. THÉORIE DES GROUPES .

Les groupes de Lie réçls à, quatre dimensions,

par LORENZO CALABI (*). ' •

Généralités

Lá théorie dés extensions de groupés topologiques permet de construire des groupes à n dimensions en partant dégroupés à un nombre moindre de dimensions : la question se pose s'il est pos¬ sible de déterminer effectivèment tous les groupes de Lie non simples à n diménsions en connaissant ceux de dimension m < n.

Les groupes de Lie simples ét simplement connexes d’une di¬ mension donnée étant en nombre fini, il en sera de même dés groupes semi-sirrples simplement connexes, car ils sont des pioduits de ceux-là : on pourra donc les' construire aisément.

Les groupes de Lie simplement; connexes qui ne sont ni semi-simples ni résolubles > sont dès extensions inessentiellôs d'un groüpe soluble par un produit de groupes simples : leur détermina¬ tion dépend donc de la possibilité d’établir la liste dé ces exten¬ sions. Nous verrons que c’est possible pour la dimension 4.

Enfin les. groupes de Lie résolubles simplement connexes à -n dimensions ont une structure d’extension inessentielle d’un groupe résoluble à n — 1 dimensions par R. • ,

Sx F est un groupe de Lie connexe, notons par <iy4*(F) (resp.

* (F)) le groupe de Lie opposé au groupe des automorphismes (resp. des automorphismes intérieurs) de F ; B étant un groupe topologique, il y . a alors correspondance biunivoque-(2) entre