یک روش ترکیبی جدید برای تقریب مرتبه کاهشی دوخطی معادله برگرز مبتنی بر برش ‌متعادل و الگوریتم تکراری کریلوف نسبی

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 دانشجوی دکتری، گروه مهندسی برق-کنترل، دانشکده فنی و مهندسی، دانشگاه بین المللی امام خمینی (ره)، قزوین، ایران

2 استاد، گروه مهندسی برق-کنترل، دانشکده فنی و مهندسی، دانشگاه بین المللی امام خمینی (ره)، قزوین، ایران

چکیده

این مقاله روشی برای تقریب دوخطی مرتبه کاهشی معادله برگرز توسط روش برش متعادل و الگوریتم تکراری زیرفضای کریلوف نسبی دوخطی پیشنهاد می-کند. با استفاده از شبیه سازی مونت کارلو مشاهده می­شود که با انتخاب تصادفی حدس اولیه، شانس همگرایی الگوریتم تکراری زیرفضای کریلوف نسبی برای کاهش مرتبه مدل دوخطی معادله برگرز فقط  41٪ است. بنابراین در روش پیشنهادی ابتدا مرتبه مدل دوخطی کاهش یافته توسط مفهوم مقادیر تکین هانکل و با کمینه سازی شاخص انتگرال مربع خطا تعیین می‌شود. سپس یک حدس اولیه از سیستم دوخطی کاهش مرتبه یافته توسط دو رهیافت برش متعادل دوخطی و برش متعادل خطی بدست می‌آید می‌آید تا همگرایی الگوریتم تکراری زیرفضای کریلوف نسبی دوخطی را تضمین نماید. روش برش متعادل دوخطی یک حدس اولیه مناسب پایدار را برای تضمین همگرایی الگوریتم ارائه می‌کند ولی نیاز به حل معادلات لیاپانوف تعمیم یافته، حجم محاسبات زیادی را می­طلبد. با استفاده از روش برش متعادل خطی برای تعیین حدس اولیه به دلیل نیاز به حل معادله لیاپانوف حجم محاسبات کاهش می­یابد. برای کاهش بیشتر حجم محاسبات، عدد نسبی جایگزین مقادیر ویژه می‌شود. در پایان، عملکرد روش پیشنهادی با چند روش کاهش مرتبه کلاسیک مقایسه می‌شود.

کلیدواژه‌ها

موضوعات

مراجع

  • Bateman H., Some recent researches on the motion of fluids. Monthly Weather Review, Vol. 43, No. 4, pp. 163–170, 1915.
  • Burgers J. M., A mathematical model illustrating the theory of turbulence, Advances in Applied Mechanics, Vol. 1, pp. 171–199, 1948.
  • San O., Analysis of low-pass filters for approximate deconvolution closure modelling in one-dimensional decaying Burgers turbulence, International Journal of Computational Fluid Dynamics, Vol. 30, No. 1, pp. 20-37, 2016.
  • Rashidi M. M, Erfani E., New analytical method for solving Burgers’ and nonlinear heat transfer equations and comparison with HAM, Computer Physics Communications, Vol. 180, pp. 1539–1544, 2009.
  • Yu L, Zhou B., The Burgers Equation for a New Continuum Model with Consideration of Driver’s Forecast Effect, Journal of Applied Mathematics, Vol. 2014, pp. 1-7, 2014.
  • Kuo C. K, Lee S. Y., A New Exact Solution of Burgers’ Equation with Linearized Solution, Mathematical Problems in Engineering, Vol. 2015, Article ID 414808, 7 pages, 2015.
  • Binatari N., A comparison between Cole-Hopf Tranformation and Homotopy Perturbation Method for Viscous Burger Equation in Traffic Flow, Journal of Physics: Conference Series, The 2nd International Seminar on Innovation in Mathematics and Mathemathics Education, Yogyakarta, Indonesia, 2018.
  • EL-Kalaawy O. H., Variational principle, conservation laws and exact solutions for dust ion acoustic shock waves modeling modified Burger equation, Computers & Mathematics with Applications, Vol. 72, No. 4, pp. 1031-1041, 2016.
  • محمودی ع. رفعی ر., اثر هندسه­ی نازل بر عملکرد آن در حالت خارج از طرح در جریان دارای شوک و جدایش لایه مرزی. مهندسی مکانیک دانشگاه تبریز. د. 51، ش. 2، ص 205-213، 1400.
  • Rahmani B, Moosaie A, Mansourian Tabaei A., Distributed control of nonlinear Burger’s equation, Modares Mechanical Engineering, Vol. 15, No. 4, pp. 214-220, 2015.
  • حقیقی ا. ر. احمدی شالی ج. امامعلی پور ح. اصغری ن., مقایسه روش‌های عددی تجزیه آدومیان و کرانک- نیکلسون بهبود یافته برای معادله برگرز دوبعدی. مهندسی مکانیک دانشگاه تبریز. د. 49، ش. 2، ص 61-67، 1398.
  • Singh B. K, Gupta M., A new efficient fourth order collocation scheme for solving Burgers’ equation, Applied Mathematics and Computation, Vol. 399, 126011, 2021.
  • Yang X, Ge Y, Zhang L., A class of high-order compact difference schemes for solving the Burgers’ equations. Applied Mathematics and Computation, Vol. 358, pp. 394-417, 2019.
  • Breiten T, Damm T., Krylov subspace methods for model order reduction of bilinear control systems, Systems & Control Letters, 59, pp. 443-450, 2010.
  • Al-Baiyat S. A, Bettayeb M, Al-Saggaf U. M., New model reduction scheme for bilinear systems, International Journal of Systems Science, Vol. 25, pp. 631–1642, 1994.
  • Redmann M, Duff I. P., Full state approximation by Galerkin projection reduced order models for stochastic and bilinear systems, Applied Mathematics and Computation, Vol. 420, 126561, 2022.
  • Benner P, Goyal P, Gugercin S., H2-quasi-optimal model order reduction for quadratic-bilinear control systems, SIAM Journal on Matrix Analysis and Application, Vol. 39, No. 2, pp. 983–1032, 2019.
  • Ahmad M. I, Baur U, Benner P, Implicit volterra series interpolation for model reduction of bilinear systems, Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 316, pp. 15-28, 2017.
  • Goyal PK, Ahmad MI, Benner P. Model reduction of quadratic-bilinear descriptor systems via carleman bilinearization, European Control Conference, Linz, Austria, pp. 1177-1182, 2015.
  • Nguyen V. B, Buffoni M, Willcox K, Khoo B. C., Model reduction for reacting flow applications, International Journal of Computational Fluid Dynamics, Vol. 28, No. 3-4, pp. 91-105, 2014.
  • Hsu C. H, Desai U. B, Crawley C. A., Realization algorithms and approximation methods of bilinear systems, 22nd IEEE Conf. Decision. Control, San Antonio, Texas, pp. 783-788, 1983.
  • Duff I. P, Goyal P, Benner P., Balanced truncation for a special class of bilinear descriptor systems, IEEE Control Systems Letters, Vol. 3, No. 3, pp. 535-540, 2019.
  • Al-Baiyat S, Farag A. S, Bettayeb M., Transient approximation of a bilinear two-area Interconnected Power System, Electric Power Systems Research, Vol. 26, No. 1, pp. 11–19, 1993.
  • Zhang L. Q, Lam J, Huang B, Yang G. H., On gramians and balanced truncation of discrete-time bilinear systems, International Journal of Control, Vol. 76, No. 4, pp. 414–427, 2003.
  • Philips J. R., Projection frameworks for model reduction of weakly nonlinear systems, Proceedings 37th Design Automation Conference, Los Angeles, California, USA, pp. 184-189, 2000.
  • Lin Y, Bao L, Wei Y., A model-order reduction method based on Krylov subspace for MIMO bilinear dynamical systems, Journal of Applied Mathematics and Computing, Vol. 25, pp. 293-304, 2007.
  • Lin Y, Bao L, Wei Y., Order reduction of bilinear MIMO dynamical systems using new block krylov subspace, Computers & Mathematics with Applications, Vol. 58, pp. 1093-1102, 2009.
  • Bai Z, Skoogh D., A projection method for model reduction of bilinear dynamical systems, Linear Algebra and its Applications, Vol. 415, pp. 406-425, 2006.
  • Feng L, Benner P., A note on projection techniques for model order reduction of bilinear systems, International Conference on Numerical Analysis and Applied Mathematics, Vol. 936, No. 1, pp. 208-211, 2007.
  • Benner P, Breiten T., Two-sided moment matching methods for nonlinear model reduction, SIAM Journal on Scientific Computing, Vol. 37, No. 2, pp. 239-260, 2015.
  • Flagg G, Gugercin S., Multipoint volterra series interpolation and H2 optimal model reduction of bilinear systems, SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol. 36, No. 2, pp. 549-579, 2015.
  • Choudhary R, Ahuja K., Stability analysis of Bilinear Iterative Rational Krylov Algorithm. Linear Algebra and its Applications, Vol. 538, pp. 56-88, 2018.
  • Choudhary R, Ahuja K., Inexact Linear Solves in Model Reduction of Bilinear Dynamical Systems, IEEE Access. Vol. 7, pp. 72297-72307, 2019.
  • Zhang L, Lam J., On H2 model reduction of bilinear systems, Automatica. Vol. 38, No. 2, pp. 205-216, 2002.
  • Benner P, Breiten T., Interpolation-based H2 model reduction of bilinear control systems, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Vol. 33, No. 3, pp. 859-885, 2012.
  • Xu K. L, Jiang Y.L., An Approach to H2,ω model reduction on finite interval for bilinear systems, Journal of Franklin Institute, Vol. 354, No. 16, pp. 7429-7443, 2017.
  • Benner P, Goyal P., Balanced truncation model order reduction for quadratic-bilinear control systems, Technical Report. https://arxiv.org/pdf/1705.00160.pdf April 2017.
  • Penzl, T., Numerical solution of generalized Lyapunov equations, Advances in Computational Mathematics, Vol. 8, pp. 33–48, 1998.
  • Yang P, Jiang Y. L, Xu K. L., A trust-region method for H2 model reduction of bilinear systems on the Stiefel manifold, Journal of the Franklin Institute, Vol. 356, No. 4, pp. 2258-2273, 2016.
  • Choudhary R, Ahuja K., Stability analysis of Bilinear Iterative Rational Krylov Algorithm, Linear Algebra and its Applications, Vol. 538, pp. 56-88, 2018.
  • Flagg G. M., Interpolation methods for the model reduction of bilinear systems, Ph.D. thesis, Virginia Polytechnic Institute and State University, Blacksburg, VA, USA 2012.
  • Goyal P., System-theoretic Model Order Reduction for Bilinear and Quadratic-bilinear Systems, Doctoral thesis, Otto von Guericke University Library, Magdeburg, Germany, 2018.
  • Kerschen K, Golinval J, Vakakis A. F, Bergman L. A., The method of proper orthogonal decomposition for dynamical characterization and order reduction of mechanical systems: An Overview, Nonlinear Dynamic, Vol. 41, pp. 147–169, 2005.
  • Bruns, A., Benner, P., Parametric model order reduction of thermal models using the bilinear interpolatory rational Krylov algorithm, Mathematical and Computer Modelling of Dynamical Systems, Vol. 21, No. 2, pp. 103-129, 2015.
  • Horne, B.G., Lower bounds for the spectral radius of a matrix, Linear Algebra Appl., Vol. 263, pp. 261-273, 1997.

فایل ها

هم رسانی

ارجاع به این مقاله

آمار