Успехи математических наук, 2022, том 77, выпуск 1(463), страницы 3–54 DOI: https://doi.org/10.4213/rm10044 (Mi rm10044)

DOI: https://doi.org/10.4213/rm10044

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	21-11-00153
Работа выполнена при поддержке РНФ (грант № 21-11-00153).

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 1, Pages 1–45
DOI: https://doi.org/10.1070/RM10044

Реферативные базы данных:

Введение

Давным-давно, когда математика была “наукой о числах” – что, кстати, до сих пор верно в восточноазиатских языках, по крайней мере терминологически, – объекты ее изучения, как правило, были элементами множества. В наши дни они чаще образуют категорию. Но что, если эти объекты сами являются категориями? Разумеется, просто малые категории без излишеств образуют $2$-категорию, и все: для любых малых категорий $I$, $I'$ имеем категорию функторов $\operatorname{Fun}(I,I')$, эти категории снабжены функторами композиции, единичными объектами и изоморфизмами ассоциативности и унитальности – на этом история заканчивается. Но если мы рассматриваем категории с дополнительными структурами и/или категории специального вида, все гораздо сложнее.

Пример этого – современная “некоммутативная” или же “категорная” алгебраическая геометрия в духе, скажем, работы Концевича и Сойбельмана [21]. В трех словах, она представляет собой “геометрию производных категорий”: алгебраическое многообразие $X$ изучается через его производную категорию когерентных пучков $\mathcal{D}(X)$. Но $\mathcal{D}(X)$ – не просто категория. Как минимум она снабжена триангулированной структурой в смысле Вердье [28], но хорошо известно, что этого недостаточно – в частности, триангулированные функторы между триангулированными категориями не образуют триангулированную категорию и, что еще хуже, хотя более-менее понятно, что́ должно быть “триангулированной категорией функторов” из $\mathcal{D}(X)$ в $\mathcal{D}(X')$, ее невозможно восстановить исходя только из $\mathcal{D}(X)$ и $\mathcal{D}(X')$. Правильный объект изучения – триангулированная категория “с оснащением”, и точный смысл “оснащения” надо выбрать.

Один довольно радикальный выбор, который приобретает все большую популярность, – это подняться на один уровень и сказать, что на самом деле вообще все категории следует снабдить оснащением. Тогда триангулированные категории отвечают стабильным оснащенным категориям, причем стабильность – свойство, а не дополнительная структура. Стабильные функторы между стабильными категориями уже образуют стабильную категорию, и теория выглядит в разумной степени завершенной и естественной. Однако на практике во всех существующих формализмах вроде квазикатегорий и полных пространств Сигала оснащенная категория представляет собой нечто весьма большое и зависящее от произвольных выборов, и ее имеет смысл рассматривать только с точностью до “слабой эквивалентности” в надлежащем смысле. Поэтому для работы с оснащенными категориями приходится использовать тяжеловесную машинерию абстрактной теории гомотопий – модельные категории, симплициальную теорию гомотопий и т. д. Это не является проблемой в топологии, где вся эта машинерия в любом случае нужна, но выглядит чрезмерным в более алгебраических приложениях, где люди привыкли к простой и мощной гомологической технике, введенной в [10], и решительно предпочитают цепные комплексы симплициальным множествам.

Возможно, именно по этой причине в категорной геометрии наиболее популярна техника оснащений, основанная на понятии дифференциально-градуированной (или же $DG$-) категории; очень хороший обзор этого предмета дан в статье [20]. В этом контексте вопрос, вынесенный в заголовок настоящей статьи, обсуждался в новаторской работе [26]. Среди прочего, Тамаркин построил правильную DG-категорию DG-функторов между двумя DG-категориями над фиксированным полем $k$, а затем подробно изучил функторы композиции и всевозможные высшие структуры, которые здесь возникают. В частности, если ограничиться одной DG-категорией $A_{ \bullet }$, то ее когомологии Хохшильда $HH^{ \bullet }(A_{ \bullet })$ определяются как алгебра $\operatorname{RHom}^{ \bullet }(\operatorname{Id},\operatorname{Id})$, где $\operatorname{Id}$ есть единичный эндофунктор $A_{ \bullet }$, и снабжены дополнительной структурой $E_2$-алгебры или, что эквивалентно, $B_\infty$-алгебры (см. [20; п. 5.4]). Это играет ключевую роль в построении теории деформаций для $A_{ \bullet }$, причем деформации первого порядка описываются классами в $HH^2(A_{ \bullet })$.

Цель настоящей статьи в некотором смысле дополнительна к тому, что было сделано в [26]. А именно, мы замечаем, что если не все, то многие триангулированные категории, которые встречаются в геометрии, не только происходят из DG-категорий, но также являются производными категориями от абелевых. Предположим, что мы рассматриваем производные категории $\mathcal{D}(\mathcal{C})$, $\mathcal{D}(\mathcal{C}')$ абелевых категорий $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$. Можем ли мы восстановить “правильную” категорию функторов из $\mathcal{D}(\mathcal{C})$ в $\mathcal{D}(\mathcal{C}')$, если мы помним не только $\mathcal{D}(\mathcal{C})$, $\mathcal{D}(\mathcal{C}')$, но и сами абелевы категории $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$? Если да, то есть ли удобная модель для этой категории функторов в терминах $\mathcal{C}$ и $\mathcal{C}'$?

В некотором смысле это выглядит как игрушечная модель для всей теории, поскольку производные категории – это довольно частный случай, а помнить абелеву категорию $\mathcal{C}$ еще более ограничительно. Одно преимущество такой игрушечной модели в том, что получается абсолютная теория: хотя абелевы категории можно рассматривать над фиксированным полем $k$, можно работать и без базового поля. На самом деле, если $k$ зафиксировать, то ответ на наш вопрос давно известен: если $\mathcal{C}$ мала, а область значений достаточно велика – например, представляет собой инд-пополнение $\operatorname{Ind}(\mathcal{C}')$ малой абелевой категории $\mathcal{C}'$, – то $k$-линейные точные слева функторы $\mathcal{C} \to \operatorname{Ind}(\mathcal{C}')$ образуют абелеву категорию (это в сущности следует из знаменитой теоремы Габриэля–Попеску 1960-х годов, см. точное утверждение ниже в примере 5.2). Ее производная категория – ровно то, что нам нужно. В частности, она дает правильные когомологии Хохшильда $HH^{ \bullet }(\mathcal{C})= \operatorname{RHom}^{ \bullet }(\operatorname{Id},\operatorname{Id})$, изоморфные тем, что дает DG-формализм, а теория деформаций в этом контексте была успешно построена в [22] и последующих работах.

В качестве альтернативы вместо функторов $\mathcal{C} \to \operatorname{Ind}(\mathcal{C}')$ можно рассматривать функторы $\operatorname{Ind}(\mathcal{C}) \to \operatorname{Ind}(\mathcal{C}')$, которые непрерывны, т. е. коммутируют с фильтрованными копределами. Это дает ту же категорию, но ее можно определить в большей общности: вместо инд-пополнений малых абелевых категорий можно рассматривать произвольные конечно представимые абелевы категории (подробнее см. ниже в п. 1.2).

В абсолютном случае все эти вещи изучены хуже или, по крайней мере, на них труднее найти ссылки в литературе. С точки зрения теории деформаций базовый пример деформации первого порядка, которая не линейна над полем, дается кольцом $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$, рассмотренным как расширение с квадратом нуль простого поля $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Чтобы получить в этом случае класс деформации, группу когомологий Хохшильда надо заменить на группу так называемых когомологий Маклейна $HM^{ \bullet }(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$. Одна из попыток распространить это на произвольные абелевы категории – работа [18], где построены категории функторов нескольких видов и связанные с ними обобщения когомологий Хохшильда, а также доказаны теоремы сравнения, позволяющие найти в этом формализме когомологии Маклейна и некоторые другие обобщения. Однако главный предмет изучения в [18] – сами эти теории когомологий и морфизмы сравнения. В настоящей статье мы хотим сосредоточиться на $2$-категорной структуре. Для любых конечно представимых абелевых категорий $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$ мы предъявляем одну конкретную категорию функторов $\operatorname{Mor}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ и ее производную версию $\operatorname{DMor}_{\rm st}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$, а затем мы строим функторы композиции и показываем, что объекты $\operatorname{Mor}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ и $\operatorname{DMor}_{\rm st}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ в самом деле естественно действуют на $\mathcal{C}$ и $\mathcal{D}(\mathcal{C})$ соответственно.

Основная идея конструкции в некотором смысле удивительна, но совсем не нова; она тоже в сущности восходит к теореме Габриэля–Попеску. Если дан аддитивный функтор $E\colon\mathcal{C} \to \mathcal{C}'$ между абелевыми категориями, то условие точности слева на него можно интерпретировать как требование того, что $E$ является пучком по отношению к подходящей топологии Гротендика (иногда называемой эпитопологией). Затем замечаем, что условие аддитивности можно отбросить – условие пучка и условие аддитивности независимы, причем каждое из них имеет смысл и без другого. Теперь берем конечно представимые абелевы категории $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$ и рассматриваем категорию $\operatorname{Fun}_c(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ всех непрерывных функторов $\mathcal{C} \to \mathcal{C}'$. Категория $\operatorname{Fun}_c(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ абелева, а наша $\operatorname{Mor}(\mathcal{C},\mathcal{C}') \subset \operatorname{Fun}_c(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ есть полная подкатегория, образованная пучками. Эта категория также абелева, имеем точный слева полный строгий функтор вложения $e\colon\operatorname{Mor}(\mathcal{C},\mathcal{C}') \to \operatorname{Fun}_c(\mathcal{C},\mathcal{C}')$, а сопряженный к нему слева функтор ассоциированного пучка $a\colon\operatorname{Fun}_c(\mathcal{C},\mathcal{C}') \to \operatorname{Mor}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ точен.

Чтобы перейти к производным категориям, начинаем с положительной части $\mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{C})$ производной категории $\mathcal{D}(\mathcal{C})$ и используем классическую технику продолжения, введенную Дольдом [6]. А именно, для любой абелевой $\mathcal{A}$ эквивалентность Дольда–Кана отождествляет категорию $\operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{A})$ косимплициальных объектов в $\mathcal{A}$ с категорией $C^{\geqslant 0}(\mathcal{A})$ цепных комплексов в $\mathcal{A}$, сосредоточенных в неотрицательных когомологических степенях. Тогда функтор $E\colon\mathcal{A} \to \mathcal{A}'$ в какую-нибудь абелеву категорию $\mathcal{A}'$ мы можем продолжить до функтора $\operatorname{\sf D}(E)\colon C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}) \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}')$, переходя к косимплициальным объектам и применяя $E$ поточечно. Более общо, если дан функтор $E\colon\mathcal{A} \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}') \cong \operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{A}')$, определяем его продолжение по Дольду $\operatorname{\sf D}(E)\colon C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}) \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}')$, применяя $E$ поточечно, а затем ограничивая полученный бисимплициальный объект на $\Delta \subset \Delta \times \Delta$. Если $\mathcal{A}=\mathcal{C}$, $\mathcal{A}'=\mathcal{C}'$ конечно представимы, то эта конструкция переводит непрерывные функторы в непрерывные функторы, и она всегда переводит поточечные квазиизоморфизмы в поточечные квазиизоморфизмы и тем самым спускается до функтора

Теперь обозначаем через $\operatorname{DMor}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ производную категорию нашей категории функторов $\operatorname{Mor}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$, а через $\operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ ее положительную часть и замечаем, что производный функтор $R^{ \bullet }e$ вложения $e$ дает полное вложение $R^{ \bullet } e\colon \operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{C},\mathcal{C}') \to \mathcal{D}^{\geqslant 0}(\operatorname{Fun}_c(\mathcal{C},\mathcal{C}'))$. С другой стороны, функтор $C^{\geqslant 0}(\mathcal{C}) \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{C}')$ назовем гомотопическим, если он переводит квазиизоморфизмы в квазиизоморфизмы, и обозначим через $\operatorname{\mathcal{D}\mathcal{H}}^{\geqslant 0}(\mathcal{C},\mathcal{C}') \subset \mathcal{D}^{\geqslant 0}(\operatorname{Fun}_c (C^{\geqslant 0}(\mathcal{C}),\mathcal{C}'))$ полную подкатегорию, образованную гомотопическими функторами. Тогда, в этих обозначениях, мы доказываем следующее (точные утверждения см. в теореме 5.5 и следствии 5.6):

• $\bullet$ Объект $E \in \mathcal{D}^{\geqslant 0} (\operatorname{Fun}_c(\mathcal{C},\mathcal{C}'))$ лежит в существенном образе вложения $R^{ \bullet } e$ тогда и только тогда, когда его продолжение по Дольду $\operatorname{\sf D}(E)$ – гомотопический функтор. Кроме того, композиция $\operatorname{\sf D} \circ R^{ \bullet }(e)\colon \operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{C},\mathcal{C}') \to \operatorname{\mathcal{D}\mathcal{H}}^{\geqslant 0}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ является эквивалентностью.

Чтобы продолжить наши функторы на всю производную категорию $\mathcal{D}(\mathcal{C})$, надо знать, что продолжение по Дольду $\operatorname{\sf D}(E)$ коммутирует с гомологическими сдвигами; однако в общем случае это неверно, и не должно быть верным. Причина этого – отброшенное нами условие аддитивности, и теперь мы восстанавливаем его на уровне производных категорий. Это можно сделать несколькими эквивалентными способами (см. предложение 6.3), но самое простое – потребовать, чтобы $E\colon\mathcal{C} \to C^{ \bullet }(\mathcal{C}')$ становился аддитивным после проекции в $\mathcal{D}(\mathcal{C}')$. Это выделяет полную триангулированную подкатегорию $\operatorname{DMor}_{\rm st}(\mathcal{C},\mathcal{C}') \subset \operatorname{DMor}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ стабильных объектов, и они – если, по техническим причинам, они ограничены снизу – естественным образом действуют функторами $\mathcal{D}(\mathcal{C}) \to \mathcal{D}(\mathcal{C}')$. Отметим, что $\operatorname{DMor}_{\rm st}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ наследует $t$-структуру из $\operatorname{DMor}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$, причем ее сердцевина $\operatorname{Mor}_{\rm st}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ есть просто категория аддитивных точных слева непрерывных функторов $\mathcal{C} \to \mathcal{C}'$, в точности как в $k$-линейной ситуации. Однако вся категория не есть производная категория от своей сердцевины. Отличие появляется уже в степени $2$, и включает в себя классы когомологий Маклейна, ответственные за нелинейные деформации.

Теперь, чтобы закончить введение, дадим пораздельный обзор того, что мы делаем в статье, но сначала скажем, чего мы не делаем:

• $\bullet$ Мы не доказываем, что наша $\operatorname{DMor}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ действительно представляет собой категорию стабильных оснащенных функторов $\mathcal{D}(\mathcal{C}) \to \mathcal{D}(\mathcal{C}')$ в мире гомотопически оснащенных категорий; в самом деле, чтобы сделать это, нам пришлось бы выбрать модель для этого оснащенного мира, а все имеющиеся довольно непривлекательны. Однако, учитывая все, что мы доказываем, этот последний в шаг в любой конкретной модели сводится к тривиальному упражнению.
• $\bullet$ Мы последовательно ограничиваемся конечно представимыми категориями – например, индуктивными пополнениями $\operatorname{Ind}(\mathcal{C})$ малых абелевых категорий – и не пытаемся ослабить условия конечности. По-видимому, что-то можно сделать и в случае более общих абелевых категорий, но для иллюстрации основных принципов мы ограничиваемся самым простым случаем.
• $\bullet$ Мы совершенно не исследуем высшие структуры на когомологиях Хохшильда и их обобщенных версиях, что было основным содержанием работы [26]. По-видимому, здесь имеется весьма интересная история, и изучение ее на уровне абелевых категорий может прояснить общую теорию, но это должно стать темой отдельного исследования.
• $\bullet$ Мы вообще не затрагиваем теорию деформаций; мы вернемся к ней в другом месте.

Обзор статьи

Раздел 1 содержит предварительные сведения. Его не следует воспринимать как замкнутое в себе введение в теорию категорий и гомологическую алгебру; наша цель – зафиксировать обозначения, точно объяснить нестандартную терминологию и выделить полезные факты, которые обычно не выделяют (например, то, что аддитивность – это условие на категорию, а не дополнительная структура). Пункт 1.1 посвящен общей теории категорий; нестандартная терминология здесь – это “замкнутые слева подкатегории” и “пунктированные слева категории”. Пункт 1.2 посвящен представимости и инд- и пропополнениям, в духе книги [19]. Пункт 1.3 описывает абелевы категории, а п. 1.4 – производные. Мы предполагаем известным весь стандартный материал, который можно найти в любом учебнике по гомологической алгебре, но обсуждаем такие менее стандартные темы, как гомотопические пределы и копределы и связь между короткими точными последовательностями и бидекартовыми квадратами (замечание 1.9), а затем – между выделенными треугольниками и гомотопически бидекартовыми квадратами (пример 1.11). Второе, разумеется, вдохновлено понятием стабильности в гомотопически оснащенном мире, но полезно и без оснащений.

Раздел 2 посвящен топологиям Гротендика. В п. 2.1 мы даем очень краткий обзор, снабженный поучительными примерами вроде топологий на конечных частично упорядоченных множествах. Среди прочего мы напоминаем, что для любой малой категории $I$, снабженной топологией, и любой конечно представимой абелевой категории $\mathcal{E}$ категория $\operatorname{Shv}(I,\mathcal{E})$ $\mathcal{E}$-значных пучков на $I$ абелева, причем вложение $e\colon\operatorname{Shv}(I,\mathcal{E}) \to \operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E})$ точное слева и допускает точный сопряженный слева функтор ассоциированного пучка $a$. Затем в п. 2.2 мы описываем один конкретный класс топологий, а именно те, что порождены покрытиями, состоящими из одного морфизма. Чтобы аксиоматизировать ситуацию, мы вводим понятие покрывающего класса $F$ и доказываем один общий результат о существовании некоторых специальных покрытий (лемма 2.11).

В разделе 3 мы переходим к гиперпокрытиям. Их обычно понимают как аугментированные симплициальные множества некоторого конкретного вида, но на самом деле большая часть теории существует в куда большей общности (а именно, при замене $\Delta$ на более общую малую категорию $I$), причем доказательства, освобожденные от симплициальной комбинаторики, становятся проще. Поэтому мы позволили себе потратить некоторое время на гиперпокрытия разных видов, для разных $I$. В п. 3.1 изучены конечные частично упорядоченные множества, в п. 3.2 все продолжено на категории из класса, включающего в себя как $\Delta$, так и категорию $\operatorname{Pos}$ конечных частично упорядоченных множеств, и, наконец, в п. 3.3 мы возвращаемся к обычной симплициальной истории. Этот раздел – единственное место в статье, где некоторые результаты могут быть новыми.

И раздел 2, и раздел 3 чисто категорные; гомологическая алгебра появляется в разделе 4. Мы начинаем со стандартных фактов про эквивалентность Дольда–Кана (доказательства опущены). Затем мы вводим наш основной объект, эпитопологию на абелевой категории $\mathcal{A}$ (в терминологии п. 2.2, она отвечает покрывающему классу эпиморфизмов). Мы показываем, что, благодаря эквивалентности Дольда–Кана, гиперпокрытия в эпитопологии можно отождествить с левыми резольвентами в смысле гомологической алгебры. Затем мы доказываем общий результат, предложение 4.8, которое для любой малой категории $I$ с покрывающим классом $F$ и любой конечно представимой абелевой категории $\mathcal{E}$ вычисляет производный функтор $R^{ \bullet } e$ от функтора вложения $e\colon\operatorname{Shv}(I,\mathcal{E}) \to \operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E})$ в терминах гиперпокрытий на $I$. Результат на самом деле стандартный и верен для более общих топологий – “локальные когомологии можно вычислять с помощью гиперпокрытий”, – но доказательство в нашей ситуации несложное, а конечный результат симпатичный: если $I=\mathcal{A}$ с эпитопологией, то, поскольку гиперпокрытия суть левые резольвенты, объекты гомологий $R^{ \bullet } e(a(E))$ для функтора $E\colon\mathcal{A}^o \to \mathcal{E}$ суть просто производные функторы в смысле Дольда функтора $E$.

Покончив с предварительными сведениями и результатами, мы переходим к главному предмету статьи, а именно к категориям функторов. В разделе 5 мы определяем категорию функторов $\operatorname{Mor}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ для любых конечно представимых абелевых категорий $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$, а также ее производную категорию $\operatorname{DMor}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ и доказываем наши главные результаты о продолжении, теорему 5.5 и следствие 5.6. Они дают действие положительной части $\operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$ функторами $\mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{C}) \to \mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{C}')$. Затем в разделе 6 мы вводим условие стабильности на функторы в нескольких эквивалентных формах, приведенных в предложении 6.3, и показываем, что полная подкатегория $\operatorname{DMor}_{\rm st}^+(\mathcal{C},\mathcal{C}') \subset \operatorname{DMor}(\mathcal{C},\mathcal{C}')$, порожденная стабильными объектами, ограниченными снизу, действует функторами $\mathcal{D}^+(\mathcal{C}) \to \mathcal{D}^+(\mathcal{C}')$.

1. Общие сведения

1.1. Категории и функторы

Мы обозначаем через $\mathsf{pt}$ одноточечную категорию (один объект, один морфизм). Для любой категории $I$ мы обозначаем через $I^o$ противоположную категорию. Для любого функтора $\gamma\colon I\to\mathcal{E}$ мы обозначаем через $\gamma^o\colon I^o \to \mathcal{E}^o$ противоположный функтор. Для любого объекта $E \in \mathcal{E}$ мы обозначаем через $E_I\colon I \to \mathcal{E}$ постоянный функтор со значением $E$. Несколько нестандартно мы говорим, что полная подкатегория $I' \subset I$ замкнута слева, если для любого морфизма $f\colon i' \to i$ в $I$ с $i \in I'$ имеем также $i' \in I'$, и что $I' \subset I$ замкнута справа, если ${I'}^o \subset I^o$ замкнута слева. Категория $I$ связна, если любые два объекта можно соединить цепью морфизмов. Для любого объекта $e \in \mathcal{E}$ мы обозначаем через $I /_\gamma e$ левый комма-слой функтора $\gamma$ (т. е. категорию пар $\langle i,\alpha \rangle$, где $i \in I$ и $\alpha\colon \gamma(i) \to e$ – морфизм), а через $\sigma(e)\colon I /_\gamma e\to I$ функтор забывания, и мы опускаем $\gamma$, когда оно ясно из контекста (в частности, для любого $i \in I$ мы сокращаем $I/_{\operatorname{\mathsf{id}}}i$ до $I/i$). Двойственным образом, правый комма-слой – это $e \setminus_\gamma I=(I^o/e)^o$, а слой $I_e$ – это полная подкатегория $I_e\subset I/e$ таких объектов $\langle i,\alpha \rangle$, что $\alpha$ является изоморфизмом.

Мы рассматриваем частично упорядоченное множество $J$ как малую категорию обычным образом (объекты суть элементы $j \in J$, и есть единственный морфизм из $j$ в $j'$ тогда и только тогда, когда $j' \geqslant j$). Малая категория эквивалентна частично упорядоченному множеству тогда и только тогда, когда между любыми двумя объектами есть не более одного морфизма, и, допуская некоторую вольность в терминологии, мы будем просто говорить, что $I$ есть частично упорядоченное множество. Отметим, что в этом случае для любого $i \in I$ комма-слой $I / i$ есть замкнутая слева полная подкатегория $I / i \subset I$ и, поскольку она полна, она также является частично упорядоченным множеством.

Другой нестандартный термин, который окажется полезным, таков: мы говорим, что категория $I$ пунктирована слева, если у нее есть начальный объект $o \in I$, причем $\{o\} \subset I$ замкнута слева. Любую категорию $I$ можно превратить в пуктированную слева, формально добавив начальный объект $o$, и мы обозначаем полученную категорию через $I^<$. Так получается любая пунктированная слева категория $I$ (а именно, имеем $I \cong (I \setminus \{o\})^<$). Произведение $I_0 \times I_1$ пунктированных слева категорий $I_0$, $I_1$ пунктировано слева, и для любых двух категорий $I_0$, $I_1$ мы определяем расширенное произведение как

Функтор между пунктированными слева категориями пунктирован слева, если он переводит $o$ в $o$ и для любых категорий $I_0$, $I_1$ функтор $\varphi\colon I_0 \to I_1^<$ канонически продолжается до пунктированного слева функтора $\varphi^<\colon I_0^< \to I_1^<$. Аугментированный функтор из категории $I$ в категорию $\mathcal{E}$ есть функтор $E^<\colon I^< \to \mathcal{E}$. Он $e$-аугментирован для объекта $e \in \mathcal{E}$, если $E^<(o)=e$, а аугментация данного функтора $E\colon I \to \mathcal{E}$ есть аугментированный функтор $E^<\colon I^< \to \mathcal{E}$, снабженный изоморфизмом $E^<\big|_I \cong E$. Аугментации заданного функтора $E$ образуют категорию; по определению конечный объект $E^<$ в ней есть тогда и только тогда, когда существует предел $\operatorname{\mathsf{lim}}_IE$, причем имеем $E^<(o) \cong \operatorname{\mathsf{lim}}_IE$. В таком случае мы говорим, что аугментация универсальна. Задать $e$-аугментацию функтора $E\colon I \to \mathcal{E}$ – это то же самое, что задать отображение $e_I \to E$ из постоянного функтора со значением $e$. Двойственным образом, мы обозначаем $I^>=(I^{o<})^o$, а коаугментированный функтор $I \to \mathcal{E}$ – это функтор $I^>\to \mathcal{E}$; универсальная коаугментация дается копределом $\operatorname{\mathsf{colim}}_I$ (если он существует). Категория $\mathcal{E}$ полна (соответственно конечно полна), если $\operatorname{\mathsf{lim}}_IE$ существует для любой малой (соответственно конечной) категории $I$ и функтора $E\colon I \to \mathcal{E}$, и кополна (соответственно конечно кополна), если $\mathcal{E}^o$ полна (соответственно конечно полна). Например, категория $\operatorname{Sets}$ всех множеств полна и кополна.

Ретрактом объекта $i \in I$ категории $I$ называется объект $i' \in I$, снабженный такими отображениями $a\colon i' \to i$, $b\colon i \to i'$, что $b \circ a=\operatorname{\mathsf{id}}$. Тогда композиция $p=a \circ b\colon i \to i$ идемпотентна, $p^2=p$, и $i'$ называется образом идемпотентного эндоморфизма $p$. Образ, если он существует, единственный, и его автоматически сохраняет любой функтор. Категория замкнута по Каруби, если для любого идемпотентного эндоморфизма любого объекта существует образ. Если категория $I$ замкнута по Каруби, то такова же и противоположная категория $I^o$. Полная либо кополная категория замкнута по Каруби.

Для любой малой категории $I$ и произвольной категории $\mathcal{E}$ мы обозначаем через $\operatorname{Fun}(I,\mathcal{E})$ категорию функторов $E\colon I \to \mathcal{E}$. Для любого функтора $\gamma\colon I' \to I$ из малой $I'$ мы обозначаем $\gamma^*E=E \circ \gamma \in \operatorname{Fun}(I',\mathcal{E})$. Имеем $\operatorname{Fun}(\mathsf{pt},\mathcal{E})=\mathcal{E}$. Для любых $E_0,E_1\colon I \to \mathcal{E}$ мы обозначаем через $\operatorname{Hom}_I(E_0,E_1)$ множество отображений из $E_0$ в $E_1$, и мы опускаем индекс $I$, когда он ясен из контекста. Мы также определяем функтор $\operatorname{\mathcal{H}{\it om}}_I(E_0,E_1) \colon I \to \operatorname{Sets}$ как

Для любого целого числа $n \geqslant 0$ мы обозначаем через $[n]$ ординал $\{0,\dots,n\}$ с обычным порядком; при необходимости мы рассматриваем его как частично упорядоченное множество или как категорию. Имеем $[n]^o \cong [n]$ и $[n]^< \cong [n]^> \cong [n+1]$. Например, $[0]=\mathsf{pt}$ есть точка, а $[1]$ есть “однострелочная категория” с двумя объектами $0$, $1$ и единственной нетривиальной стрелкой $0 \to 1$; функторы $[1] \to \mathcal{E}$ в какую-либо $\mathcal{E}$ отвечают стрелкам в $\mathcal{E}$. Функторы $[2] \to \mathcal{E}$ отвечают компонуемым парам стрелок $f$, $f'$; имеем вложения $s,t\colon[1] \to [2]$ на начальный (соответственно конечный) сегмент ординала $[2]$, и функтор $[2] \to \mathcal{E}$ дает $f$ (соответственно $f'$) при ограничении на $s$ (соответственно на $t$). Имеем также вложение $m\colon [1] \to [2]$ на $\{0,2\} \subset [2]$, и ограничение на $m$ дает композицию $f' \circ f$. Более общо, для любой категории $I$ и функторов $E_0,E_1\colon I \to \mathcal{E}$ задать морфизм $f\colon E_0 \to E_1$ – это то же самое, что задать функтор $\iota(f)\colon[1] \times I \to \mathcal{E}$, ограничение которого на $\{l\} \times I$, $l=0,1$, отождествлено с $E_l$. Компонуемая пара морфизмов $f$, $f'$ задает функтор $\iota(f,f')\colon[2] \times I \to \mathcal{E}$, снабженный изоморфизмами

Аналогичным образом коммутативные квадраты в категории $\mathcal{E}$ отвечают функторам $[1]^2 \to \mathcal{E}$, где $[1]^2=[1] \times [1]$ есть декартов квадрат однострелочной категории $[1]$. Однострелочная категория $[1] \cong \mathsf{pt}^<$ пунктирована слева, а $\mathsf{pt} * \mathsf{pt} \cong [1]^2 \setminus \{0 \times 0\}$ есть частично упорядоченное множество $\mathsf{V}^o$ из примера 1.1, т. е. коммутативный квадрат $\gamma\colon[1]^2 \to \mathcal{E}$ задает аугментированный функтор из $\mathsf{V}^o$ в $\mathcal{E}$. Квадрат декартов, если эта аугментация универсальна (иными словами, $\operatorname{\mathsf{lim}}_{\mathsf{V}^o}\gamma$ существует, а отображение $\gamma(0 \times 0) \to \operatorname{\mathsf{lim}}_{\mathsf{V}^o}\gamma$ является изоморфизмом). Двойственным образом, имеем $[1]^o \cong [1]$, так что $[1]^2 \cong \mathsf{V}^>$, и коммутативный квадрат есть коаугментированный функтор из $\mathsf{V}$; квадрат кодекартов, если коаугментация универсальна.

1.2. Индуктивные пополнения

Напомним некоторые более продвинутые результаты о пределах и индуктивных пополнениях, которые нам понадобятся (хорошее современное изложение этого материала есть в [19; гл. 6]). Для любой связной малой категории $I$ с тавтологической проекцией $\tau\colon I \to \mathsf{pt}$ функтор $\tau^*\colon\mathcal{E} \to \operatorname{Fun}(I,\mathcal{E})$ является полным и строгим, так что, по сопряженности, $\operatorname{\mathsf{colim}}_IE_I\cong \operatorname{\mathsf{lim}}_IE_I \cong E$ для любого $E \in \mathcal{E}$ (причем и предел, и копредел существуют). Функтор $\gamma\colon I' \to I$ кофинален, если $i \setminus I'$ связен для любого $i \in I$. В этом случае из двойственной версии равенства (1.3) ясно, что $\gamma_*E_{I'} \cong E_I$, $E \in \mathcal{E}$, и что для любого $E\colon I \to \mathcal{E}$ имеем изоморфизм сопряжения

Направленная категория очевидным образом связна, так что если правый комма-слой $i \setminus I'$ функтора $\gamma\colon I' \to I$ непуст и направлен для любого $i \in I$, то функтор $\gamma$ кофинален. Если $I'$ фильтрована, то все комма-слои автоматически удовлетворяют условию (ii) определения 1.4 и поэтому также фильтрованы. Если $I$ – частично упорядоченное множество, то условие (ii) определения 1.4, снова выполнено автоматически, а $I$ фильтрована тогда и только тогда, когда она направлена. Конечно кополная категория $I$ фильтрована по тривиальным причинам. Для любой фильтрованной $I$ функтор копредела $\operatorname{\mathsf{colim}}_I \colon\operatorname{Fun}(I,\operatorname{Sets}) \to \operatorname{Sets}$ сохраняет конечные пределы, и это свойство – главная причина полезности понятия фильтрованной категории.

Объекты индуктивного пополнения $\operatorname{Ind}(\mathcal{C})$ категории $\mathcal{C}$ суть пары $\langle I,c \rangle$, образованные малой фильтрованной категорией $I$ и функтором $c\colon I \to \mathcal{C}$, а морфизмы задаются как

Объект $c \in \mathcal{C}$ категории $\mathcal{C}$ конечно представим, или компактен, если копредставимый функтор $\operatorname{Hom}(c,-)$ сохраняет фильтрованные копределы. Пусть $\mathcal{C}_c \subset \mathcal{C}$ – полная подкатегория кополной категории $\mathcal{C}$, состоящая из всех компактных объектов; тогда для любой полной подкатегории $I \subset \mathcal{C}_c$ полное вложение $I \to \mathcal{C}_c \to \mathcal{C}$ канонически продолжается до полного строгого функтора

1.3. Абелевы категории

Категория $\mathcal{C}$ пунктирована, если у нее есть начальный объект $0$ и конечный объект $1$, причем единственное отображение $0 \to 1$ является изоморфизмом (так что $0$ – одновременно и начальный, и конечный объект, единственный с точностью до единственного изоморфизма). Для любых двух объектов $A,B \in \mathcal{C}$ пунктированной категории $\mathcal{C}$ имеется единственное отображение $0\colon A \to B$, которое пропускается через $0$, так что $\operatorname{Hom}$-множества $\operatorname{Hom}(-,-)$ естественным образом пунктированы. Если пунктированная категория $\mathcal{C}$ имеет конечные произведения и копроизведения, то имеем естественное отображение

Понятие абелевой категории также восходит к [10], и также самодвойственно. А именно, для любого морфизма $f\colon A \to B$ в пунктированной категории $\mathcal{A}$ его ядро есть $\operatorname{Ker} f=A \times_B 0$, и, двойственным образом, его коядро есть $\operatorname{Coker}f=(\operatorname{Ker}f^o)^o$. Ни того, ни другого в общем случае не существует; аддитивная категория абелева, если в ней есть все ядра и коядра (“аксиома $\mathrm{AB}1$”), причем для любого морфизма $f\colon A \to B$ с ядром $k\colon\operatorname{Ker} f \to A$ и коядром $c\colon B \to \operatorname{Coker}f$ естественное отображение $\operatorname{Coker} k \to \operatorname{Ker} c$ является изоморфизмом ($\mathrm{AB}2$). Аддитивная категория, удовлетворяющая $\mathrm{AB}1$, конечно полна и кополна, а если она удовлетворяет $\mathrm{AB}2$, она также замкнута по Каруби. Абелева подкатегория $\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}$ в абелевой категории $\mathcal{A}$ есть полная подкатегория, замкнутая относительно конечных сумм, ядер и коядер (так что, в частности, $\mathcal{A}'$ также абелева). В качестве альтернативы, короткая точная последовательность в пунктированной категории $\mathcal{A}$ есть такая последовательность

Замечание 1.9. Иногда полезна следующая переупаковка понятия короткой точной последовательности. Задать последовательность (1.11) с $p \circ i=0$ – это то же самое, что задать коммутативный квадрат

$(1.13)$

Zoom inZoom out

Тогда последовательность точна слева (соответственно справа) в том и только том случае, когда отвечающий ей квадрат (1.13) декартов, т. е. $\operatorname{Ker} p$ существует и $A \to \operatorname{Ker} p$ – изоморфизм (соответственно кодекартов, т. е. $\operatorname{Coker}i$ существует и $\operatorname{Coker}i\to C$ – изоморфизм). Последовательность точна, если квадрат бидекартов, т. е. одновременно декартов и кодекартов.

А. Гротендик перечисляет дальнейшие условия возрастающей силы, которые можно налагать на абелеву категорию $\mathcal{C}$ – она может иметь любые копроизведения ($\mathrm{AB}3$), копроизведения коротких точных последовательностей могут быть точны ($\mathrm{AB}4$), и то же может быть верно для фильтрованных копределов (или, что эквивалентно, фильтрованные копределы коммутируют с конечными пределами – это $\mathrm{AB}5$). Есть также еще одно свойство – $\mathrm{AB}6$, но, поскольку его истинное значение начало проясняться только совсем недавно, мы опускаем его. Дополнительные свойства не самодвойственны; говорят, что абелева категория $\mathcal{C}$ удовлетворяет $\mathrm{AB}N^*$, $N=3,4,5,6$, если $\mathcal{C}^o$ удовлетворяет $\mathrm{AB}N$. Категория $\operatorname{Ab}$ удовлетворяет $\mathrm{AB}5$ и $\mathrm{AB}4^*$ (имеется теорема, по которой абелева категория, удовлетворяющая $\mathrm{AB}5$ и $\mathrm{AB}5^*$, тривиальна).

Образующий абелевой категории $\mathcal{C}$ – это такой объект $U \in \mathcal{C}$, что функтор $\operatorname{Hom}(U,-)$ строгий (эквивалентным образом, для любого морфизма $f\colon M \to M'$ в $\mathcal{C}$ равенство $\operatorname{Hom}(U,f)=0$ влечет $f=0$). Абелева категория Гротендика – это абелева категория $\mathcal{C}$, которая удовлетворяет $\mathrm{AB}5$ и имеет образующий. Один из основных результатов работы [10] гласит, что абелева категория Гротендика имеет достаточно инъективных объектов (т. е. любой $A \in \mathcal{C}$ допускает мономорфизм $A \to I$ в инъективный $I$).

Аддитивные функторы обычно определяют для аддитивных категорий, но полезно сделать это в слегка большей общности. Будем говорить, что функтор $E\colon\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ между категориями с конечными произведениями аддитивен, если он коммутирует с конечными произведениями (т. е. для любых $A,B \in \mathcal{A}$ естественное отображение $E(A \times B) \to E(A) \times E(B)$ является изоморфизмом). Как и раньше, это условие, а не структура; однако если $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ аддитивны, то аддитивный функтор $E$ автоматически обогащен над $\operatorname{Ab}$. С другой стороны, если $\mathcal{A}$ аддитивна, а $\mathcal{B}=\operatorname{Sets}$, то $E$ автоматически единственным образом пропускается через функтор забывания $\operatorname{Ab} \to \operatorname{Sets}$ (точнее говоря, функтор забывания $\operatorname{Fun}(\mathcal{A},\operatorname{Ab}) \to \operatorname{Fun}(\mathcal{A},\operatorname{Sets})$ индуцирует эквивалентность между полными подкатегориями, порожденными аддитивными функторами). В частности, поскольку фильтрованные копределы множеств коммутируют с конечными произведениями, все объекты $E \in \operatorname{Ind}(\mathcal{A}) \subset \operatorname{Fun}(\mathcal{A}^o,\operatorname{Sets})$ индуктивного пополнения малой аддитивной категории $\mathcal{A}$ аддитивны, $\operatorname{Ind}(\mathcal{A})$ является аддитивной категорией, а полное вложение $\operatorname{Ind}(\mathcal{A}) \subset \operatorname{Fun}(\mathcal{A}^o,\operatorname{Sets})$ пропускается через полное вложение $\operatorname{Ind}(\mathcal{A}) \subset \operatorname{Fun}(\mathcal{A}^o,\operatorname{Ab})$.

Функтор между абелевыми категориями точен слева (соответственно точен справа), если он коммутирует с конечными пределами (соответственно с конечными копределами); в частности, функтор, точный слева или справа, автоматически аддитивен. Эквивалентным образом, аддитивный функтор точен слева (соответственно справа), если он переводит короткие точные последовательности в последовательности, точные слева (соответственно справа); самый простой способ увидеть, что два определения эквивалентны, – использовать описание коротких точных последовательностей в терминах квадратов (1.13). Функтор точен, если он точен и слева, и справа.

Если малая категория $\mathcal{A}$ абелева, то $\operatorname{Ind}(\mathcal{A})$ конечно представима в силу примера 1.6 и является абелевой категорией Гротендика (это хорошо известно, но довольно нетривиально, см. ниже пример 5.3). С другой стороны, любая конечно представимая абелева категория $\mathcal{E}$ удовлетворяет $\mathrm{AB}5$ почти по определению (фильтрованные копределы коммутируют с копределами и конечными пределами), и для любой малой полной подкатегории $I \subset \mathcal{E}_c \subset \mathcal{E}$, для которой $\mathcal{E} \cong \operatorname{Ind}(I)$, копроизведение всех объектов $i \in I \subset \mathcal{E}$ является образующим, так что $\mathcal{E}$ – абелева категория Гротендика. Полная подкатегория $\mathcal{E}_c \subset \mathcal{E}$ компактных объектов аддитивна, и в силу примера 1.7 она существенно малая и имеет коядра (и все остальные конечные копределы). Она также замкнута относительно расширений, а потому является точной категорией в смысле [24; § 2].

Любая малая абелева категория предабелева, но обратное неверно, так что понятие непусто – например, категория $R{\mathrm{-mod}}$ левых модулей над кольцом $R$ абелева, $M \in R{\mathrm{-mod}}$ компактен тогда и только тогда, когда он представляет собой коядро отображения $f\colon R^n \to R^m$ для каких-то целых $m,n \geqslant 0$, так что $R{\mathrm{-mod}}$ очевидным образом конечно представима, но $(R{\mathrm{-mod}})_c$ абелева только тогда, когда кольцо $R$ когерентно слева. Как и в замечании 1.8, термин “предабелева” нестандартен, но стандартного термина, по-видимому, нет. Абстрактную характеризацию предабелевых категорий можно найти в работе [25] (где они называются “инд-абелевыми”). В силу примера 1.7 предабелева категория $\mathcal{A}$ имеет вид $\mathcal{E}_c$ для абелевой конечно представимой $\mathcal{E}$ тогда и только тогда, когда она замкнута по Каруби.

1.4. Производные категории

Мы обозначаем через $C^{ \bullet }(\mathcal{E})$ категорию цепных комплексов $M^{ \bullet }=\langle M^{ \bullet },d \rangle$ в аддитивной категории $\mathcal{E}$, а через $C_{ \bullet }(\mathcal{E})$ ту же категорию, но с комплексами, занумерованными гомологическими, а не когомологическими степенями, подразумевая, что $M^i=M_{-i}$. Гомологический сдвиг $M^{ \bullet }[n]$ комплекса $M^{ \bullet }$ на целое число $n$ задается как $(M^{ \bullet }[n])^i=M^{i+n}$. Конус морфизма $f\colon M^{ \bullet } \to N^{ \bullet }$ в $C^{ \bullet }(\mathcal{E})$ задается как $\operatorname{\sf C}(f)^i=N^i \oplus M^{i+1}$, с обычным верхнетреугольным дифференциалом, и если $\mathcal{E}$ абелева, мы предполагаем известными стандартные понятия объекта гомологий, ацикличного комплекса, квазиизомофизма и т. д. Мы обозначаем через $C^+(\mathcal{E}),C^{-}(\mathcal{E}) \subset C^{ \bullet }(\mathcal{E})$ полные подкатегории комплексов, ограниченных снизу, т. е. $M^i=0$ при $i \ll 0$ (соответственно сверху, т. е. $M^i=0$ при $i \gg 0$); через $C^{ \bullet }_b(\mathcal{E})=C^+(\mathcal{E}) \cap C^-(\mathcal{E}) \subset C^{ \bullet }(\mathcal{E})$ мы обозначаем полную подкатегорию ограниченных комплексов. Если $\mathcal{E}$ конечно представима, с подкатегорией $\mathcal{E}_c \subset \mathcal{E}$ компактных объектов, то $C^{ \bullet }(\mathcal{E})$ также конечно представима, а $C^{ \bullet }_b(\mathcal{E}_c) \subset \mathcal{C}^{ \bullet }(\mathcal{E})$ есть ее полная подкатегория компактных объектов. В частности, для малой абелевой категории $\mathcal{A}$ имеем $C^{ \bullet }(\operatorname{Ind}(\mathcal{A})) \cong \operatorname{Ind}(C^{ \bullet }_b(\mathcal{A}))$.

Локализация $h(\mathcal{C},W)$ категории $\mathcal{C}$ по отношению к классу морфизмов $W$ есть категория $h(\mathcal{C},W)$, снабженная функтором $h\colon\mathcal{C} \to h(\mathcal{C},W)$, который обращает все морфизмы из $W$ и универсален с таким свойством: любой функтор $\mathcal{C} \to \mathcal{E}$ в любую $\mathcal{E}$, который обращает все морфизмы из $W$, пропускается через $h$, причем единственным с точностью до единственного изоморфизма образом. Для любой малой категории $I$ мы обозначаем через $W^I$ класс морфизмов в категории функторов $\operatorname{Fun}(I,\mathcal{C})$, которые поточечно лежат в $W$. Если обе локализации $h(\mathcal{C},W)$, $h(\operatorname{Fun}(I,\mathcal{C}),W^I)$ существуют, имеем тавтологический функтор

Локализация не всегда существует (если $\mathcal{C}$ большая, могут быть теоретико-множественные проблемы), и ее крайне тяжело построить явно и описать (в частности, даже когда нужные локализации существуют, строить гомотопические пределы и копределы – весьма нетривиальное дело). Одна дополнительная структура, которая помогает контролировать локализацию, – это структура модельной категории Квиллена, см., например, [23], [8], [12] (хотя [12] следует использовать с осторожностью, поскольку автор позволяет себе переопределять стандартные понятия на свой вкус). Поскольку нам все это понадобится только по касательной (например, ниже в лемме 4.4), мы опускаем все детали; упомянем лишь, что если $\mathcal{C}$ – модельная категория, а $W$ – класс слабых эквивалентностей, то по [7] локализация $h(\operatorname{Fun}(I,\mathcal{C}),W^I)$ существует для любого конечного $I$ и также существуют функторы гомотопического предела и копредела (1.14). В частности, гомотопически декартовы и кодекартовы квадраты корректно определены в любой модельной категории $\mathcal{C}$.

В абелевом контексте самый стандартный пример локализации – это категория $C^{ \bullet }(\mathcal{C})$ цепных комплексов в абелевой категории $\mathcal{C}$, локализация которой по отношению к квазиизоморфизмам дает производную категорию $\mathcal{D}(\mathcal{C})$. Если в $\mathcal{C}$ достаточно инъективных объектов, то эту локализацию можно построить с помощью техники модельных категорий, но есть более простой и придуманный раньше способ, который работает при куда более мягких предположениях: сначала строим гомотопическую категорию $\operatorname{Ho}(\mathcal{C})$ цепных комплексов и гомотопических классов отображений между ними, а затем применяем общую теорему Вердье о локализации [28] (она использует структуру триангулированной категории на $\operatorname{Ho}(\mathcal{C})$, придуманную Вердье специально для этой цели). Базовые сведения о производных категориях читатель может найти в любом стандартном учебнике по гомологической алгебре, например в [29] или [9]; в частности, мы предполагаем известным то, что производная категория $\mathcal{D}(\mathcal{C})$ аддитивна, а также двойственные понятия тотального правого производного функтора $R^{ \bullet } E\colon\mathcal{D}(\mathcal{C}) \to \mathcal{D}(\mathcal{E})$ (соответственно левого производного функтора $L^{ \bullet } E$) точного слева (соответственно точного справа) функтора $E\colon\mathcal{C} \to \mathcal{E}$ между абелевыми категориями.

Для любой абелевой категории $\mathcal{C}$ и малой категории $I$ категория функторов $\operatorname{Fun}(I,\mathcal{C})$ абелева, и для упрощения обозначений мы пишем $\mathcal{D}(I,\mathcal{C})$ вместо $\mathcal{D}(\operatorname{Fun}(I,\mathcal{C}))$. Если абелева категория $\mathcal{C}$ конечно представима, то для любой конечно представимой $I$, категория непрерывных функторов $\operatorname{Fun}_c(I,\mathcal{C})$ также абелева в силу (1.9), и мы пишем $\mathcal{D}_c(I,\mathcal{C})= \mathcal{D}(\operatorname{Fun}_c(I,\mathcal{C})) \cong \mathcal{D}(I_c,\mathcal{C})$. Также $\mathcal{D}(I,\mathcal{C})$ для малой $I$ и абелевой $\mathcal{C}$ можно получить, локализуя категорию функторов $\operatorname{Fun}(I,C^{ \bullet }(\mathcal{C})) \cong C^{ \bullet }(\operatorname{Fun}(I,\mathcal{C}))$ по классу поточечных квазиизоморфизмов, и если $I$ конечна, то гомотопический предел и копредел (1.14) существуют и задаются как $\operatorname{\sf hocolim}_I=L^{ \bullet } \operatorname{\mathsf{colim}}_I$, $\operatorname{\sf holim}_I=R^{ \bullet }\operatorname{\mathsf{lim}}_I$. Объект $E \in \mathcal{D}(I,\mathcal{C})$ тавтологически определяет функтор $\mathcal{D}(E)\colon I \to \mathcal{D}(\mathcal{C})$, так что имеем функтор сравнения

Можно также рассматривать категорию $C_{\geqslant 0}(\mathcal{C})=C^{\leqslant 0}\subset \mathcal{C}_{ \bullet }(\mathcal{C})=C^{ \bullet }(\mathcal{C})$ комплексов, сосредоточенных в неотрицательных гомологических (т. е. неположительных когомологических) степенях; ее локализация дает полную подкатегорию $\mathcal{D}^{\leqslant 0}(\mathcal{C}) \subset \mathcal{D}(\mathcal{C})$ связных объектов, часть стандартной $t$-структуры на $\mathcal{D}(\mathcal{C})$. Двойственным образом, локализуя категорию $C^{\geqslant 0}(\mathcal{C})$ комплексов, сосредоточенных в неотрицательных когомологических степенях, получаем полную подкатегорию $\mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{C}) \subset \mathcal{D}(\mathcal{C})$ косвязных объектов, вторую часть стандартной $t$-структуры. За общими фактами о $t$-структурах мы отсылаем к [2]; напомним только, что вложение $\mathcal{D}^{\leqslant 0}(\mathcal{C}) \subset \mathcal{D}(\mathcal{C})$ допускает сопряженный справа функтор канонического обрезания $\tau^{\leqslant 0}\colon\mathcal{D}(\mathcal{C}) \to \mathcal{D}^{\leqslant 0}(\mathcal{C})$, причем $\mathcal{D}^{\leqslant 0}(\mathcal{C})\cap \mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{C}) \cong \mathcal{C}$, так что $\tau^{\geqslant 0}$ индуцирует функтор $\mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{C}) \to \mathcal{C}$.

2. Топологии и покрытия

2.1. Напоминание о топологиях Гротендика

Исходная ссылка по топологиям Гротендика и теории топосов это [1], но очень сжатый и полезный обзор можно найти в [14; § 0.3]. Напомним основные моменты.

По определению решето на объекте $i \in I$ малой категории $I$ есть подфунктор в представимом функторе $\mathsf{Y}(i)=\operatorname{Hom}(-,i)\colon I^o \to \operatorname{Sets}$. Совокупность всех решет на объекте $i$ обозначается через $\Omega(i)$, и для любого морфизма $f\colon i' \to i$ и решета $s \in \Omega(i)$

• (i) для любого $i \in I$ максимальное решето $\mathsf{Y}(i)$ лежит в $T(i)$,
• (ii) для любого морфизма $f\colon i \to i'$ и $s \in T(i')$ имеем $f^*s \in T(i)$ (иными словами, $T \subset \Omega$ есть подфунктор), и
• (iii) если для некоторых $s \in \Omega(i)$, $s' \in T(i)$ имеем $f^*s \in T(i')$ для любого $f\colon i' \to i$ в $s'(i') \subset \operatorname{Hom}(i',i)$, то $s \in T(i)$.

Функтор $E\colon I^o \to \operatorname{Sets}$ – отделимый предпучок (соответственно пучок) по отношению к топологии $T$, если для любых $i \in I$, $s \in T(i)$ отображение $E(i) \to \operatorname{Hom}(s,E)$ инъективно (соответственно биективно). Если вычислить $\operatorname{Hom}(s,E)$ по (1.4), то эти условия имеют смысл и для функтора $E\colon I^o \to \mathcal{E}$ в любую полную категорию $\mathcal{E}$, так что понятия пучка и отделимого предпучка также определены для $\mathcal{E}$-значных функторов. В явном виде, категория элементов $Is$ примера 1.3 эквивалентна полной подкатегории $I /_s i \subset I / i$, порожденной стрелками $f \in s(i) \subset \operatorname{Hom}(i',i)$, и мы имеем

Замечание 2.6. Для любой малой $I$ функтор $\Omega\colon I^o \to \operatorname{Sets}$ имеет следующее универсальное свойство: для любого мономорфизма $X \to Y$ в $\operatorname{Fun}(I^o,\operatorname{Sets})$ существует единственное отображение $Y \to \Omega$, которое включается в декартов квадрат

$(2.5)$

Zoom inZoom out

где $1$ – вложение (2.4) (для представимого $Y$ это просто определение $\Omega$). Тогда, в частности, подфунктор $T \subset \Omega$ задает отображение $j\colon \Omega \to \Omega$, и можно показать, что $T$ есть топология в том и только том случае, когда

$$ \begin{equation*} \text{(i)}\; j \circ 1=1,\qquad \text{(ii)}\; \wedge \circ \,(j \times j)=j \circ \wedge,\qquad \text{(iii)}\; j \circ j=j, \end{equation*} \notag $$

где $\wedge\colon\Omega \times \Omega \to \Omega$ отвечает квадрату (2.5) для вложения

$$ \begin{equation*} (1 \times 1)\colon\mathsf{pt}_I=\mathsf{pt}_I \times \mathsf{pt}_I \to \Omega \times \Omega. \end{equation*} \notag $$

Функтор $\Omega$ известен как “классификатор подобъектов” в $\operatorname{Fun}(I^o,\operatorname{Sets})$, а образ $\Omega_j$ идемпотентного эндоморфизма $j\colon\Omega \to \Omega$ является классификатором подобъектов в категории пучков $\operatorname{Shv}(I,\operatorname{Sets})$. В общем случае категории пучков $\operatorname{Shv}(I,\operatorname{Sets})$ известны как топосы, и оказывается, что именно существование классификатора подобъектов характеризует их наиболее естественным образом. Это предмет абстрактной теории топосов, с которой читатель может ознакомиться по замечательной книге [14] (хотя, читая ее, полезно помнить, что многие доказательства основаны на доказательствах из [1], даже если это в явном виде не упомянуто). Обсуждение топологий в терминах классификатора подобъектов содержится в [14; § 3.1].

2.2. Покрытия

На практике решето удобно задавать с помощью покрывающего семейства $\{i_\alpha \to i\}$, занумерованного каким-то множеством индексов $\alpha$, – решето $s(\{i_\alpha \to i\})$ состоит из всех морфизмов $i' \to i$, которые пропускаюся через один из морфизмов $i_\alpha \to i$. Предтопология Гротендика на $I$ задается набором покрывающих семейств для каждого $i \in I$, удовлетворяющих, как и раньше, некоторым аксиомам (которые, в частности, гарантируют, что получающийся набор решет дает базу топологии Гротендика в смысле замечания 2.5).

Полное определение предтопологии нам не понадобится (см., например, [14; § 0.3]), но нам будет нужен один несколько вырожденный пример, когда все покрывающие семейства состоят из одного объекта. А именно, будем говорить, что класс $F$ морфизмов в $I$ покрывающий, если он замкнут относительно композиций, содержит все единичные морфизмы, а кроме того, любой морфизм $f\colon i' \to i$ из $F$ допускает обратный образ (pullback) по отношению к любому морфизму $i'' \to i$ (“морфизмы в $F$ допускают обратные образы”), причем обратный образ также лежит в $F$ (“$F$ замкнуто относительно обратных образов”). Тогда для любого покрывающего класса набор $C(i)=\{s(\{f\colon i' \to i\})\mid f \in F\}$ задает базу $C$ топологии Гротендика $T$ на $I$, которую мы называем $F$-топологией. Функтор $E\colon I^o \to \mathcal{E}$ в конечно представимую $\mathcal{E}$ отделим по отношению к $F$-топологии тогда и только тогда, когда $E(i) \to E(i')$ инъективно для любого $f\colon i' \to i$ из $F$, и является пучком тогда и только тогда, когда квадрат

$(2.6)$

Zoom inZoom out

Для любого объекта $i \in I$ обозначим через $\operatorname{\sf ev}_i\colon\operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E}) \to \mathcal{E}$ функтор вычисления, переводящий $E$ в $E(i)$, и заметим, что, поскольку $\mathcal{E}$ полна, $\operatorname{\sf ev}_i$ имеет сопряженный справа $\mathsf{Y}_i\colon\mathcal{E} \to \operatorname{Fun}(I^o,\mathcal{E})$, заданный как

Чтобы построить $F$-поднимаемые прообъекты в $I$, возьмем объект $i \in I$ и обозначим через $\operatorname{Cov}(i) \subset I/i$ полную подкатегорию, порожденную стрелками $i' \to i$ из $F$, с индуцированной проекцией $\sigma(i)\colon\operatorname{Cov}(i) \to I/i \to I$. Тогда класс $\sigma(i)^*F$ таких морфизмов $f$, что $\sigma(i)(f) \in F$, есть покрывающий класс морфизмов в $\operatorname{Cov}(i)$ и имеем следующее.

Доказательство. Чтобы доказать (i), возьмем морфизм $f\colon i'' \to i'$ из $F$; надо показать, что любое отображение $g\colon\sigma(i)(\widetilde{i}) \to i'$ пропускается через $i''$. Но по определению $\widetilde{i}$ приходит из проективной системы в $\operatorname{Cov}(i)$, так что $g$ пропускается через $\sigma(g')$ для какого-то морфизма $g'\colon\widetilde{i} \to i_0$ в $\operatorname{Cov}(i)$. Тогда достаточно проверить, что $\sigma(g')$ пропускается через отображение $i'' \times_{i'}i_0 \to i_0$; но это отображение лежит в $F$, т. е. приходит из $\operatorname{Cov}(i)$, а $\widetilde{i}$ в $\operatorname{Cov}(i)$ является $\sigma(i)^*F$-поднимаемым.

Рассуждение, позволяющее доказать (ii), абсолютно стандартно и восходит как минимум к [10] (где оно уже названо “стандартным”). Заметим, что, поскольку $I$ малая, $\operatorname{Cov}(i)$ также малая, и потому для любого прообъекта $\widetilde{i} \in \operatorname{Pro}(\operatorname{Cov}(i))$ существует множество $S$, элементы $s \in S$ которого нумеруют с точностью до изоморфизма все диаграммы

$$ \begin{equation} \widetilde{i} \xrightarrow{} i_s' \xleftarrow{f} i_s'' \end{equation} \tag{2.11} $$

в $\operatorname{Cov}(i)$, $f \in \sigma(i)^*F$. Более того, $\operatorname{Cov}(i)$ имеет конечные произведения, и конечные произведения морфизмов из $F$ лежат в $F$, а потому для любого конечного подмножества $S_0 \subset S$ мы можем определить прообъект $\widetilde{i}[S_0]$ как расслоенное произведение

Zoom inZoom out

Тогда положим $H(\widetilde{i})= \operatorname{\mathsf{lim}}_{S_0 \subset S}\widetilde{i}[S_0]$, где предел берется по направленному частично упорядоченному множеству конечных подмножеств в $S$. Это прообъект, снабженный отображением $H(\widetilde{i}) \to \widetilde{i}$, причем, по построению, для любой диаграммы (2.11) отображение композиции $H(\widetilde{i}) \to i_s'$ пропускается через $f_s$. Чтобы завершить доказательство, берем $i_0=i$, с единичным отображением $i \to i$, определяем по индукции $i_{n+1}=H(i_n)$, $n \geqslant 0$, и берем $\widetilde{i}=\operatorname{\mathsf{lim}}_ni_n$. Лемма доказана.

3. Гиперпокрытия

3.1. Частично упорядоченные множества

Пусть дана категория $I$, снабженная покрывающим классом $F$. Напомним, что $\mathsf{pt}^< \cong [0]^< \cong [1]$ – однострелочная категория, причем $[1]^o \cong [1]$, так что покрытия объекта $i \in I$ можно понимать как $i$-коаугментированные функторы из точечной категории $\mathsf{pt}$ в $I$. Понятие гиперпокрытия продолжает это на категории, отличные от $\mathsf{pt}$. Обычно оно применяется к категории симплексов $\Delta$ (см. ниже п. 3.3), но небезынтересно строить теорию в более общем контексте. Начнем с конечных частично упорядоченных множеств.

В ситуации определения 3.1 обозначим через $\operatorname{HCov}(J) \subset \operatorname{Fun}(J^o,I)$ полную подкатегорию, порожденную гиперпокрытиями. Если $\varphi\colon J' \to J$ – пунктированный слева функтор между пунктированными слева конечными частично упорядоченными множествами, то из (1.3) немедленно следует, что для любого $E \in \operatorname{HCov}(J')$ правое расширение Кана $\varphi^o_*E$ существует и является гиперпокрытием, а если $\varphi$ – замкнутое слева вложение, то $\varphi^{o*}$, кроме того, тавтологически переводит гиперпокрытия в гиперпокрытия. Для любого конечного частично упорядоченного множества $J$ мы имеем пунктированное слева частично упорядоченное множество $J^<$, и мы определяем $J$-гиперпокрытие объекта $i \in I$ как $i$-коаугментированный функтор $E\colon J^{o>}=J^{<o} \to I$, который является гиперпокрытием в смысле определения 3.1. Мы обозначаем категорию $J$-гиперпокрытий объекта $i$ через $\operatorname{HCov}(J,i) \subset \operatorname{HCov}(J^<)$. Отметим, что непустые замкнутые слева подмножества в $J^<$ биективно соответствуют всем замкнутым слева подмножествам в $J$. Если $J=\mathsf{pt}$, то единственные замкнутые слева подмножества в $J$ – это пустое множество и само $J$, так что $J$-гиперпокрытие – это просто покрытие и $\operatorname{HCov}(\mathsf{pt},i) \cong \operatorname{Cov}(i)$. В общем случае для любого $j \in J$ множество $J/j \subset J$ замкнуто слева, и, поскольку у него есть наибольший элемент, (1.6) дает изоморфизм

Пример 3.5. Рассмотрим квадрат $[1]^2$ однострелочной категории $[1]$. Тогда $[1]^{2o} \cong [1]^2$, функторы $[1]^{2o} \to I$ отвечают коммутативным квадратам

$(3.2)$

Zoom inZoom out

и такой квадрат является гиперпокрытием в том и только том случае, когда морфизмы $i_{01},i_{10} \to i_{00}$ лежат в $F$ и то же верно для морфизма $i_{11} \to i_{10} \times_{i_{00}} i_{01}$. В частности, недостаточно потребовать, чтобы функтор пропускался через $I_F$.

В общем случае для того, чтобы увидеть, является ли $J$-гиперпокрытием данный функтор $E\colon J^{o>} \to I$, надо проверить много условий. Однако по индукции следующий результат позволяет свести это к одному условию на каждый $j \in J$.

Полезно продолжить класс $F$ до покрывающего класса в категориях гиперпокрытий $\operatorname{HCov}(J,i)$. А именно, отметим, что категория $[n]$ пунктирована слева для любого $n \geqslant 0$, так что для любого конечного частично упорядоченного множества $J$ произведение $[n] \times J^<$ – пунктированное слева конечное частично упорядоченное множество. Напомним также, что $[n]^o \cong [n]$.

3.2. Тонкие $ML$-категории

Чтобы перейти от частично упорядоченных множеств к более общим категориям, напомним, что факторизационная система $\langle L,R \rangle$ на категории $\mathcal{C}$ задается такими двумя классами морфизмов $L$, $R$ в $\mathcal{C}$, замкнутыми относительно композиции и содержащими все изоморфизмы, что любое отображение $f\colon c' \to c$ в $\mathcal{C}$ разлагается в композицию

Для любой тонкой $ML$-категории $X$ аугментированную категорию $X^<$ можно превратить в тонкую $ML$-категорию, приписав все отображения $o \to x$, $x \in X$, к классу $L$, так что $X^<_L \cong (X_L)^<$. Для любого $x \in X$ частично упорядоченное множество $X_L / x$ имеет максимальный элемент $\operatorname{\mathsf{id}}\colon x \to x$, и мы обозначаем $L(x)=(X_L / x) \setminus \operatorname{\mathsf{id}}$.

Для произвольной тонкой $ML$-категории $X$ мы обозначаем категорию $X$-гиперпокрытий объекта $i \in I$ через $\operatorname{HCov}(X,i)$. Благодаря примеру 3.12 это согласуется с использованными ранее обозначениями. Для любого отображения $l\colon x' \to x$ в классе $L$ имеем $(X_L/x)/l \cong X_L/x'$, так что $\sigma(x)^{<o*}$ переводит $X$-гиперпокрытия в $(X_L/x)$-гиперпокрытия. В частности, отсюда следует, что любое $X$-гиперпокрытие $E\colon X^{<o} \to I$ переводит $X^{<o}_L \subset X^{<o}$ в $I_F \subset I$, так что имеем полное вложение $\operatorname{HCov}(X,i) \subset \operatorname{Fun}(X^o,\operatorname{Cov}(i))$.

Совмещая примеры 3.12 и 3.15, видим, что расширенное произведение $J * X$ конечного частично упорядоченного множества $J$ и тонкой $ML$-категории $X$ естественным образом является тонкой $ML$-категорией. В частности, как в определении 3.8, можно взять $J=[0]$ и говорить, что отображение $f$ в $\operatorname{HCov}(X,i)$ лежит в классе $F(X)$, если $\iota(f)$ является гиперпокрытием. Тогда из леммы 3.9 немедленно следует, что $F(X)$ – покрывающий класс.

3.3. Симплициальные объекты

Теперь, как обычно, обозначим через $\Delta \subset \operatorname{Pos}$ полную подкатегорию, порожденную ординалами $[n]$, $n \geqslant 0$. Симплициальный объект в категории $I$ – это по определению функтор $i_{ \bullet }\colon \Delta^o \to I$, где $i_n=i_{ \bullet }([n])$, $n \geqslant 0$. По традиции обозначают

Полная подкатегория $\Delta \subset \operatorname{Pos}$ наследует структуру тонкой $ML$-категории примера 3.16, так что можно говорить о $\Delta$-гиперпокрытиях в смысле определения 3.11. Они обычно называются просто гиперпокрытиями и появляются в литературе в разных видах и формах. Вот некоторые из них.

(i) Для любого $n \geqslant 0$ обозначим через $\Delta^<_{< n} \subset\Delta^<$ полную подкатегорию, порожденную $[m]$ с $m < n$, и пусть $j_n\colon\Delta^<_{< n} \to \Delta^<$ – функтор вложения. $n$-й коскелет $\operatorname{\sf cosk}_n i_{ \bullet }$ аугментированного симплициального объекта $i_{ \bullet }\colon\Delta^{<o} \to I$ дается правым расширением Кана $j_{n*}^oj_n^{o*}i_{ \bullet }$, если оно существует, и в этом случае он снабжен отображением сопряжения $E \to \operatorname{\sf cosk}_nE$. $0$-й коскелет $\operatorname{\sf cosk}_0i_{ \bullet }$ существует всегда – в силу (1.3) это просто постоянный функтор со значением $i=i_{ \bullet }(o)$, а отображение сопряжения $i_{ \bullet } \to \operatorname{\sf cosk}_0i_{ \bullet }$ есть $\operatorname{\mathsf{id}}$ на $o$ и отображение аугментации $a\colon i_{ \bullet } \to i$ на $\Delta^o$. Тогда лемма 3.18 применима к вложениям $\Delta_{<n}^< \subset \Delta^<$ и показывает, что аугментированный симплициальный объект $i_{ \bullet }\colon\Delta^{<o} \to I$ является $\Delta$-гиперпокрытием в том и только том случае, когда $\operatorname{\sf cosk}_ni_{ \bullet }$ существует для любого $n \geqslant 0$, а отображение $i_n \to (\operatorname{\sf cosk}_ni_{ \bullet })_n$ лежит в $F$. Если $I$ – категория схем, а $F$ – покрывающий класс собственных отображений, то это исходные гиперпокрытия работы [5].

(ii) Альтернативным образом $\Delta$-гиперпокрытия можно описывать через решета, как в замечании 3.13. А именно, пусть $\Delta_n=\operatorname{Hom}(-,[n])\colon\Delta^o\to\operatorname{Sets}$ – элементарный симплекс, ${\sf S}_{n-1} \subset \Delta_n$ – стандартная симплициальная сфера, и мы аугментируем и то, и другое одноточечным множеством $\mathsf{pt}$. Тогда $i_{ \bullet }\colon \Delta^{<o} \to I$ является гиперпокрытием в том и только том случае, когда для любого ${n \geqslant 1}$ $\operatorname{Hom}({\sf S}_{n-1},i_{ \bullet })$ существует, а отображение $i_n=\operatorname{Hom}(\Delta_n,i_{ \bullet }) \to \operatorname{Hom}({\sf S}_{n-1},i_{ \bullet })$ лежит в $F$. Если это верно, то то же верно для любого непустого решета ${\sf S} \subset \Delta_n$. Например, если $I=\operatorname{Sets}$ – категория множеств, а $F$ – класс сюръективных отображений, то аугментированное симплициальное множество $X_{ \bullet }= \langle X_{ \bullet },X,a \rangle\colon\Delta^{<o} \to \operatorname{Sets}$ является $\Delta$-гиперпокрытием тогда и только тогда, когда $a\colon X_{ \bullet } \to X$ – тривиальное расслоение в модельной структуре Кана–Квиллена на $\Delta^o\operatorname{Sets}$. В явном виде условие гиперпокрытия в $[n] \in \Delta$ гласит, что аугментированное отображение ${\sf S}_n \to X_{ \bullet }$ продолжается до аугментированного отображения $\Delta_n \to X_{ \bullet }$. Если это верно, то то же верно для любого непустого решета ${\sf S} \subset \Delta_n$. Отметим также, что коаугментация, определяемая $\Delta$-гиперпокрытием $X_{ \bullet }\colon\Delta^{<o>} \to \operatorname{Sets}$, универсальна: если мы положим

(iii) Предположим теперь, что $I$ – модельная категория, а $F$ – класс расслоений (соответственно тривиальных расслоений). Тогда $\Delta$ имеет структуру категории Риди (см. [12; п. 5.2]), а наши классы $M$ и $L$ суть классы прицепляющих (matching) и защелкивающих (latching) отображений (что объясняет наши обозначения). Категория симплициальных объектов в $I$ снабжена модельной структурой Риди, и аугментированный объект $\langle i_{ \bullet },i,a \rangle$ в $I$ является $\Delta$-гиперпокрытием тогда и только тогда, когда $a\colon i_{ \bullet } \to i$ – расслоение (соответственно тривиальное расслоение). Частично упорядоченное множество $L([n])$ определения 3.11 является защелкивающей категорией для структуры Риди на $\Delta$ (и становится прицепляющей категорией для противоположной категории $\Delta^o$).

С этого момента мы также сокращаем термин “$\Delta$-гиперпокрытие” до “гиперпокрытие” и обозначаем $\operatorname{HCov}(i)=\operatorname{HCov}(\Delta,i)$. Напомним, что $\operatorname{HCov}(i)$ снабжена покрывающим классом $F(\Delta)$. Напомним также, что для любых двух симплициальных объектов $E_0,E_1\in \operatorname{Fun}(\Delta^o,\mathcal{E})$ категории $\mathcal{E}$ мы имеем симплициальное множество $\operatorname{\mathcal{H}{\it om}}(E_0,E_1)$, определенное в (1.2), а поскольку $[0]$ есть начальный объект категории $\Delta^o$, имеем

Чтобы представить себе множество $\pi_0(X_{ \bullet })$ более явно, отметим, что, поскольку любой объект $[n] \in \Delta$ допускает отображение $[0] \to [n]$, естественное отображение $X_0 \to \pi_0(X)$ сюръективно. Затем определим элементарную гомотопию между двумя элементами $x,x' \in X_0$ как такой элемент $\widetilde{x} \in X_1$, что $X(s)(\widetilde{x})=x$ и $X(t)(\widetilde{x})=x'$, и будем говорить, что два элемента $x,x' \in X_0$ связаны цепной гомотопией, если их можно соединить конечной цепочкой элементарных гомотопий (идущих в любых направлениях). Тогда связанность цепной гомотопией есть отношение эквивалентности на $X_0$, а $\pi_0(X)$ – соответствующее множество классов эквивалентности.

На этом языке морфизмы в категории $HC(i)$ определения 3.21 суть морфизмы в $\operatorname{HCov}(i)$, рассмотренные с точностью до цепной гомотопии.

Доказательство. Условие (i) определения 1.4 очевидно (в $\operatorname{HCov}(i)$ есть конечные произведения). Чтобы доказать (ii), заметим, что для любых $i_{ \bullet },i'_{ \bullet } \in \operatorname{HCov}(i)$ и $n \geqslant 0$ имеем

$$ \begin{equation*} \operatorname{\mathcal{H}{\it om}}(i'_{ \bullet },i_{ \bullet })_n \cong \operatorname{Hom}(i'_{ \bullet },\operatorname{\mathcal{H}{\it om}} (\Delta_n,i_{ \bullet })) \cong \operatorname{Hom}(i'_{ \bullet },\epsilon_n^*\delta_*i'_{ \bullet }), \end{equation*} \notag $$

где $\operatorname{\mathcal{H}{\it om}}(\Delta_n,-)$ определен в (1.5), а $\epsilon_n\colon\Delta^<\to\Delta^<\times\Delta^<$ – вложение на $[n] \times \Delta^<$. Тогда по лемме 3.23, лемме 3.20 и лемме 3.17 объект $\operatorname{\mathcal{H}{\it om}}(\Delta_n,i_{ \bullet })$ является гиперпокрытием, а отображение $\operatorname{\mathcal{H}{\it om}}(\Delta_n,i_{ \bullet }) \to \operatorname{\mathcal{H}{\it om}}({\sf S}_{n-1},i_{ \bullet })$ лежит в $F(\Delta)$. Поэтому если даны два отображения $f,f'\colon i'_{ \bullet } \to i_{ \bullet }$ в $\operatorname{HCov}(i)$, можно построить расслоенное произведение

Zoom inZoom out

в $\operatorname{HCov}(i)$, и тогда $f \circ g$, $f' \circ g$ соединены элементарной гомотопией, т. е. задают одно и то же отображение в $HC(i)$. Следствие доказано.

4. Эквивалентность Дольда–Кана и производные функторы

4.1. Эквивалентность Дольда–Кана

Пусть теперь $\mathcal{E}$ – аддитивная категория, замкнутая по Каруби (например, абелева). Тогда существует эквивалентность Дольда–Кана

Двойственным образом, $\Delta^o$ в (4.1) можно заменить на $\Delta$, а $C_{\geqslant 0}(-)$ тогда заменяется на категорию $C^{\geqslant 0}(-)$ комплексов, сосредоточенных в неотрицательных когомологических степенях (чтобы вывести соответствующее утверждение для $\mathcal{E}$, применяем (4.1) к $\mathcal{E}^o$, которая аддитивна и замкнута по Каруби). Остальной материал до примера 4.2 и леммы 4.3 включительно также имеет очевидные двойственные версии.

4.2. Покрывающие классы

Теперь мы хотим снабдить нашу аддитивную замкнутую по Каруби категорию $\mathcal{E}$ покрывающим классом $F$. Есть две возможности. Во-первых, предположим, что в $\mathcal{E}$ есть ядра. Тогда $\mathcal{E}$ конечно полна и можно взять класс всех отображений. Условие гиперпокрытия будет бессодержательно ($\operatorname{HCov}(M)$ есть просто категория всех цепных комплексов, снабженных аугментацией $M_{ \bullet } \to M$), но определение 3.21 по-прежнему нетривиально. Чтобы пояснить, о чем идет речь, заметим, что каждая аддитивная категория $\mathcal{E}$ тривиальным образом является модульной над моноидальной категорией $\mathbb{Z}{\mathrm{-mod}}^{ff}$ конечно порожденных свободных $\mathbb{Z}$-модулей. Хотя эквивалентность Дольда–Кана и не тензорная, тем не менее для любых $M\colon\Delta^o \to \mathcal{E}$, $V\colon\Delta^o \to \mathbb{Z}{\mathrm{-mod}}^{ff}$ имеем отображения тасовки

Более интересная альтернатива такая: предположим, в дополнение к предыдущему, что $\mathcal{E}^o$ либо абелева, либо малая и предабелева в смысле определения 1.10, так что $\operatorname{Pro}(\mathcal{E}) \cong \operatorname{Ind}(\mathcal{E}^o)^o$ абелева, и возьмем в качестве $F$ класс всех эпиморфизмов в $\mathcal{E}$. Поскольку эпиморфизмы в абелевой категории очевидным образом стабильны относительно обратных образов, а полное вложение $\mathcal{E} \subset \operatorname{Pro}(\mathcal{E})= \operatorname{Ind}(\mathcal{E}^o)^o$ отражает эпиморфизмы, $F$ также является покрывающим классом. Тогда из (4.2) сразу видно, что аугментированный комплекс $\langle M_{ \bullet },M,a \rangle$ является $F$-гиперпокрытием в том и только том случае, когда $a\colon M_{ \bullet } \to M$ квазиизоморфизм, т. е. $M_{ \bullet }$ – левая резольвента $M$ в $\operatorname{Pro}(\mathcal{E}) \supset \mathcal{E}$, а $HC(M)$ есть категория левых резольвент объекта $M \in \mathcal{E}$ и гомотопических классов отображений между ними. Двойственным образом, если $\mathcal{E}$ предабелева, то гиперпокрытия в противоположной категории $\mathcal{E}^o$ отвечают правым резольвентам в $\operatorname{Ind}(\mathcal{E}^o)$.

Если даны категории $I$, $I'$ с покрывающими классами $F$, $F'$ и функтор $\gamma\colon I \to I'$, который коммутирует с конечными пределами и переводит морфизмы из $F$ в морфизмы из $F'$, то он тавтологически переводит $F$-гиперпокрытия в $F'$-гиперпокрытия. Например, так бывает, если $I=\mathcal{E}$ – абелева категория с проективным объектом $E$, $E'=\operatorname{Sets}$, $F$ и $F'$ состоят из эпиморфизмов, а $\gamma$ есть функтор $\operatorname{Hom}(E,-)$. Если в $\mathcal{E}$ есть произвольные суммы, то этот конкретный функтор имеет сопряженный слева $\operatorname{Sets} \to \mathcal{E}$, $S \mapsto E[S]$, где, как и в примере 2.1, $E[S]$ обозначает сумму копий $E$, занумерованных элементами $s \in S$. Этот сопряженный по-прежнему переводит эпиморфизмы в эпиморфизмы, даже если $E$ не проективен, однако он, безусловно, никогда не коммутирует с пределами. Тем не менее следующее утверждение все равно верно.

4.3. Производные функторы по Дольду

Пусть теперь дан функтор $E\colon\mathcal{C} \to \mathcal{E}$ между полными категориями $\mathcal{C}$ и $\mathcal{E}$; продолжим $E$ до функтора $E\colon\operatorname{Fun}(\Delta^o,\mathcal{C}) \to \operatorname{Fun}(\Delta^o,\mathcal{E})$, применяя его почленно. Нижеследующее классическое наблюдение по сути принадлежит Дольду.

Если категория $\mathcal{C}$ не полна, то лемма 4.6 будет по-прежнему верна, с тем же доказательством, если ограничиться полной подкатегорией в $\operatorname{Fun}(\Delta^o,\mathcal{C})$, в которой существуют $\operatorname{\mathcal{H}{\it om}}(\Delta_1,-)$ и $\operatorname{\mathcal{H}{\it om}}({\sf S}_0,-)$. В частности, пусть дана малая категория $I$ с покрывающим классом $F$; тогда можно взять $\mathcal{C}=\operatorname{Cov}(i)$, $i \in I$, и рассмотреть подкатегорию $\operatorname{HCov}(i) \subset\operatorname{Fun}(\Delta^o,\mathcal{C})$. В качестве категории $\mathcal{E}$ возьмем конечно представимую абелеву категорию. Тогда для любого функтора $E\colon I^o\to \mathcal{E}$ и любого объекта $i \in I$ можно рассмотреть функтор $E^o_i=E^o \circ \sigma(i)\colon\operatorname{Cov}(i) \to \mathcal{E}^o$ и лемма 4.6 применима к его продолжению $E^o_i(\Delta)\colon\operatorname{HCov}(i) \to \operatorname{Fun}(\Delta^o,\mathcal{E}^o)$. Поэтому, беря композицию $E^o_i(\Delta)$ с эквивалентностью Дольда–Кана, получаем функтор $\operatorname{HCov}(i) \to C_{\geqslant 0}(\mathcal{E}^o)$, который переводит гомотопные отображения в гомотопные отображения. Двойственным образом, $E_i\colon\operatorname{HCov}(i)^o \to \operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{E}) \cong C^{\geqslant 0}(\mathcal{E})$ также переводит гомотопные отображения в гомотопные отображения, так что для любого $n$ группа $n$-х гомологий $H^n(E_i(i'))$ комплекса $C^{ \bullet }(E_i(i'))$ задает функтор $\operatorname{HCov}(i)^o \to \mathcal{E}$, который пропускается через фильтрованную категорию $HC(i)$.

Это функториально по $i$, поскольку любое отображение $i' \to i$ в $I$ индуцирует функтор $\operatorname{HCov}(i) \to \operatorname{HCov}(i')$, переводящий гомотопные отображения в гомотопные, так что мы снова имеем расслоение Гротендика $HC \to I$ со слоями $HC(i)$ и можем применить (1.3).

Доказательство. Возьмем объект $i \in I$, рассмотрим категорию $\operatorname{HCov}(I)$ с покрывающим классом $F_\Delta$ и выберем $F_\Delta$-оболочку $\widetilde{i} \in \operatorname{HCov}(I)$, которая существует в силу леммы 2.11, (ii). По определению $\widetilde{i}$ есть прообъект в $\operatorname{HCov}(i)$, представленный фильтрованной диаграммой $\gamma\colon J \to \operatorname{HCov}(i)^o$. Поскольку $\widetilde{i}$ $F_\Delta$-поднимаем, $i' \setminus J$ непустое и направленное для любого $i' \in \operatorname{HCov}(i)$, и тем самым то же верно для правых комма-слоев композиции $J \to \operatorname{HCov}(i)^o \to HC(i)^o$. Поскольку $J$ фильтровано, композиция кофинальна, и имеем

$$ \begin{equation} D^n(E)(i) \cong \operatorname{\mathsf{colim}}_{j \in J}H^n(E_i(\gamma(j))) \cong H^n(E(\sigma(i)(\widetilde{i}))), \end{equation} \tag{4.8} $$

где второй изоморфизм имеет место в силу того, что фильтрованные копределы в $\mathcal{E}$ точны. Более того, по лемме 3.17 и сопряженности, $\operatorname{\sf ev}_n(\widetilde{i})$ является $\sigma(i)^*F$-поднимаемым в $\operatorname{Cov}(i)$, и тем самым $\sigma(i)(\widetilde{i})$ является $F$-поднимаемым в $I$ по лемме 2.11, (i). Из (4.8) по лемме 2.8 теперь немедленно следует, что $D^n(E) \cong D^n(a(E))$, так что $D^n(-)$ пропускается через функтор ассоциированного пучка. Более того, если $n=0$, то эквивалентность Дольда–Кана дает декартов квадрат

$(4.9)$

Zoom inZoom out

для любого гиперпокрытия $i' \in \operatorname{HCov}(i)$, а если $E$ – пучок, то отображение $E_i(i'_0 \times_i i'_0) \to E_i(i'_1)$ инъективно, так что $E_i(i'_1)$ в (4.9) можно заменить на $E_i(i'_0 \times_i i'_0)$ и заключить из условия пучка, что $H^0(E_i(i')) \cong E(i)$ для любого $i' \in \operatorname{HCov}(i')$. Поэтому $D^0(E) \cong e(a(E))$. Наконец, в силу (4.8) набор $D^n(-)$ задает $\delta$-функтор на $\operatorname{Shv}(I,\mathcal{E})$ в смысле [10], а потому, если мы назовем точным пучок $E \in \operatorname{Shv}(I,\mathcal{E})$, для которого $H^n(E_i(i'))=0$ при $n \geqslant 1$ и любых $i \in I$, $i' \in \operatorname{HCov}(i)$, то достаточно доказать, что любой пучок $E$ допускает инъективное отображение $E \to E'$ в точный пучок $E'$. Для каждого объекта $i \in I$ выберем $F$-оболочку $\widetilde{i}$, доставляемую леммой 2.11, (ii), и рассмотрим произведение

$$ \begin{equation*} E'=\prod_{i \in I}\mathsf{Y}_{\widetilde{i}}(E(\widetilde{i})), \end{equation*} \notag $$

где $\mathsf{Y}_{\widetilde{i}}(E(\widetilde{i}))$, $i \in I$, – функтор из леммы 2.8. Тогда, с одной стороны, $E'$ точен по лемме 4.4, а с другой, отображения $\widetilde{i} \to i$ индуцируют отображение $a\colon E \to E'$, и, поскольку $E$ – пучок, все отображения $E(i) \to E(\widetilde{i})$ инъективны. Поэтому отображение $\operatorname{\sf ev}_i(a)$ инъективно для каждого $i \in I$ и само $a$ также инъективно. Предложение доказано.

5. Категории морфизмов

Теперь мы можем определить и изучить главный предмет статьи, а именно категорию морфизмов между абелевыми категориями. Пусть даны конечно представимые абелевы категории $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$. Напомним, что подкатегория $\mathcal{A}_c \subset \mathcal{A}$ компактных объектов в $\mathcal{A}$ предабелева в смысле определения 1.10, а класс $\operatorname{\sf Epi}$ эпиморфизмов есть покрывающий класс в противоположной категории $\mathcal{A}_c^o$.

В силу примера 2.1 категория $\operatorname{Mor}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ есть абелева категория Гротендика, и мы имеем тавтологический функтор действия

• (i) $E$ непрерывен и
• (ii) для любого инъективного морфизма $a\colon A \to B$ категории $\mathcal{A}_c$ морфизм $E(a)\colon E(A) \to E(B)$ инъективен в $\mathcal{B}$, и то же верно про морфизм
  $$ \begin{equation} E(B) \oplus_{E(A)} E(B) \to E(B \oplus_A B), \end{equation} \tag{5.2} $$
  где $B \oplus_A B$ обозначает коядро отображения $a \oplus (-a)\colon A \to B \oplus B$, и аналогично для $E(B) \oplus_{E(A)} E(B)$.

На уровне производных категорий обозначим через $\operatorname{DMor}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ производную категорию абелевой категории $\operatorname{Mor}(\mathcal{A},B)$, а через $\operatorname{DMor}^{\leqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \subset \operatorname{DMor}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ полную подкатегорию, образованную косвязными объектами. Имеем полное строгое вложение $R^{ \bullet } e\colon\operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \to \mathcal{D}^{\geqslant 0}(\mathcal{A}_c,\mathcal{B}) \cong \mathcal{D}^{\geqslant 0}_c(\mathcal{A},\mathcal{B})$, построенное в предложении 4.8. Напомним, что область значений этого вложения получается локализацией категории комплексов

По теореме 5.5 любой непрерывный функтор $E\colon\mathcal{A} \to C^{ \bullet }(\mathcal{B})$, представляющий объект $\operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B})$, продолжается до гомотопического непрерывного функтора $C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}) \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$. Дополним это утверждение, показав, что любой непрерывный гомотопический функтор возникает таким образом. А именно, напомним, что $C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}) \cong \operatorname{Ind}(C^{\geqslant 0}_b(\mathcal{A}_c))$ конечно представима, и обозначим через $\operatorname{\mathcal{D}\mathcal{H}}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \subset\mathcal{D}_c(C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}),\mathcal{B})$ полную подкатегорию, порожденную гомотопическими функторами. Тогда имеем естественную проекцию

6. Стабильность и продолжения

6.1. Стабильность

В предположениях теоремы 5.5 любой гомотопический функтор $E\colon C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}) \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$ по определению спускается до функтора

Для любого косимплициального объекта $c\colon\Delta \to \mathcal{C}$ в полной категории $\mathcal{C}$ и любого симплициального множества $X$ мы имеем косимплициальный объект $c(X)\colon\Delta \to \mathcal{C}$ с членами $c(X)([n])=c([n])(X([n]))$; эквивалентным образом, $c(X) \cong \pi_*\pi^*c$, где $\pi\colon\Delta X \to \Delta$ – забывающий функтор из категории элементов $X\colon\Delta^o \to \operatorname{Sets}$. Если у нас есть функтор $E\colon\mathcal{C} \to \mathcal{E}$ в другую полную категорию $\mathcal{E}$ и мы продолжаем его до функторов $E\colon\operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{C}) \to \operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal{E})$, $E\colon\operatorname{Fun}(\Delta X,\mathcal{C}) \to \operatorname{Fun}(\Delta X,\mathcal{E})$, применяя поточечно, то, рассуждая так же, как в лемме 4.6, видим, что тавтологический изоморфизм $E \circ \pi^* \cong \pi^* \circ E$ индуцирует по сопряженности отображение $E \circ \pi_* \to \pi_* \circ E$, и вместе они дают отображение

Стабильность в смысле определения 6.1 очевидным образом инвариантна относительно взятия конусов и квазиизоморфизмов, так что если $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ конечно представимы, а $E$ непрерывен, она зависит только от объекта в $\mathcal{D}_c(\mathcal{A},\mathcal{B})$, который представляет $E$. В частности, имеет смысл говорить, что объект в $\operatorname{DMor}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \subset \mathcal{D}_c(\mathcal{A},\mathcal{B})$ стабилен. Более того, поскольку категория $C^{\geqslant 0}(\mathcal{A})$ также абелева и конечно представима, стабильность определена и для объектов $\operatorname{\mathcal{D}\mathcal{H}}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \subset \mathcal{D}_c(C^{\geqslant 0}(\mathcal{A}),\mathcal{B})$.

6.2. Продолжения

Поскольку стабильность в смысле определения 6.1 замкнута относительно взятия конусов, стабильные объекты образуют полную триангулированную подкатегорию $\operatorname{DMor}_{\rm st}(\mathcal{A},\mathcal{B}) \subset \operatorname{DMor}(\mathcal{A},\mathcal{B})$. Стандартная $t$-структура на $\operatorname{DMor}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ индуцирует $t$-структуру на $\operatorname{DMor}(\mathcal{A},\mathcal{B})$, и по предложению 6.3, (ii), и примеру 5.2 ее сердцевина есть категория $\operatorname{Mor}_{\rm add}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ непрерывных точных слева функторов $\mathcal{A} \to \mathcal{B}$. Однако вся $\operatorname{DMor}_{\rm st}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ не является производной категорией своей сердцевины – она больше. В самом деле, предложение 6.3 накладывает условие аддитивности только на уровне производных категорий; не требуется, и в общем случае неверно, что объект $E$ с аддитивным $\mathcal{D}(E)$ можно представить комплексом аддитивных функторов. Аддитивны только объекты гомологий комплекса.

Самый простой способ продолжить (6.2) на всю производную категорию, или хотя бы на производную категорию $\mathcal{D}^+(-)$ комплексов, ограниченных снизу, – это использовать предложение 6.3, (v): для любого стабильного $E \in \operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ квазиизоморфизм (6.5) индуцирует функториальный изоморфизм

Для любой абелевой категории $\mathcal{E}$ обозначим через $C^{\geqslant 0}_{\geqslant 0}(\mathcal{E})$ категорию бикомплексов в $\mathcal{E}$, расположенных во втором квадранте (в [15; разд. 3.1] они появляются как “цепные-коцепные комплексы”). Будем говорить, что отображение $f\colon E^{ \bullet }_{ \bullet } \to F^{ \bullet }_{ \bullet }$ в $C^{\geqslant 0}_{\geqslant 0}(\mathcal{E})$ есть вертикальный квазиизоморфизм, если $f\colon E^{ \bullet }_n \to F^{ \bullet }_n$ – квазиизоморфизм для любого $n \geqslant 0$. Имеем функтор тотализации в смысле суммы $\operatorname{\sf Tot}\colon C^{\geqslant 0}_{\geqslant 0}(\mathcal{E}) \to C^{ \bullet }(\mathcal{E})$, заданный как $\operatorname{\sf Tot}(E^{ \bullet }_{ \bullet })^n= \bigoplus\limits_{i-j=n}E^i_j$. Он переводит вертикальные квазиизоморфизмы в квазиизоморфизмы и, как в примере 4.2, допускает правый сопряженный $\operatorname{\sf I}\colon C^{ \bullet }(\mathcal{E}) \to C^{\geqslant 0}_{\leqslant 0}(\mathcal{E})$, заданный как $\operatorname{\sf I}(E^{ \bullet })^i_j=E^{i-j} \oplus E^{i-j-1}$. Снова как в примере 4.2, имеем также полные вложения $\operatorname{\sf L}\colon C_{\geqslant 0}(\mathcal{E}) \to C^{\geqslant 0}_{\geqslant 0}(\mathcal{E})$, соответственно $\operatorname{\sf R}\colon C^{\geqslant 0}(\mathcal{E}) \to C^{\geqslant 0}_{\geqslant 0}(\mathcal{E})$, на полные подкатегории цепных-коцепных комплексов, сосредоточенных в когомологической, соответственно гомологической, степени $0$, и изоморфизм $\operatorname{\sf Tot} \circ \operatorname{\sf R} \cong \operatorname{\mathsf{id}}$ индуцирует вертикальный квазиизоморфизм $\operatorname{\sf R} \to \operatorname{\sf I} \circ\,\iota$, где $\iota\colon C^{\geqslant 0}(\mathcal{E}) \to C^{ \bullet }(\mathcal{E})$ – тавтологическое вложение. Эквивалентность Дольда–Кана (4.1) отождествляет $C^{\geqslant 0}_{\geqslant 0}(\mathcal{E})$ с категорией $\operatorname{Fun}(\Delta^o \times \Delta,\mathcal{E})$ симплициальных-косимплициальных объектов в $\mathcal{E}$, и морфизм является вертикальным квазиизоморфизмом тогда и только тогда, когда он становится квазиизоморфизмом после ограничения на $[n] \times \Delta \subset \Delta^o \times \Delta$ для любого $[n] \in \Delta^o$.

Пусть теперь дан стабильный объект в $\operatorname{DMor}^{\geqslant 0}(\mathcal{A},\mathcal{B})$, представленный непрерывным функтором $E\colon\mathcal{A} \to C^{\geqslant 0}(\mathcal{B})$. Рассмотрим его продолжение по Дольду $\operatorname{\sf D}(E)$, заданное в (5.3), и продолжим его дальше до функтора

Благодарности

Эта статья выросла из совместного проекта с М. Бутом и В. Ловен о деформациях абелевых категорий, и я признателен обоим коллегам за многочисленные плодотворные дискуссии. Я также весьма благодарен В. Вологодскому, А. Ефимову и анонимному рецензенту за многие полезные замечания и комментарии, а также за указание на несколько критических ошибок, имевшихся в первой версии статьи.

Список литературы
1.	M. Artin, A. Grothendieck, J. L. Verdier (eds.), Théorie de topos et cohomologie étale des schémas, Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie 1963–1964 (SGA 4). Dirigé par M. Artin, A. Grothendieck, J. L. Verdier. Avec la collaboration de N. Bourbaki, P. Deligne, B. Saint-Donat, v. 1, Lecture Notes in Math., 269, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1972, xix+525 pp.      ; v. 2, 270, iv+418 pp.      ; v. 3, 305, 1973, vi+640 pp.
2.	A. A. Beilinson, J. Bernstein, P. Deligne, “Faisceaux pervers”, Analysis and topology on singular spaces (Luminy, 1981), v. I, Astérisque, 100, Soc. Math. France, Paris, 1982, 5–171
3.	A. K. Bousfield, “Constructions of factorization systems in categories”, J. Pure Appl. Algebra, 9:2 (1976/77), 207–220
4.	И. Букур, А. Деляну, Введение в теорию категорий и функторов, Мир, М., 1972, 259 с.    ; пер. с англ.: I. Bucur, A. Deleanu, Introduction to the theory of categories and functors, Pure Appl. Math., XIX, Intersci. Publ. John Wiley & Sons, Ltd., London–New York–Sydney, 1968, x+224 с.
5.	P. Deligne, “Théorie de Hodge. III”, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., 44 (1974), 5–77
6.	A. Dold, “Homology of symmetric products and other functors of complexes”, Ann. of Math. (2), 68 (1958), 54–80
7.	W. G. Dwyer, P. S. Hirschhorn, D. M. Kan, J. H. Smith, Homotopy limit functors on model categories and homotopical categories, Math. Surveys Monogr., 113, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004, viii+181 pp.
8.	W. G. Dwyer, J. Spaliński, “Homotopy theories and model categories”, Handbook of algebraic topology, North-Holland, Amsterdam, 1995, 73–126
9.	С. И. Гельфанд, Ю. И. Манин, Методы гомологической алгебры, т. I, Наука, М., 1988, 416 с.    ; англ. пер.: S. I. Gelfand, Yu. I. Manin, Methods of homological algebra, Springer-Verlag, Berlin, 1996, xviii+372 с.
10.	А. Гротендик, О некоторых вопросах гомологической алгебры, Библиотека сборника “Математика”, ИЛ, М., 1961, 175 с.  ; пер. с англ.: A. Grothendieck, “Sur quelques points d'algèbre homologique”, Tôhoku Math. J. (2), 9 (1957), 119–221
11.	A. Grothendieck, “Catégories fibrées et descente”, Revêtements étales et groupe fondamental, Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1960–1961 (SGA 1), Lecture Notes in Math., 224, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1971, Exp. VI, 145–194
12.	M. Hovey, Model categories, Math. Surveys Monogr., 63, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, xii+209 pp.
13.	M. Jibladze, T. Pirashvili, “Cohomology of algebraic theories”, J. Algebra, 137:2 (1991), 253–296
14.	П. Т. Джонстон, Теория топосов, Наука, М., 1986, 439 с.  ; пер. с англ.: P. T. Johnstone, Topos theory, London Math. Soc. Monogr., 10, Academic Press, London–New York, 1977, xxiii+367 с.
15.	D. Kaledin, “Trace theories and localization”, Stacks and categories in geometry, topology, and algebra, Contemp. Math., 643, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, 227–262
16.	D. Kaledin, “How to glue derived categories”, Bull. Math. Sci., 8:3 (2018), 477–602
17.	Д. Б. Каледин, “Сопряженность в 2-категориях”, УМН, 75:5(455) (2020), 101–152        ; англ. пер.: D. V. Kaledin, “Adjunction in 2-categories”, Russian Math. Surveys, 75:5 (2020), 883–927
18.	D. Kaledin, W. Lowen, “Cohomology of exact categories and (non-)additive sheaves”, Adv. Math., 272 (2015), 652–698
19.	M. Kashiwara, P. Schapira, Categories and sheaves, Grundlehren Math. Wiss., 332, Springer-Verlag, Berlin, 2006, x+497 pp.
20.	B. Keller, “On differential graded categories”, International congress of mathematicians, v. II, Eur. Math. Soc., Zürich, 2006, 151–190
21.	M. Kontsevich, Y. Soibelman, “Notes on $A_\infty$-algebras, $A_\infty$-categories and non-commutative geometry”, Homological mirror symmetry, Lecture Notes in Phys., 757, Springer, Berlin, 2009, 153–219      ; 2006, 70 pp., arXiv: math.RA/0606241
22.	W. Lowen, M. Van den Bergh, “Deformation theory of abelian categories”, Trans. Amer. Math. Soc., 358:12 (2006), 5441–5483
23.	D. G. Quillen, Homotopical algebra, Lecture Notes in Math., 43, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1967, iv+156 pp.
24.	D. Quillen, “Higher algebraic K-theory. I”, Algebraic K-theory (Battelle Memorial Inst., Seattle, WA, 1972), v. I, Lecture Notes in Math., 341, Higher K-theories, Springer, Berlin, 1973, 85–147
25.	D. Schäppi, “Ind-abelian categories and quasi-coherent sheaves”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 157:3 (2014), 391–423
26.	D. Tamarkin, “What do dg-categories form?”, Compos. Math., 143:5 (2007), 1335–1358
27.	J. L. Verdier, “Topologies et faisceaux”, Exp. II, Théorie de topos et cohomologie étale des schémas, Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie 1963–1964 (SGA 4), v. 1, Lecture Notes in Math., 269, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1972, 219–263
28.	J.-L. Verdier, Des catégories dérivées des catégories abéliennes, With a preface by L. Illusie, edited and with a note by G. Maltsiniotis, Astérisque, 239, Soc. Math. France, Paris, 1996, xii+253 pp.
29.	Ch. A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge Stud. Adv. Math., 38, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1994, xiv+450 pp.

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Kal22}
\by Д.~Б.~Каледин
\paper Что образуют абелевы категории?
\jour УМН
\yr 2022
\vol 77
\issue 1(463)
\pages 3--54
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10044}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10044}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461384}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1495.18011}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022RuMaS..77....1K}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2022
\vol 77
\issue 1
\pages 1--45
\crossref{https://doi.org/10.1070/RM10044}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000790527400001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85130524191}