основные секторы и линии активационных и бесщелевых мод. Если для соседних “крестов” нижние индексы линий и секторов совпадают, то на рисунке они не указаны. Индексы других линий и секторов нетрудно получить из приведенных на рисунке трансляциями на $\pm 2K$ вдоль вещественной $u$-оси.

Введем обозначения

Модифицированная задача Римана (3.14) замечательна тем, что на контуре $\Sigma$ в пределе (3.5) матрица сопряжения $\widetilde{\Psi}_{+}(u) W(u) [\widetilde{\Psi}(u)]_-^{-1}$ экспоненциально стремится к единичной при удалении от центров “крестов” $\Sigma_S$, где $S=A,B,L,M,\widetilde{A},\widetilde{B},\widetilde{L},\widetilde{M}$. Не будет большой ошибкой, если на лучах $\Sigma_S$ спектральные плотности $r(u)$ и $\bar{r}(u)$ заменить их значениями $r_S$ и $\bar{r}_S$ в точках стационарной фазы $u=u_S$. Тогда матрица $W(u)$ (3.14) станет кусочно-постоянной. В работе [25] для модифицированной модели Кортевега–де Фриза переход от первоначальных коэффициентов отражения к их кусочно-постоянной аппроксимации обоснован посредством тщательных оценок. По той же причине на линиях каждого “креста” $\Sigma_S$ функцию $\widetilde{\Psi}(u)$ можно заменить ее разложением вблизи точки $u=u_S$. В результате приближенное решение задачи Римана (3.14) на контуре $\Sigma$ будет объединением более простых задач Римана на лучах $\Sigma_S$.

Для расчета значений $\mu(u) \equiv \mu_A (u)$ в секторах “креста” $\Sigma_A$ введем локальный параметр $\lambda$: $u=u_A - i \lambda/\sqrt{t \gamma_A}$, где

Обозначим $2 \pi \nu \equiv \ln n(u_A) >0$. Нам понадобится функция $\lambda^{i\nu}$, определенная в $\lambda$-плоскости с разрезом вдоль луча $\mathbb{R}_{-}=(-\infty, 0]$, и матрица $\varepsilon(\lambda) \equiv e^{i\lambda^2 \sigma_3/4}$. Заменим выражения $\Psi_{\Delta_0}(u)$ и $\kappa(u)$ их асимптотическими разложениями вблизи точки $u_A =iv_A$:

Вычисление матриц $\mu_A(u)$ вблизи точки $u=u_A$ на больших временах (при $|u-u_A|=|\lambda|/\sqrt{t\gamma_A}\ll 1$) равносильно решению модельной задачи Римана в комплексной $\lambda$-плоскости. Соответствующие прежним линии и секторы приведены на рис. 4. В окрестности точки $u=u_A$ необходимо построить функции $\mu_A (\lambda) \Psi_A$, аналитические в секторах $\omega_A^{(p)}$ с условиями сопряжения на лучах $\Sigma_A$:

Zoom inZoom out

Рис. 4.Лучи $\Sigma_B$ ($\Sigma_A$) и секторы $\omega^{(p)}_B$ ($\omega^{(p)}_A$) кусочно-аналитической функции $\mu_B (\lambda)$ ($\mu_A (\lambda)$) в плоскости параметра $\lambda$ изображены на рис. 4а (рис. 4б). Жирные линии – разрезы $\mathbb{R}_{+}$ и $\mathbb{R}_{-}$.

Задачу Римана (3.19) на лучах $\Sigma_A$ нетрудно преобразовать в задачу Римана с контуром вдоль вещественной оси $\mathbb{R}$ [22], [25]. Это достигается с помощью кусочно-аналитической функции

Отсюда следует, что калибровочное преобразование

Zoom inZoom out

Рис. 5.Лучи $\Sigma_M$ (a) и $\Sigma_L$ (б) и секторы $\omega^{(p)}_M$ (a) и $\omega^{(p)}_L$ (б) функций $\mu_M (\lambda)$ и $\mu_L (\lambda)$ в плоскости параметра $\lambda$. Жирные линии – разрезы $\mathbb{R}_{+}$ и $\mathbb{R}_{-}$.

Объединяя результаты, получаем соотношение

Для остальных точек стационарной фазы $S =\widetilde{A}, B, \widetilde{B}$, ассоциированных с ветвью активационных мод, вычисления функций $\mu_{S}(\lambda)$ в секторах “крестов” $\Sigma_S$ производятся по той же схеме. Локальные параметры $\lambda$ около точек стационарной фазы $u=u_S$ вводятся единообразно:

Свойства симметрии функций $r(u)$, $\kappa(u)$, $\widetilde{\Psi}(u)$, $\mu(u)$ (2.11), (3.9), (3.11), (3.15) приводят к связям

Для бесщелевой моды вблизи точек стационарной фазы $G = M, L ,\widetilde{M}, \widetilde{L}$ локальный параметр $\lambda$ определяется иначе:

Условия сопряжения аналитических функций $\mu_M (\lambda)$ на лучах $\Sigma_M$ имеют вид

Калибровочное преобразование

Аналитическая функция $\mu_M (\lambda) \Psi_M$ бесщелевой ветви допускает факторизацию:

Результаты, найденные вблизи точек стационарной фазы, позволяют построить асимптотическое при $t \to +\infty$ решение исходной двоякопериодической задачи Римана (3.14). Для этого в качестве ядра Коши на торе используем выражение

В пределе (3.5) на лучах $\Sigma_{S,G}$, где $S=A,B,\widetilde{A},\widetilde{B}$ и $G=L,M,\widetilde{L},\widetilde{M}$, матрица перехода $[\widetilde{\Psi}]_{+} (I-W)[\widetilde{\Psi}]_{-}^{-1}$ экспоненциально стремится к нулю при удалении от точек стационарной фазы. Поэтому в равенстве (3.31) при значениях $|u-u_{S,G}|>1/\sqrt{t\gamma_{A,M}}$ на каждом из “крестов” можно перейти от интегрирования по переменной $u'$ к интегрированию по локальным параметрам $\lambda$ (3.22), (3.24). В пределе $t \to \infty$ в ядрах Коши и функции $W(u)$ можно пренебречь зависимостью от $\lambda$: $Y(u',u) \to Y(u_{S,G}, u)$, $W(u') \to W(u_{S,G})$, а оставшиеся подынтегральные матрицы на лучах $\Sigma_{S}$, $\Sigma_{G}$ заменить выражениями (3.21), (3.23), (3.28), (3.29).

Тогда контурные интегралы в (3.31) сводятся к табличному [33]:

Полученное решение, как и ожидалось, содержит двоякопериодические комбинации ядер Коши $\alpha(u_S, u)$ и $\beta(u_S, u)$. Выразим их через функции Якоби:

С помощью формул (3.16), (3.32), (3.33) находим асимптотику при $t \to \infty$ решения задачи Коши для поля излучения $\varphi_r=\Phi-\varphi_{\Delta_0}$ в доменной структуре при отсутствии солитонов:

Сравним этот результат с решением (1.11) линеаризованной задачи. Последнее получено в работе [22] путем сведения регулярной задачи Римана (2.10) к интегральным уравнениям, решение которых найдено итерациями при $|r(u)|\ll 1$, $u \in \Gamma$, в виде разложения по степеням $r(u)$.

В области (3.5) вычисление интеграла (1.11) методом стационарной фазы дает

Из формул (3.13), (3.32) находим асимптотическое при $t \to \infty$ решение вспомогательной линейной системы (1.3) в области (3.5) ($q>0$):

Асимптотический анализ волнового поля доменной структуры и матриц задачи Римана в области (3.5) при $q<0$ осуществляется по той же схеме и дает близкие результаты. Поясним утверждение.

В отсутствие солитонов краевые условия при $q \to \pm \infty$, а значит, и асимптотические решения нелинейного уравнения (1.2) на интервалах $\infty>q>0$ и $-\infty<q<0$ связаны между собой: $\Phi(-q, t)=2 \pi-\Phi(q, t)$. Поэтому операторы вспомогательной линейной системы (1.3) обладают свойствами симметрии

В работе [34] показано, что в случае однородного основного состояния среды изложенный подход дает первые члены разложения по степеням $t^{-1/2}$ волновых полей и матриц задачи Римана. Последние были найдены в работе [35] методом многомасштабных разложений. При этом роль “быстрой” переменной играла линейно зависящая от $q$, $t$ фаза волнового цуга, а отношение $q/t$ характеризовало медленные изменения его амплитуды и начальной фазы. Отметим, однако, что обобщение техники многомасштабных разложений для исследования волн в доменной структуре влечет серьезные трудности.

4. Волновое поле на переднем фронте цуга голдстоуновских мод

Мы показали, что на больших временах начальное распределение намагниченности порождает в области (3.5) доменной структуры два волновых цуга из активационных и бесщелевых мод. Скорость волн в безразмерных переменных не превышает единицы: $|q/t| \leqslant 1$. Групповая скорость активационных мод может достигать единицы. Бесщелевые моды обладают меньшей предельной скоростью $v_{\mathrm{max}}=K k'/E<1$. Поэтому сформированный ими цуг на больших временах отстает от цуга активационных мод. В данном разделе мы обсудим переход из области, где имеются два волновых цуга, к области, в которой преобладают активационные моды. Результаты разделов 3, 4 используются далее для описания взаимодействия солитонов и волн в разных пространственных областях доменной структуры.

На переднем фронте цуга бесщелевых мод (в пространственной области $q \gtrsim v_{\mathrm{max}} t$ при $t \to +\infty$) его поле экспоненциально спадает. Приближение к фронту со стороны меньших значений $q$ с математической точки зрения проявляется в сближении точек стационарной фазы у функций $e^{\pm C(u)}$ на отрезках $\gamma_2$ и $\tilde{\gamma}_2$. Предельной скорости бесщелевых мод $q/t=v_{\mathrm{max}}$ соответствует слияние точек стационарной фазы: $u_{L,\widetilde{L}}=u_{M,\widetilde{M}}=\mp K + iK'$. Дальнейшее продвижение в область $q>v_{\mathrm{max}} t$ приводит к появлению у функций $e^{\pm C(u)}$ седловых точек вместо точек стационарной фазы. Такими точками будут корни уравнения $\partial_u C(u)=0$, которые возникают в областях $D_{1,2}$ вблизи точек $u=\mp K + iK'$. А именно, при $q>0$ около отрезка $\gamma_2$ возникают две точки перевала:

Пусть коэффициенты отражения $r(u)$ и $\bar{r}(u)$ допускают аналитическое продолжение с контуров $\gamma_2$ и $\tilde{\gamma}_2$ в малые окрестности седловых точек функций $e^{\pm C(u)}$. Тогда асимптотические формулы для волнового поля в доменной структуре на переднем фронте цуга бесщелевых мод можно получить методом перевала [36]. Как и ранее, это достигается локализацией задачи Римана. Около седловых точек осуществляется подходящая треугольная факторизация матриц перехода на отрезках $\gamma_2$ и $\tilde{\gamma}_2$, что позволяет вблизи бесщелевого спектра ввести новые кусочно-аналитические функции с условиями сопряжения на новых линиях наискорейшего спуска.

Преобразования задачи Римана около сохранившихся на отрезках $\gamma_1$, $\tilde{\gamma}_1$ точек стационарной фазы $u=u_S$, $S=A, \widetilde{A}, B, \widetilde{B}$, осуществляются по прежней схеме. Линии наискорейшего спуска $\Sigma_S$ будут такими же, как в разделе 3. В то же время отсутствие точек стационарной фазы на отрезках $\gamma_2$, $\tilde{\gamma}_2$ спектра бесщелевых мод приводит к упрощению функций $\kappa(u)$, $\widetilde{\Psi}(u)$:

Вместо линий $\Sigma_G$, $G=L, \widetilde{L}, M, \widetilde{M}$, теперь вводим $\Sigma_{S_{1,2}}$ и $\Sigma_{\widetilde{S}_{1,2}}$. Это отрезки вертикальных прямых, параллельные отрезкам $\gamma_2$ и $\tilde{\gamma}_2$ в фундаментальном прямоугольнике со сторонами $[4K, 4iK']$ (рис. 6). Линии $\Sigma_{S_{1,2}}$ и $\Sigma_{\widetilde{S}_{1,2}}$ проходят через седловые точки $u=u_{1,2}$ и $u=\tilde{u}_{1,2}$ соответственно. Из сравнения рис. 3 и рис. 6 заключаем, что одну из них – $\Sigma_{S_{1}}$ – можно трактовать как объединение двух прежних $\Sigma_{L}^{(4)}$ и $\Sigma_{M}^{(4)}$, а вторая – $\Sigma_{S_{2}}$ – образуется слиянием $\Sigma_{L}^{(1)}$ и $\Sigma_{M}^{(1)}$. Отрезки $\Sigma_{\widetilde{S}_{1,2}}$ получаются сдвигом на $2K$ отрезков $\Sigma_{S_{1,2}}$. Направления обхода всех кривых на рис. 6 указаны стрелками. Отрезки $\Sigma_{S_{1,2}}$ и $\gamma_2$ ($\Sigma_{\widetilde{S}_{1,2}}$ и $\tilde{\gamma}_2$) выделяют в окрестности бесщелевого спектра две новые области $\Omega_1$ и $\Omega_2$ ($\widetilde{\Omega}_1$ и $\widetilde{\Omega}_2$).

Zoom inZoom out

Рис. 6.Линии контура $\Sigma_G=\Sigma_{S_{1,2}} \cup \Sigma_{\widetilde{S}_{1,2}}$, области $\Omega_{1,2}$, $\widetilde{\Omega}_{1,2}$ и седловые точки $u_{1,2}$, $\tilde{u}_{1,2}$.

На отрезках $\gamma_2$ и $\tilde{\gamma}_2$ выполним нижне-верхнетреугольную факторизацию матрицы перехода:

Контур $\Sigma_f=\Sigma_g+\Sigma_a$ задачи Римана, ассоциированной с передним фронтом бесщелевых мод, состоит из линий $\Sigma_g$ и $\Sigma_a =\Sigma_A \cup \Sigma_{\widetilde{A}} \cup \Sigma_B \cup \Sigma_{\widetilde{B}}$. Условия сопряжения аналитических функций активационных мод на контурах $\Sigma_a$ задаются по-прежнему формулами (3.14). Матричные функции $\mu(u)$ задачи Римана (3.14), (4.5) с контуром $\Sigma_f=\Sigma_g+\Sigma_a$ удовлетворяют редукциям (3.15) и условиям нормировки (3.16).

Как и ранее, с помощью теоремы Коши восстановим значения кусочно-аналитической функции $\mu(u)$ вне контура $\Sigma_f$ по ее скачкам при переходе через линии $\Sigma_f$:

В малых окрестностях седловых точек $u=u_{1,2}$ заменим функцию $2C(u)$ первыми членами ее разложений в ряд Тейлора:

Как и ранее, в пределе $t \to \infty$ в ядрах Коши можно пренебречь зависимостью от $\lambda$: $Y(u',u) \to Y(u_G, u)$, где $u_G = u_{1,2}, \tilde{u}_{1,2}$. С учетом перечисленных упрощений все контурные интегралы по линиям $\Sigma_g$ в формуле (4.6) сводятся к гауссовому интегралу:

Приближенное вычисление контурных интегралов (4.6) вдоль линий $\Sigma_a$ в области (1.14) осуществляется по прежней схеме. Приведем окончательный результат для матричной функции $\mu(u)$:

Из формул (3.16), (4.12) находим асимптотику при $t \to +\infty$ решения задачи Коши для поля излучения $\varphi_r = \Phi-\varphi_{\Delta_0}$ в доменной структуре на переднем фронте цуга бесщелевых мод:

В непосредственной близости к фронту бесщелевых мод при выполнении неравенства $0<(V-v_\mathrm{max})/v_\mathrm{max}\ll 1$, где $V=q/t$, значения параметра $\varepsilon$ (4.2) малы. Из (4.2) находим связь $\varepsilon$ с относительной скоростью:

В области (1.14) на больших расстояниях от фронта бесщелевых волн в формуле (4.12) можно пренебречь вторым слагаемым. Тогда волновое поле в доменной структуре будет представлено только цугом активационных мод, который в главном приближении совпадает с найденным в работе [22], отличие состоит в разной параметризации формул и уточнении начальных фаз в выражениях для $R_A$.

Асимптотическое при $t \to \infty$ решение вспомогательной линейной системы (1.3) вблизи фронта бесщелевых мод ($q>0$) имеет вид

5. Солитоны в волновом поле доменной структуры

Решения модели (1.2), описывающие нелинейную интерференцию солитонов и поля излучения, найдем методом одевания частных решений с помощью задачи Римана. Для магнетиков с однородным основным состоянием эффективность предлагаемого подхода для изучения релаксации солитонов в поле диспергирующих волн ранее была продемонстирована в рамках модели синус-Гордон и уравнения Ландау–Лифшица [34], [37]. В настоящей работе из-за наличия доменной структуры аналитические свойства функций задачи Римана определяются на римановой поверхности, топологически эквивалентной тору, и оказываются двоякопериодическими функциями спектрального параметра $u$ с периодами $[4K, 4iK']$. Конформное преобразование

Zoom inZoom out

Рис. 7.Области $D_{1,2}^{(1)}$ и контуры $\gamma_1$, $\gamma_2$, $\tilde{\gamma}_2$ в комплексной $\lambda$-плоскости.

Метод одевания допускает некоторую степень произвола в построении солитонных матриц задачи Римана. В отличие от предложенной в [5], [17] последовательной процедуры одевания на торе, которая дает солитонные решения с заданными условиями при $\chi \to \pm \infty$, в настоящей работе мы осуществляем более “мягкое” построение. Ввиду асимптотического характера формул для волнового поля краевые условия задачи заранее не фиксируем. Все изменения доменной структуры, обусловленные наличием в ней волн и солитонов, в частности макроскопический сдвиг доменов, найдем из анализа явных решений модели синус-Гордон (1.2). Принципиальными при этом являются лишь два момента: устранение лишних полюсов в одевающих формулах и учет редукций, гарантирующих верные трансформационные свойства у новых решений. На первом листе плоскости $\lambda$ коэффициенты $w_1 (u)$, $w_2 (u)$ вспомогательной системы (1.3), а также множители $\tilde{\alpha}(u_S, u)$, $\beta(u_S, u)$ в затравочном решении (3.36) являются рациональными функциями параметра $\lambda$:

Преимущество процедуры одевания состоит в том, что требуемые решения строятся локально в окрестности каждой точки пространства и времени. Это позволяет получить явные формулы для солитонов на фоне волновых цугов, которые формируются при $t \to \infty$ из произвольного начального возмущения доменной структуры. В отсутствие солитонов такие цуги соответствуют непрерывному спектру прямой задачи рассеяния и описываются универсальными формулами, которые получены в предыдущих разделах. Добавление солитонов в систему осуществляется посредством алгебраических вычислений и достигается введением дискретного спектра в задачу рассеяния при заданном непрерывном спектре. С помощью калибровочного преобразования

Приведем явный вид элементов матрицы $R(\lambda)$ в виде разложения по полюсам [5], [23]:

Полученные результаты позволяют построить требуемый класс решений модели синус-Гордон. Левая и правая части первого равенства (5.5) имеют простые полюсы в точке $\lambda=0$. Приравнивая вычеты в этих полюсах, сразу получаем явное выражение для поля $\Phi(q, t)$:

Кинки в поле излучения

Рассмотрим солитон, который образован введением дополнительной доменной стенки ($2 \pi$-кинка поля $\Phi(q, t)$) в полосовую структуру, т. е. в одномерную решетку из $2\pi$-кинков (1.5). Динамика такого солитона в волновом поле доменной структуры определяется формулой (5.7), когда функция $R(\lambda)$ имеет единственный полюс в точке

После простых вычислений из (5.7) получаем выражение, удобное для дальнейшего анализа:

В дальнейшем нам понадобится комбинация функций Вейерштрасса (функций Якоби с модулем $k$):

Поле $\Phi_d (q, t)$, описывающее движение солитона в доменной структуре при отсутствии волн, выражается через $n_1 (q, t)$ [5], [16]:

Солитон (5.11), как и дислокация в кристалле, является элементарным переносчиком макроскопического сдвига доменной структуры. Из-за его образования меняются краевые условия задачи:

В пластине мультиферроика с циклоидальной структурой доменные стенки структуры проявляются как солитоны электрической поляризации на поверхности образца [3], [9]. Согласно второй из формул (5.15) лишний кинк в доменной структуре не бывает неподвижным. Поэтому образование кинка (5.11) в циклоидальной структуре мультиферроика может быть обнаружено по перемещению одного из солитонов электрической поляризации вдоль решетки из неподвижных солитонов структуры.

Приведенные результаты позволяют записать решение (5.8) для кинка в волновом поле доменной структуры в виде

Активационный и бесщелевой волновые цуги после прохождения через солитон приобретают фазовые сдвиги, равные $2 f_A$ и $2 f_M$ соответственно. Выражение для $f_{A,M}$ дает последняя из формул (5.18) при $s=A, M$. Параметр $\Delta_0(q,t)$ определяет медленно меняющееся в пространстве и времени смещение солитона вместе с доменной структурой под влиянием волнового поля. Кроме того, из-за наличия кинка волновое поле и домены слева и справа от центра солитона в соответствии с формулой (2.7) наряду со сдвигом на период претерпевают дополнительный относительный сдвиг по переменной $\chi$ на величину $\Delta=-2 \tau_1$, который не превосходит длины домена и определяется исключительно строением ядра кинка. В отличие от смещения $\Delta_0$, вызванного излучением, сдвиг структуры $\Delta$, порожденный кинком, наблюдается и вне области волнового поля. Изменения фазы волнового поля и дилатация $\Delta=-2 \tau_1$ доменной структуры несут информацию о толщине и скорости кинка.

Медленно меняющийся в пространстве и времени параметр $q_r$ (5.14) описывает индуцированный волновым полем дрейф солитона относительно доменной структуры, а также изменение толщины кинка из-за наличия локализованных на кинке колебаний волнового поля:

Пусть для определенности излучение находится преимущественно слева от центра $q_0$ кинка: $q_0\gg 1$ ($q/t=O(1)$, $t \to \infty$). Тогда скорость $V_r$ вынужденного движения кинка и его эффективная толщина $l_\mathrm{eff}$ в поле излучения вычисляются по формулам

В рассмотренной схеме одевания для построения кинка (5.11) был использован нуль $u=i K'-\tau_1$ коэффициента прохождения $a(u)$. Можно показать, что солитонное состояние, ассоциированное с другим нулем $u=-i K'-\tau_1$, представляет эквивалентный кинк, движущийся в полосовой структуре с противоположной хиральностью доменных стенок.

Отметим, что используемая здесь схема одевания не сохраняет граничных условий для доменной структуры при $\chi \to \infty$ (ср. (5.16) с формулами (1.7)). Однако благодаря трансляционной инвариантности уравнения синус-Гордон (1.2) этот недостаток легко устранить заменой $\chi \to \chi+\tau_1$ в решении (5.11). Еще раз напомним, что, в отличие от порожденных кинком дилатации $\Delta=-2 \tau_1$ и трансляции доменной структуры на период, смещение $\Delta_0(q,t)$ (5.14), вызванное волновым полем, обращается в нуль при $\chi \to +\infty$.

Релаксирующие бризеры

Бризерное возбуждение доменной структуры, релаксирующее в поле излучения, описывается матричной функцией $R(\lambda)$ (5.4) с двумя полюсами $\lambda=\lambda_1, -\lambda_1^*$. Параметры $\lambda_1^*$ и $\mu$ связаны между собой:

Определение функции $D(u)$ такое же, как в (5.10). Протяженность и динамические свойства бризера обусловлены зависимостью вектора $\mathbf{n}$ от переменных $\chi$, $t$ (5.24). Поскольку матрица $M(\mu, \chi+\Delta_0)$ периодична по $\chi$, основную зависимость $\mathbf{n}$ от $\chi$, $t$ дает экспоненциальный множитель $e^{\sigma_3 (C(\mu, \chi,t)+D(\mu))} \mathbf{c}$. В формулы (5.22) и (5.23) компоненты вектора $\mathbf{n}$ входят через отношение $n_1/n_2$, поэтому ключевые свойства бризера описываются функцией

Если излучение отсутствует, то выражение (5.27) обращается в нуль и решение (5.23) упрощается:

В отличие от кинка, бризер (5.28) может быть не только движущимся, но и неподвижным. Бризер неподвижен при значениях $\mu=-\rho/2$, $\mu=\pm 2i K'-\rho/2$ ($|\lambda_1|=1$, $\lambda_1\neq i$). Если ядро неподвижного бризера находится в середине одного из доменов структуры, то оно отодвигает от себя соседние доменные стенки структуры. В результате образуется протяженный домен, который служит резонатором для пульсаций ядра бризера. Пульсации ядра индуцируют малые колебания прилегающих к нему соседних доменных границ структуры. При сравнительно малых скоростях солитона его движение выглядит как перемещение длинного домена вдоль полосовой структуры. Когда скорость бризера больше фазовой скорости пульсаций в его ядре, наблюдаются значительные деформации доменной структуры. К ядру движущегося солитона начинают периодически примыкать “предвестники” и “хвосты” из колеблющихся доменных стенок структуры [5], [16].

Нелинейная интерференция бризера и диспергирующего волнового поля проявляется в дополнительных релаксационных колебаниях солитона, которые уширяют его ядро и убывают со временем по закону $\propto t^{-1/2}$. На больших расстояниях от центра бризера при $q\ll q_0$ ($q\gg q_0$) справедливы формулы

Поясним вывод первого из соотношений (5.30). Его правая часть выражена через переменные $\chi$, $\mu$, $\mu^*$, $u_S$, а левая содержит дополнительные переменные $\lambda_1$, $\lambda_1^*$, $\lambda_S$ в виде комбинации

После перехода к пределам $q\ll q_0$ ($q\gg q_0$) в левой части первой из формул (5.30) отношения $n_1/n_2$ и $n_1^*/n_2^*$ не содержат экспоненциальных множителей и могут быть аналитически продолжены по переменной $\chi$ с вещественной оси в комплексную плоскость. Тогда они станут мероморфными функциями от $\chi$, $\mu$, $\mu^*$. В конечном счете доказательство справедливости асимптотических формул (5.30) сводится к проверке эквивалентности разложений по нулям и полюсам мероморфных по переменным $\chi$, $\mu$, $\mu^*$, $u_S$ функций, через которые выражается правая часть первого соотношения (5.30) [11].

Волновое поле смещает центр бризера на величину $q_r$ и приводит к изменению фазы $\alpha_r$ пульсаций его ядра (см. (5.25)). Поправки $q_r$, $\alpha_r$ зависят от пространственной координаты и времени. Отсюда, в частности, следует, что неподвижный в отсутствие излучения бризер ($\mu=-\rho/2$, $\mu =\pm 2 i K'-\rho/2$, $|\lambda_1|=1$, $\lambda_1 \ne i$) из-за наличия волнового поля начинает двигаться со скоростью

Пусть излучение находится преимущественно слева от бризера: $q_0\gg 1$ ($q/t=O(1)$, $t^2-q^2>0$). Тогда в правой части формулы (5.31) можно заменить $q$ на $q_0$. Справедливы неравенства

Закономерность (5.33) подтверждается численным экспериментом. Пусть доменная структура описывается амплитудой Якоби (1.5) с модулем $k=k_2 = 0.9994$. Напомним, что тогда длина $L_0$ домена связана с толщиной $l_0$ доменной границы соотношением $L_0 \approx 9.5 l_0$. Неподвижный бризер (5.28) ($\mu=-\rho/2$) параметризуется величиной $0<\rho<2 K$. Выберем для $\rho$ промежуточное значение

Zoom inZoom out

Рис. 8.Смещение центра бризера (5.28), (5.34) со временем в поле излучения. По оси абсцисс отложено время, по оси ординат – координата центра бризера.

Результаты численного счета приведены на рис. 8. Точками на рисунке указано фактическое положение бризера, полученное путем подгонки параметров в выражениях (5.28), (5.34) к численному решению уравнения синус-Гордон (1.2) методом наименьших квадратов. Разброс точек обусловлен взаимодействием бризера с полем излучения. Сплошная кривая соответствует их среднему значению. Значения $A$ и $b$ подобраны так, что со временем начальный импульс (5.35) целиком распадается на два волновых пакета, бегущих в противоположных направлениях, – без образования каких-либо добавочных солитонов (бризеров или кинков). В момент времени $t \approx 180$ распространяющийся вправо волновой пакет доходит до бризера (5.28), (5.34) и, проходя сквозь бризер, сдвигает его за время $\Delta t \backsim 200$ навстречу себе на величину $\Delta x =0.2$. К моменту времени $t \approx 400$ волновой пакет оказывается справа от бризера и вместе с подошедшим слева более слабым цугом бесщелевых мод замедляет и останавливает бризер. К моменту времени $t \approx 650$ бризера достигает второй волновой пакет активационных мод, отразившийся от левой границы расчетной области, и за время $\Delta t \backsim 350$ вновь смещает бризер влево на величину $\Delta x \approx 0.1$. При $t=1000$ все волновое поле оказывается преимущественно справа от бризера и за время $\Delta t \backsim 400$ сдвигает бризер вправо на расстояние $\Delta x \approx 0.15$.

6. Заключение

В настоящей работе прямой асимптотический анализ матричной задачи Римана на торе и метод одевания использованы для построения аналитических решений модели синус-Гордон, которые описывают нелинейную интерференцию солитонов и диспергирующих волн в полосовой доменной структуре.

Мы распространили асимптотическую технику работ [24]–[26] на новый практически важный класс задач. Ранее рассматривались сравнительно простые асимптотические условия типа ступеньки [27]–[30]. В нашем случае фоновым состоянием среды служит “лестница” из ступенек в форме $2\pi$-кинков. Хотя образование солитонов всегда сопровождается макроскопическим сдвигом решетки $2\pi$-кинков, в отсутствие солитонов локализованное волновое поле $\Phi(q, t)$ не порождает результирующего сдвига доменной структуры. Поэтому вспомогательная задача по построению в бессолитоном секторе асимптотических формул для диспергирующих волн и “затравочных” матриц задачи Римана решается при краевых условиях

Аналитическое описание новых сильно коррелированных состояний модели синус-Гордон (1.2) вскрывает неразрывную связь между солитонами, волновым полем и доменной структурой. Полученные результаты позволяют выбрать стратегию моделирования явлений и процессов в системе солитонов и волн доменной структуры. Асимптотические решения полезны для верификации численных расчетов. Они могут лечь в основу экспериментов по проверке предсказаний теории. Наличие сложных математических формул затрудняет понимание физических выводов. Поэтому в этом разделе мы сформулируем наиболее важные утверждения и аналитические ответы для наблюдаемых величин.

При сравнительно слабых внешних воздействиях в доменной структуре возбуждаются только диспергирующие волны. Спектр линейных волн имеет две ветви – это бесщелевые внутриграничные колебания доменной структуры и активационные внутридоменные колебания намагниченности. На больших временах любое локализованное возмущение доменной структуры порождает два цуга слабонелинейных спиновых волн, движущихся с разными групповыми скоростями. Бесщелевые моды движутся медленнее активационных, поэтому существуют области пространства и времени, в которых два волновых цуга перекрываются, и есть области, где активационные волны обгоняют бесщелевые.

В работе построены универсальные асимптотические формулы для цугов активационных и бесщелевых мод, которые формируются в доменной структуре на больших временах из произвольных начальных возмущений доменной структуры, не содержащих солитонов. Найдены волновые поля в области перекрытия цугов (3.34), а также вблизи и впереди фронта более медленного цуга бесщелевых мод (4.13). Спин-волновое поле смещает доменную структуру в том числе вместе с солитонами, если они есть, на величину $\Delta_0$ по координате $\chi=x/k$. В зависимости от перекрытия или разделения цугов смещение $\Delta_0$ определяется формулами (3.7) или (4.3). В любом случае вне волнового поля $\Delta_0=0$. Взаимодействие диспергирующих волн проявляется в перенормировке амплитуды и фазы соответствующих волновых пакетов линеаризованной теории, а также в появлении новых вкладов в фазу слабонелинейных цугов, которые зависят от времени логарифмически (в случае перекрытия цугов см. формулы (3.18), (3.26), (3.32)).

Предложенная в работе модификация метода наискорейшего нелинейного спуска для задачи Римана на торе (2.9) позволила не только найти асимптотические при $t \to +\infty$ формулы для волновых полей, но и вычислить соответствующие им матричные функции (3.36), (4.14) задачи Римана. Матричные функции дают асимптотические при $t \to +\infty$ решения вспомогательной линейной системы (1.3) в областях формирования волновых цугов в отсутствие солитонов. В контексте метода одевания они используются в качестве “затравочных” решений для построения новых решений калибровочно-эквивалентной (1.3) системы (5.1) при наличии в доменной структуре солитонов и сформировавшегося на больших временах излучения. В свою очередь, это позволяет реконструировать аналитические решения (5.7) исходной модели синус-Гордон (1.2), которые описывают нелинейную интерференцию солитонов и волн в областях (3.5) доменной структуры, где поля излучения обладают наибольшей амплитудой.

Солитоны возбуждаются в доменной структуре при значительных внешних воздействиях. Они делятся на два класса. Первый из них включает лишние доменные стенки ($2\pi$-кинки и антикинки) в доменной структуре (в решетке из одинаковых доменных стенок – $2 \pi$-кинков). Внутреннее строение и динамические свойства одиночного кинка определяет комплексный параметр $\xi_1 = i K' - \tau_1$, $0<\tau_1 <K$ (нуль задачи Римана). Через $\xi_1$ выражаются все наблюдаемые величины. В отсутствие излучения такими величинами являются размер кинка и скорость его движения в доменной структуре (5.15). Наряду со сдвигом всех доменов на период кинк порождает макроскопическую трансляцию доменной структуры на величину $\Delta = - 2 \tau_1$ по координате $\chi=q/k$, которая перемещается вместе с солитоном. Результирующая дилатация $\Delta = - 2 \tau_1$ полосовой структуры сохраняется и при наличии излучения, так как из-за образования кинка доменная структура сдвигается вместе с волновым полем, а деформация доменов волновым полем $\Delta_0$ стремится к нулю при $|\chi| \to \infty$. Для экспериментальной проверки выводов теории следует заменить параметр $\xi_1 = i K' - \tau_1$ подходящими наблюдаемыми величинами. Например, вместо $\tau_1$ использовать дилатацию $\Delta = - 2 \tau_1$ доменной структуры, а значение $K'=K(k')$ выразить через длину домена $L_0 =2 K(k) k$.

Взаимодействие кинка с диспергирующими волнами проявляется в его релаксационных колебаниях, затухающих со временем по закону $\propto t^{-1/2}$. Центр кинка из-за взаимодействия с волновым полем смещается на величину $q_r$ (5.19), которая зависит от солитонного параметра $\xi_1$ и медленно меняется в пространстве и времени. Это проявляется в изменении толщины кинка и его дрейфе в поле излучения (5.20), (5.21). Особенность кинка (лишней доменной стенки) в доменной структуре состоит в том, что такой солитон всегда движется. Малое изменение его скорости, индуцированное полем излучения, трудно измерить. В то же время именно движение лишней доменной стенки позволяет легко обнаружить ее в решетке из неподвижных доменных стенок полосовой структуры.

В работе показано, что после прохождения через кинк активационный и бесщелевой цуги приобретают фазовые сдвиги $2f_A$ и $2f_M$ соответственно. Величины $f_A$ и $f_M$ (5.18) зависят от параметра $\xi_1$ солитона и медленно меняются в пространстве и времени.

Второй класс солитонов содержит пульсирующие частицеподобные объекты – бризеры. Строение и динамические свойства одиночного бризера определяет комплексный параметр $\mu=i \theta - \rho/2$, $|\theta| \leqslant 2 K'$, $0 < \rho < 2 K$. Через $\mu$ выражаются все параметры солитона. Так, при отсутствии излучения формулы (5.26) определяют скорость его движения вдоль доменной структуры, ширину стенок, ограничивающих ядро бризера, а также волновое число и частоту пульсаций поля $\Phi$ в ядре бризера. В отсутствие излучения при значениях $\mu=-\rho/2$, $\mu = \pm 2 i K'-\rho/2$ бризер является неподвижным. Для экспериментальной проверки результатов теории вместо формальных параметров $\theta$ и $\rho$ следует использовать наблюдаемые величины. Для движущегося бризера такими величинами могут быть дилатация доменной структуры и скорость движения солитона в отсутствие излучения. Для неподвижного солитона вместо $\rho$ можно использовать дилатацию $\Delta=-2 \rho$ или частоту пульсаций бризера. Измерение частоты неподвижного бризера облегчается тем, что она лежит в энергетической щели спектра спиновых волн [38].

Волновое поле смещает центр бризера на величину $q_r$ и приводит к изменению фазы $\alpha_r$ пульсаций его ядра (5.10), (5.27). Сдвиг положения солитона $q_r$ и изменение фазы $\alpha_r$ зависят от солитонного параметра $\mu$ и медленно меняются в пространстве и времени. Поэтому неподвижный в отсутствие излучения бризер при наличии волнового поля начинает двигаться со скоростью (5.31). Индуцированное излучением движение солитонов может играть решающую роль в работе устройств сверхплотной записи, хранения и считывания информации на магнитных солитонах.

Вокруг ядра бризера, релаксирующего к стационарному состоянию по закону $\propto t^{-1/2}$, формируются области локализованных колебаний поля. Вне этих областей фаза волнового поля и доменная структура претерпевают регулярные изменения, которые характеризуют тип и свойства солитона. Как и в случае кинка, полная дилатация $\Delta=-2 \rho$ доменной структуры по координате $\chi=q/k$ из-за образования в ней бризера сохраняется и при наличии волнового поля. Активационный и бесщелевой цуги после прохождения через бризер приобретают фазовые сдвиги $2 f_{+}^A$ и $2 f_{-}^M$ (5.30), которые зависят от солитонного параметра $\mu$ и медленно меняются в пространстве и времени.

Измерения дилатации доменной структуры из-за образования в ней солитонов и фазовых сдвигов у волновых цугов после их прохождения через солитоны можно использовать для обнаружения и диагностики кинков и бризеров в доменной структуре.

Благодарности

Авторы благодарны А. А. Расковалову и Д. В. Долгих за помощь в подготовке рукописи к печати.

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.

		Цитирования (Crossref Cited-By Service + Math-Net.Ru)
Список литературы
1.	И. Е. Дзялошинский, “Теория геликоидальных структур в антиферромагнетиках III”, ЖЭТФ, 47:3 (1964), 992–1002
2.	Ю. А. Изюмов, “Модулированные или длиннопериодические магнитные структуры кристаллов”, УФН, 144:3 (1984), 430–470
3.	В. Г. Барьяхтар, Д. А. Яблонский, “Индуцирование длиннопериодических структур в ромбических и ромбоэдрических антиферромагнетиках”, ФТТ, 24:8 (1982), 2522–2524
4.	Ю. А. Изюмов, Дифракция нейтронов на длиннопериодических структурах, Энергоатомиздат, М., 1987
5.	А. Б. Борисов, В. В. Киселев, Квазиодномерные магнитные солитоны, Физматлит, М., 2014
6.	М. К. Широбоков, “К теории механизма намагничивания ферромагнетиков”, ЖЭТФ, 15:1–2 (1945), 57–76
7.	Б. Н. Филиппов, А. П. Танкеев, Динамические эффекты в ферромагнетиках с доменной структурой, Наука, М., 1987
8.	A. B. Borisov, J. Kishine, Y. G. Bostrem, A. S. Ovchinnikov, “Magnetic soliton transport over topological spin texture in chiral helimagnet with strong easy-plane anisotropy”, Phys. Rev. B, 79 (2009), 134436–134446
9.	В. В. Киселев, А. А. Расковалов, “Солитоны электрической поляризации в мультиферроиках”, Физика твердого тела, 58:3 (2016), 485–490
10.	Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солитонов, Наука, М., 1986
11.	Н. И. Ахиезер, Элементы теории эллиптических функций, Наука, М., 1970
12.	Г. Бейтмен, А. Эйрдейи, Высшие трансцендентные функции, т. 3, Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье, Наука, М., 1967
13.	P. F. Byrd, M. D. Friedman, Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, 67, Springer, Berlin, 1971
14.	Дж. Хирт, И. Лоте, Теория дислокаций, Атомиздат, М., 1972
15.	А. С. Ковалев, И. В. Герасимчук, “Нелинейная локализация возбуждений и динамика солитонов в самомодулированных системах”, ЖЭТФ, 122:5(11) (2002), 1116–1124
16.	V. V. Kiselev, A. A. Raskovalov, “Solitons and nonlinear waves in the spiral magnetic structures”, Chaos Solitons Fractals, 84 (2016), 88–103
17.	В. В. Киселев, А. А. Расковалов, “Нелинейная динамика квазиодномерной спиральной структуры”, ТМФ, 173:2 (2012), 268–292
18.	L. Martínez Alonso, “Effect of the radiation component on soliton motion”, Phys. Rev. D, 32:6 (1985), 1459–1466
19.	L. Martínez Alonso, “Soliton motion in the case of a nonzero reflection coefficient”, Phys. Rev. Lett., 54:6 (1985), 499–501
20.	Е. А. Кузнецов, А. В. Михайлов, “Релаксационные колебания солитонов”, Письма в ЖЭТФ, 60:6 (1994), 466–470
21.	E. A. Kuznetsov, A. V. Mikhailov, I. A. Shimokhin, “Nonlinear interaction of solitons and radiation”, Phys. D, 87:1–4 (1995), 201–215
22.	В. В. Киселев, “Асимптотика диспергирующих волн в спиральной структуре при больших временах”, ТМФ, 187:1 (2016), 21–38
23.	В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский, Теория солитонов: метод обратной задачи, Наука, M., 1980
24.	P. Deift, X. Zhou, “A steepest descent method for oslilatory Riemann–Hilbert problems”, Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.), 26:1 (1992), 119–123
25.	P. Deift, X. Zhou, “A steepest descent method for oscillatory Riemann–Hilbert problem. Asymptotic for the MKdV equation”, Ann. Math., 137:2 (1993), 295–368
26.	P. Deift, A. Its, X. Zhou, “Long-time asymptotics for integrable nonlinear wave equation”, Important Developments of Soliton Theory, eds. A. S. Fokas, V. E. Zakharov, Springer, Berlin, 1993, 181–204
27.	V. Kotlyarov, A. Minakov, “Riemann–Hilbert problem to the modified Korteveg–de Vries equation: long-time dynamics of the steplike initial data”, J. Math. Phys., 51:9 (2010), 093506, 31 pp.
28.	M. Bertola, A. Minakov, “Laguerre polynomials and transitional asymptotics of the modified Korteweg–de Vries equation for step-like initial data”, Anal. Math. Phys., 9:4 (2019), 1761–1818
29.	T. Grava, A. Minakov, “On the long time asymptotic behaviour of the modified Korteweg–de Vries equation with step-like initial data”, SIAM J. Math. Anal., 52:6 (2020), 5892–5993, arXiv: 1907.11859
30.	I. Egorova, Z. Gladka, V. Kotlyarov, G. Teschl, “Long-time asymptotics for the Korteweg–de Vries equation with step-like initial data”, Nonlinearity, 26:7 (2013), 1839–1864
31.	P. A. Deift, A. R. Its, X. Zhou, “A Riemann–Hilbert approach to asymptotic problems arising in the theory of random matrix models, and also in the theory of integrable statistical mechanics”, Ann. Math., 146:1 (1997), 149–235
32.	Ф. Д. Гахов, Краевые задачи, Наука, М., 1977
33.	Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, т. 2, Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, Наука, М., 1974
34.	V. V. Kiselev, A. A. Raskovalov, S. V. Batalov, “Nonlinear interactions of domain walls and breathers with a spin-wave field”, Chaos Solitons Fractals, 127 (2019), 217–225
35.	H. Segur, M. J. Ablowitz, “Asymptotic solutions of nonlinear evolution equations and a Painlevé transcendent”, Phys. D, 36:1–2 (1981), 165–184
36.	М. В. Федорюк, Метод перевала, Наука, М., 1977
37.	В. В. Киселев, С. В. Баталов, “Релаксирующие солитоны двухосного ферромагнетика”, ТМФ, 210:1 (2022), 54–79
38.	В. В. Киселев, А. А. Расковалов, “Стоячие спиновые волны и солитоны в квазиодномерной спиральной структуре”, ЖЭТФ, 143:2 (2013), 313–321

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{KisBat23}
\by В.~В.~Киселев, С.~В.~Баталов
\paper Нелинейная интерференция солитонов и~волн в доменной магнитной структуре
\jour ТМФ
\yr 2023
\vol 214
\issue 3
\pages 427--468
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10304}
\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10304}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4563416}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023TMP...214..369K}
\transl
\jour Theoret. and Math. Phys.
\yr 2023
\vol 214
\issue 3
\pages 369--405
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577923030054}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85150913194}