Russian Federation
It is known that for a massless spin 2 field according to Pauli- Fierz theory there exists a gauge symmetry which extends the gauge symmetry in Maxwell electrodynamics. The gauge states for spin 2 field are determined by an arbitrary 4-vector field. These states do not contribute into observable physical quantities like an energy-momentum tensor. This leads to the task of finding and eliminating the gauge solutions from the complete set of solutions of the spin 2 field. Therefore, taking in mind the case of spherical symmetry, in the present paper we will construct the complete set of spherical solutions for Duffin-Kemmer-Petiau massles equation. The solving of this task is the goal of the present paper.
spin 1, spin 2, Pauli–Fierz theory, massless particle, gauge degrees of freedom, spherical symmetry, exact solutions
Введение
Теория массивного и безмассового полей со спином 2,
начиная с работ В. Паули и М. Фирца [1, 2], всегда присут-
ствовала в литературе. Большая часть исследований вы-
полнена в рамках формализма уравнений второго поряд-
ка Паули-Фирца. Первое систематическое изучение тео-
рии частицы со спином 2 в рамках теории релятивистских
волновых уравнений первого порядка выполнено Ф.И. Фе-
доровым [3]. Оказалось, что частица со спином 2 требует
для своего описания 30-компонентной волновой функции.
Позднее это описание было заново переоткрыто и допол-
нительно исследовано в работе Т. Редже [4].
В формализме уравнений первого порядка для описа-
ния поля используется набор из скаляра, 4-вектора, сим-
метричного тензора второго ранга и тензора третьего ран-
га, антисимметричного по одной паре индексов. В его ос-
нове лежит лагранжев формализм, при этом все свойства
симметрии тензоров вместе с условиями связи на них со-
держатся в исходном лагранжиане. Описания массивной и
60
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
безмассовой частиц существенно различаются. В частно-
сти, в безмассовом случае существует специфическая ка-
либровочная симметрия, которая обобщает калибровочную
симметрию в электродинамике Максвелла. Она была уста-
новлена еще Паули и Фирцем [1, 2] (см. также недавние ра-
боты [5–8]).
Основные калибровочные скалярная и тензорная ком-
поненты, входящие в описание безмассового поля со
спином 2, определяются произвольным векторным полем
Λα(x) следующими формулами [1, 2]:
¯Φ
= ▽αΛα, ¯Φαβ = ▽αΛβ+▽βΛα−1
2
gαβ(x)▽σΛσ.
Приводим их сразу в общековариантной форме. Калибро-
вочные степени свободы не должны давать вклада в на-
блюдаемые величины типа тензора энергии-импульса по-
ля. Это приводит к необходимости выделять в безмассовом
случае калибровочные решения, оставляя только физиче-
ски наблюдаемые некалибровочные.
В сферически симметричном случае описание калиб-
ровочных степеней свободы для поля со спином 2 требу-
ет иметь в явном виде сферически симметричные решения
для безмассового поля со спином 1. Построение подобных
независимых решений уравнения для безмассовой части-
цы со спином 1 является задачей данной работы.
1. Безмассовая векторная частица, сфериче-
ские волны
Напомним подстановку для волновой функции в без-
массовом уравнении Даффина-Кеммера для векторной ча-
стицы в базисе сферической тетрады [9, 10]:
xα = (t, r, θ, ϕ), dS2 = dt2 − dr2 − r2dθ2 − r2dϕ2,
eα
(0) = (1, 0, 0, 0), eα
(1) = (0, 0,
1
r2 , 0),
eα
(2) = (1, 0, 0,
1
r sin θ
), eα
(3) = (0, 1, 0, 0),
¯H
= e
−imth(r)D0,
¯H
1 =
= e
−imt (h0(r)D0, h1(r)D−1, h2(r)D0, h3(r)D1, )t ,
¯H
2 = e
−imt (E1(r)D−1,E2(r)D0,E3(r)D1,
B1(r)D1,B2(r)D0,B3(r)D−1)t , (1)
где Dα = Dj−
m,σ(ϕ, θ, 0) — функции Вигнера, j =
0, 1, 2, . . . , m = −j,−j + 1, . . . , j − 1, j. После раз-
деления переменных в [10, 11] была получена система ра-
диальных уравнений:
−E
′
2
− 2
r
E2 − a
r
√
2
(E1 + E3) = 0,
imE1 − B
′
3
− 1
r
B3 +
a
r
√
2
B2 = 0,
imE2 − a
r
√
2
(B1 − B3) = 0,
imE3 + B
′
1 +
1
r
B1 − a
r
√
2
B2 = 0,
−imh1 +
a
r
√
2
h0 = −E1, −imh2 − h
′
0 = −E2,
−imh3 +
a
r
√
2
h0 = −E3,
h
′
3 +
1
r
h3 +
a
r
√
2
h2 = −B1,
− a
r
√
2
h1 +
a
r
√
2
h3 = −B2,
−h
′
1
− 1
r
h1 − 0 = 0, = −B3, (2)
где a =
p
j(j + 1) и штрих обозначает производную по r.
Известно, что на решениях можно диагонализировать опе-
ратор пространственной инверсии [10]. В результате возни-
кают два типа состояний с соответствующими ограничени-
ями на радиальные функции
P = (−1)j+1, h0 = 0, h2 = 0, h3 = −h1,
E3 = −E1, E2 = 0, B3 = B1;
P = (−1)j , h3 = h1, B3 = −B1,
B2 = 0, E3 = E1. (3)
Отметим, что данная система уравнений должна до-
пускать решения калибровочного типа, т.е. когда Ei =
0, Bi = 0. При этих ограничениях система (2) принимает
вид
−imh1 +
a
r
√
2
h0 = 0, −imh2 − h
′
0 = 0,
−imh3 +
a
r
√
2
h0 = 0, h
′
3 +
1
r
h3 +
a
r
√
2
h2 = 0,
− a
r
√
2
h1 +
a
r
√
2
h3 = 0, −h
′
1
− 1
r
h1 − a
r
√
2
h2 = 0.
(4)
Убеждаемся, что при четности P = (−1)j+1 уравнения
для чисто калибровочных решений имеют только триви-
альное нулевое решение: h0 = h1 = h2 = h3 = 0. В
случае другой четности P = (−1)j уравнения для калиб-
ровочных решений примут вид
P = (−1)j , −imh1 +
a
r
√
2
h0 = 0,
−imh2 − h
′
0 = 0, h
′
1 +
1
r
h1 +
a
r
√
2
h2 = 0. (5)
С помощью первого и второго уравнений можно исключить
переменные h1 и h2. В результате приходим к тождеству
h1 = −√ia
2rm
h0, h2 =
i
rm
h
′
0, − d
dr
√ia
2rm
h0−
−1
r
√ia
2rm
h0 +
1
r
√ia
2m
d
dr
h0 = 0 ⇒ 0 ≡ 0.
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 61
Таким образом, функция h0(r) может быть любой h0(r) =
Φ(r). При этом сопутствующие функции вычисляются по
формулам
h3(r) = h1(r) = −√ia
2rm
Φ(r), h2(r) =
i
m
d
dr
Φ(r).
(6)
Данное свойство указывает на калибровочный характер
решений.
Возвратимся к общей системе уравнений (4) и учтем
ограничения по четности. В случае P = (−1)j+1 имеем
четыре уравнения
√aB2
2r
− B
′
1
− B1
r
+ imE1 = 0, E1 = imh1,
B1 = h
′
1 +
h1
r
, B2 =
√
2a
r
h1. (7)
Исключая из первого уравнения три переменные, находим
d2
dr2 +
2
r
d
dr
+ m2 − a2
r2
h1 = 0. (8)
Подстановкой h1(r) = r−1/2F(r) уравнение можно при-
вести к бесселеву виду
d2
dr2 +
1
r
d
dr
+ m2 − (j + 1/2)2
r2
F(r) = 0,
z = mr, h1(r) =
√1
z
Jj+1/2(z). (9)
Будем обозначать это решение символом 1:
1) P = (−1)j+1, h0 = h2 = 0,
h3 = −h1 = −√1
z
Jj+1/2(z). (10)
В случае четности P = (−1)j получаем шесть урав-
нений:
E
′
2 +
√
2
a
r
E1 + 2
1
r
E2 = 0, B
′
1 +
B1
r
+ imE1 = 0,
−
√
2aB1
r
+ imE2 = 0, E1 = −√ah0
2r
+ imh1,
E2 = h
′
0 + imh2, B1 = − ah2 √
2r
− h
′
1
− h1
r
. (11)
Исключая переменныеE1,E2 иB1, получаем три уравне-
ния для векторных компонент:
d2
dr2 +
2
r
d
dr
− a2
r2
h0 + im
√
2a
r
h1+
+im
d
dr
+
1
r
h2 = 0,
im
√
2a
2r
h0 +
d2
dr2 +
2
r
d
dr
+ m2
h1+
+
√
2a
2r
d
dr
h2 = 0,
im
d
dr
h0 +
√
2a
2r
d
dr
+
1
r
h1+
+
a2
r2
− m2
h2 = 0. (12)
С помощью третьего уравнения можно исключить пе-
ременную h2
h2 =
imr2
m2r2 − a2
d
dr
h0 +
√
2ar
m2r2 − a2
d
dr
+
1
r
h1.
(13)
В результате первое и второе уравнения системы (12) при-
водят к одному и тому же уравнению, в которое входят пе-
ременные h0, h1
d2h1
dr2 +
4
r
− m
mr + a
− m
mr − a
dh1
dr
+
+
m2 +
2 − a2
r2 +
m2
a(mr + a)
− m2
a(mr − a)
h1+
+
√ia
2mr
d2h0
dr2 +
"
ia
√
2
mr2 +
√ im
2(mr + a)
−
−√ im
2(mr − a)
dh0
dr
+
√ima
2r
− ia3
√
2mr3
h0 = 0.
(14)
Его можно решать, накладывая два условия:
либо h0 = 0 и
d2h1
dr2 +
4
r
− m
mr + a
− m
mr − a
dh1
dr
+
+
m2 +
2 − a2
r2 +
m2
a(mr + a)
− m2
a(mr − a)
h1 = 0,
(15)
либо h1 = 0 и
√ia
2mr
d2h0
dr2 +
"
ia
√
2
mr2 +
√ im
2(mr + a)
−
−√ im
2(mr − a)
dh0
dr
+
√ima
2r
− ia3
√
2mr3
h0 = 0.
(16)
Эти уравнения принадлежат классу общего уравнения Гой-
на, т.е. имеют четыре регулярные особые точки.
Вернемся к системе (12) и будем искать такое преобра-
зование переменных, которое избавляет уравнения от мни-
мой единицы и квадратных корней. Существуют две воз-
можности:
I. h0 =
p
2(j + 1)H0, h1 = i
p
jH1,
h2 = i
p
2(j + 1)H2,
d2
dr2 +
2
r
d
dr
− j
r2
H0 − m
j
r
H1−
−
d
dr
+
2
r
H2 = 0,
62
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
m
j + 1
r
H0 +
d2
dr2 +
2
r
d
dr
+ m2
H1+
+
j + 1
r
d
dr
H2 = 0,
m
d
dr
H0 +
j
r
d
dr
+
1
r
H1+
+
j(j + 1)
r2
− m2
H2 = 0; (17)
II. h0 = i
p
2jH0, h1 =
p
j + 1H1,
h2 =
p
2jH2,
d2
dr2 +
2
r
d
dr
− j(j + 1)
r2
H0 + m
j + 1
r
H1+
+m
d
dr
+
2
r
H2 = 0,
−m
j
r
H0 +
d2
dr2 +
2
r
d
dr
+ m2
H1+
+
j
r
d
dr
H2 = 0,
−m
d
dr
H0 +
j + 1
r
d
dr
+
1
r
H1+
+
j(j + 1)
r2
− m2
H2 = 0. (18)
Рассмотрим случай I. Подставив выражения для H2 в
первое и второе уравнения из (12), приходим к уравнению
следующего вида
d2H1
dr2 +
4
r
− 2m2r
m2r2 − j(j + 1)
dH1
dr
+
+
m2 +
2 − j(j + 1)
r2
− 2m2r
m2r2 − j(j + 1)
H1+
+(j + 1)
1
mr
d2H0
dr2 +
2
mr2
− 2m
m2r2 − j(j + 1)
×
×dH0
dr
+
m
r
− j(j + 1)
r3m
H0
= 0. (19)
Данное уравнение можно, например, решать так:
пусть H0(r) = 0, тогда
d2H1
dr2 +
4
r
− 2m2r
m2r2 − j(j + 1)
dH1
dr
+
+
m2 +
2 − j(j + 1)
r2
− 2m2r
m2r2 − j(j + 1)
H1 = 0;
(20)
пусть H1(r) = 0, тогда
d2H0
dr2 +
2
r
− 2m2r
m2r2 − j(j + 1)
dH0
dr
+
+
m2 − j(j + 1)
r2
H0 = 0. (21)
Оба уравнения принадлежат классу общего уравнения Гой-
на.
Аналогично рассматриваем случай II. В результате
приходим к уравнению (19), в котором множитель (j + 1)
перед функциейH0 заменен на j. Естественно, что его ре-
шения совпадают с (20) и (21).
Ниже будет изложен другой способ анализа, приводя-
щий к возможности построить решения в функциях Бессе-
ля. Для этого нужно будет наложить условие Лоренца.
2. Условие Лоренца
Условие Лоренца должно быть пересчитано к тетрад-
ному представлению
∇αΨα = 0, ∇αeα(
a)Ψα = 0,
(∇αeα(
a))Ψα + eα(
a)∂αΨα = 0. (22)
Здесь предполагается использование декартового базиса.
С учетом известного соотношения
∇αeα (a) =
√1
−g
∂
∂xα
√
−geα(
a)
находим
∇αeα
(0) = 0, ∇αeα
(1) =
cos θ
r sin θ
,
∇αeα
(2) = 0, ∇αeα(
a) =
2
r
.
Следовательно, условие Лоренца примет вид
∂tΦ0 − 1
r
∂θ +
cos θ
sin θ
Ψ1−
− 1
r sin θ
∂ϕΨ2 −
∂r +
2
r
Φ3 = 0. (23)
При разделении переменных в уравнении Даффина-
Кеммера использовался циклический базис. Нужное пре-
образование над 4-векторной составляющей ¯H1 = UH1
задается следующей матрицей
U =
0
BB@
1 0 0 0
0 −√1
2
√i
2
0
0 0 0 1
0 √1
2
√i
2
0
1
CCA
,
U
−1 =
0
BB@
1 0 0 0
0 −√1
2
0 √1
2
0 −√i
2
0 −√i
2
0 0 1 0
1
CCA
, (24)
т. е. функции из (23) выражаются через циклические ком-
поненты так:
Ψ0 = ¯Ψ0, Ψ1 = − 1 √
2
¯Ψ
1 +
√1
2
¯Ψ
3,
Ψ2 = −√i
2
¯Ψ
1 − √i
2
¯Ψ
3, Ψ3 = ¯Ψ3. (25)
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 63
При этом условие Лоренца (23) примет вид
∂t¯Ψ0 − 1
r
∂θ +
cos θ
sin θ
−√1
2
¯Ψ
1 +
√1
2
¯Ψ
3
−
− 1
r sin θ
∂ϕ
−√i
2
¯Ψ
1 − √i
2
¯Ψ
3
−
∂r +
2
r
¯Ψ
2 = 0.
(26)
Подстановка для векторной части волновой функции в
циклическом базисе имеет вид
¯H
1 = e
−imt
0
B@
h0(r)D0
h1(r)D−1
h2(r)D0
h3(r)D1
1
CA
=
0
B@
¯Ψ
0
¯Ψ
1
¯Ψ
2
¯Ψ
3
1
CA
. (27)
Для функций ВигнераD выполняются рекуррентные соот-
ношения [11]:
∂ϕDσ = imDσ, ∂θD0 =
a
2
D−1 − a
2
D1,
−m
sin θ
D0 = −a
2
D−1 − a
2
D1, ∂θD1 =
a
2
D0 − b
2
D2,
−m − cos θ
sin θ
D1 = −a
2
D0 − b
2
D2,
∂θD−1 =
b
2
D−2 − b
2
D2,
−m − cos θ
sin θ
D−1 = −b
2
D−2 − a
2
D0, (28)
где a =
p
j(j + 1), b =
p
(j − 1)(j + 2). В связи с
этим из (26) получаем
−imh0D0 +
√1
2r
∂θD−1 +
−m + cos θ
sin θ
D−1
h1+
+
√1
2r
−∂θD1 +
−m − cos θ
sin θ
D1
h3−
−
∂r +
2
r
h2D0 = 0.
Учтем в последнем соотношении рекуррентные формулы из
(28)
−imh0D0 +
√1
2r
b
2
D−2 − a
2
D0
+
+
−b
2
D−2 − a
2
D0
h1+
√1
2r
−
a
2
D0 − b
2
D2
+
+
−a
2
D0 − b
2
D2
h3 −
∂r +
2
r
h2D0 = 0,
откуда после приведения подобных находим
−imh0D0 − √a
2r
h1D0 − √a
2r
h3D0−
−
∂r +
2
r
h2D0 = 0.
Таким образом, приходим к радиальному условию Лоренца
−imh0 − √a
2r
h1 − √a
2r
h3 −
d
dr
+
2
r
h2 = 0.
Учет ограничения по четности дает
P = (−1)j+1, h0 = h2 = 0, h3 = −h1, (29)
что приводит к тождеству 0 ≡ 0. Для P = (−1)j и
h3 = h1 уравнение принимает вид
−imh0 − √2a
2r
h1 −
d
dr
+
2
r
h2 = 0. (30)
Условие (30) позволяет из системы трех уравнений (12)
исключить переменную h0
−imh0 =
√2a
2r
h1 +
d
dr
+
2
dr
h2.
Рассматриваем по отдельности подстановки I (17) и II (18).
Уравнения (17) дополняются условием Лоренца
−mH0 =
j
r
H1 +
d
dr
+
2
r
H2, (31)
а для уравнений (18) условие Лоренца имеет вид
mH0 =
j + 1
r
H1 +
d
dr
+
2
r
H2. (32)
В случае I первое и второе уравнения системы (17) по-
сле исключения функции H2 с помощью третьего уравне-
ния приводят к одному и тому же уравнению, одно из них
можем отбросить, например первое. Из условия Лоренца
(31) выразим переменную H0 и подставим в третье урав-
нение системы (17), в результате получим
d2
dr2 +
2
r
d
dr
+ m2 − j(j + 1)
r2
H1 =
2(j + 1)
r2 H2,
d2
dr2 +
2
r
d
dr
+ m2 − j(j + 1)
r2
H2 =
2j
r2H1+
2
r2H2,
(33)
или в матричной форме
Δ
H1
H2
=
2
r2
0 j + 1
j 1
H1
H2
.
Диагонализируем матрицу смешивания
¯H
= T1H, T1ΔT
−1
1
¯H
= T1AT
−1
1
¯H
, H = T
−1
1
¯H
,
T1AT
−1
1 =
λ1 0
0 λ2
=
−j 0
0 j + 1
,
T1 =
1 −1
1 j+1
j
, T
−1
1 =
1
2j + 1
j + 1 j
−j j
.
В результате система (33) преобразуется в следующую
d2
dr2 +
2
r
d
dr
+ m2 − j(j − 1)
r2
¯H
1 = 0,
d2
dr2 +
2
r
d
dr
+ m2 − (j + 1)(j + 2)
r2
¯H
2 = 0. (34)
64
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
Простой подстановкой данные уравнения приводятся к
бесселевому виду
¯H
1(r) =
√1
r
¯ F1(r),
d2
dr2 +
2
r
d
dr
+ m2 − (j − 1/2)2
r2
¯ F1 = 0,
¯H
2(r) =
√1
r
¯ F2(r),
d2
dr2 +
2
r
d
dr
+ m2 − (j + 3/2)2
r2
¯ F2 = 0,
I. z = mr, ¯H1(r) =
√1
z
Jj−1/2(z),
¯H
2(r) =
√1
z
Jj+3/2(z). (35)
Исходные функции задаются соотношениями
I. H1 =
j + 1
2j + 1
¯H
1 +
j
2j + 1
¯H
2,
H2 = − j
2j + 1
¯H
1 +
j
2j + 1
¯H
2. (36)
Рассмотрим случай II. Первое и второе уравнения си-
стемы (32) после исключения функцииH2 с помощью тре-
тьего уравнения приводят к одному и тому же уравнению,
одно из них можем отбросить, например первое. Из усло-
вия Лоренца выразим переменную H0 и подставим в тре-
тье уравнение системы (31), в результате получим
d2
dr2 +
2
r
d
dr
+ m2 − j(j + 1)
r2
H1 =
2j
r2H2,
d2
dr2 +
2
r
d
dr
+ m2 − j(j + 1)
r2
H2 =
=
2(j + 1)
r2 H1 +
2
r2H2
Δ
H1
H2
=
2
r2
0 j
j + 1 1
H1
H2
.
Диагонализируем матрицу смешивания
¯H
1
¯H
2
= T2
H1
H2
,
T2AT
−1
2 =
λ1 0
0 λ2
=
−j 0
0 j + 1
,
T2 =
1 - j
j+1
1 1
, T
−1
2 =
j+1
2j+1
j
2j+1
− j+1
2j+1
j+1
2j+1
!
.
В результате уравнения примут вид (34). Простой подста-
новкой они приводятся к уравнениям Бесселя (35). Исход-
ные функции строятся так:
II. H
′′
1 =
j + 1
2j + 1
¯H
1 +
j
2j + 1
¯H
2,
H
′′
2 = − j + 1
2j + 1
¯H
1 +
j + 1
2j + 1
¯H
2. (37)
Таким образом, в двух ситуациях получаем решения (36) и
(37), в которых
¯H
1(r) =
√1
z
Jj−1/2(z), ¯H2(r) =
√1
z
Jj+3/2(z).
Легко убедиться, что два решения I (36) и II (37) связаны
линейным преобразованием
HII = T
−1
2 T1HI =
=
j+1
2j+1
j
2j+1
− j+1
2j+1
j+1
2j+1
!
1 −1
1 j+1
j
HI =
=
1 0
0 j+1
j
HI . (38)
Следовательно, мы можем использовать только один
случай: либо I , либо II (для определенности будем ис-
пользовать вариант I ). Причем, поскольку уравнения для
функцийH1 и ¯H1 не связаны между собой, то два линейно
независимых решения можно выбрать так (обозначаем их
символами 2 и 3):
2) ¯H1 =
√1
z
Jj−1/2, H1 =
j + 1
2j + 1
¯H
1,
H2 = − j
2j + 1
¯H
1, H0 = −j
z
H1 −
d
dz
+
2
z
H2;
(39)
3) ¯H2 =
√1
z
Jj+3/2, H1 =
j
2j + 1
¯H
2,
H2 =
j
2j + 1
¯H
2, H0 = −j
z
H1 −
d
dz
+
2
z
H2.
(40)
Преобразуем эти решения к переменным hi
h0 =
p
2(j + 1)H0, h3 = h1 = i
p
jH1,
h2 = i
p
2(j + 1)H2.
В результате получаем
2) h3 = h1 = i
p
j
j + 1
2j + 1
√1
z
Jj−1/2,
h2 = −i
j
p
2(j + 1)
(2j + 1)
√1
z
Jj−1/2,
h0 =
j
p
2(j + 1)
(2j + 1)
d
dz
− j − 1
z
√1
z
Jj−1/2; (41)
3) h3 = h1 = i
p
j
j
2j + 1
√1
z
Jj+3/2,
h2 = i
j
p
2(j + 1)
(2j + 1)
√1
z
Jj+3/2,
h0 = −j
p
2(j + 1)
(2j + 1)
d
dz
+
j + 2
z
√1
z
Jj+3/2. (42)
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 65
3. Градиентное решение
Известно, что должны существовать калибровочные
решения градиентного типа. Найдем их явный вид, исхо-
дя из определения
Ψα(x) = ∂αΛ(x), Λ(x) = e
−imtD0f(r),
D0 = Dj−
m,0(θ, ϕ, 0). (43)
Тетрадное представление этого решения Ψα(x) =
eβ
(a)D0f(r) имеет вид
Ψ(0) = eβ
(0)Ψβ = −ime
−imtD0f,
Ψ(3) = eβ
(3)Ψβ = e
−imt df
dr
D0,
Ψ(1) = eβ
(1)Ψβ = e
−imt f
r
∂θD0,
Ψ(2) = eβ
(2)Ψβ = e
−imt f
r
im
sin θ
D0.
Преобразуя вектор Ψ(a) к циклическим компонентам
Ψ0 = ¯Ψ0, Ψ1 = −√1
2
¯Ψ
1 +
√1
2
¯Ψ
3,
Ψ2 = −√i
2
¯Ψ
1 − √i
2
¯Ψ
3, Ψ3 = ¯Ψ2,
получаем
¯Ψ
(0) = −ime
−imtD0f, ¯Ψ2 = e
−imt df
dr
D0,
¯Ψ
1 = − 1 √
2
e
−imt f
r
∂θ +
m
sin θ
D0,
¯Ψ
3 =
√1
2
e
−imt f
r
∂θ − m
sin θ
D0. (44)
Отсюда находим
¯Ψ
0 = −ime
−imtD0f = e
−imt¯h0D0,
¯Ψ
2 = e
−imt df
dr
D0 = e
−imt¯h2D0,
¯Ψ
1 = − a √
2
e
−imt 1
r
fD−1 = e
−imt¯h1D−1,
¯Ψ
3 = − 1 √
2
e
−imt a
r
fD1 = e
−imt¯h3D1. (45)
Таким образом, выражения для радиальных компонент ка-
либровочного вектора имеют вид
¯h
0(r) = −imf(r), ¯h2(r) =
df
dr
f(r),
¯h
1(r) = ¯h3(r) = −j(j + 1)/2
r
f(r). (46)
Принимая во внимание ограничения по четности, заклю-
чаем, что построенное калибровочное решение имеет чет-
ность P = (−1)j .
Будем предполагать, что скалярная функция Λ(x) яв-
ляется решением уравнения Клейна-Фока-Гордона
√1
−g
∂
∂xα
√
−ggαβ ∂
∂xβ Λ(x) = 0,
∂2
∂t2
− ∂2
∂r2
− 2
r
∂
∂r
+
1
r2 l2
Λ(x) = 0.
С учетом подстановки Λ(x) = e−imtf(r)Dj−
m,0(ϕ, θ, 0)
имеем радиальное уравнение
d2
dr2 +
2
r
d
dr
+ m2 − j(j + 1)
r2
f(r) = 0. (47)
Подстановкой f(r) = r−1/2F(r) его можно привести к
бесселеву типу с переменной z = mr:
d2
dr2 +
2
r
d
dr
+ m2 − (j + 1/2)2
r2
F(r) = 0,
f(r) =
√1
z
Jj+1/2(z). (48)
В результате находим четвертое решение
4) h0 = −√i
z
Jj+1/2(z), h2 =
d
dz
√1
z
Jj+1/2(z),
h1 = h3 = −
p
j(√j + 1)
2
1
z
√
z
Jj+1/2(z). (49)
4. Сводка результатов
Найдены четыре решения уравнения для безмассового
поля со спином 1. Первое (10) имеет вид
1) P = (−1)j+1, h0 = h2 = 0,
h3 = −h1 = −√1
z
Jj+1/2(z). (50)
Второе (41) можно переписать в форме
2) h3 = h1 = i
p
j
j + 1
2j + 1
√1
z
Jj−1/2 = A1
√1
z
Jj−1/2,
h2 = −i
j
p
2(j + 1)
(2j + 1)
√1
z
Jj−1/2 = A2
√1
z
Jj−1/2,
h0 = −j
p
2(j + 1)
(2j + 1)
√1
z
Jj+1/2 = A0
√1
z
Jj+1/2. (51)
Аналогично для третьего решения (42) имеем
3) h3 = h1 = i
j
√
j
2j + 1
√1
z
Jj+3/2 = A1
√1
z
Jj+3/2,
h2 = i
j
p
2(j + 1)
(2j + 1)
√1
z
Jj+3/2 = A2
√1
z
Jj+3/2,
h0 = −j
p
2(j + 1)
(2j + 1)
√1
z
Jj+1/2 = A0
√1
z
Jj+1/2. (52)
Четвертое решение описывается формулами (49).
66
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
Эти решения можно проверить подстановкой в исход-
ную систему (2), исключая в ней переменные Ei,Bi . Для
решения 1 получаем тождества. Для решения 2
2) h0 =
√B0
z
Jj+1/2, h1 = h3 =
√B1
z
Jj−1/2,
h2 =
√B2
z
Jj−1/2
получаем
B0 =
ij
√
2 p
j(j + 1)
B1, B2 = − j
√
2 p
j(j + 1)
B1.
Для решения 3
3) h0 =
√B0
z
Jj+1/2, h1 = h3 =
√B1
z
Jj+3/2,
h2 =
√B2
z
Jj+3/2
получаем
B0 =
i(j + 1)
√
2 p
j(j + 1)
B1, B2 =
(j + 1)
√
2 p
j(j + 1)
B1.
Для решения 4 получаем тождества. В случае 2 убеждаем-
ся, что оба ответа приводят к одному и тому же результату
2)
A0
A1
=
B0
B1
=
ij
√
2 p
j(j + 1)
,
A2
A1
=
B2
B1
= − j
√
2 p
j(j + 1)
.
В случае 3 убеждаемся, что оба ответа также приводят к
одному и тому же результату
3)
A0
A1
=
B0
B1
=
i(j + 1)
√
2 p
j(j + 1)
,
A2
A1
=
B2
B1
=
(j + 1)
√
2 p
j(j + 1)
.
Следует отметить, что из решений типа 2 и 3 можно об-
разовать специальную линейную комбинацию, которая со-
ответствует второму калибровочному решению (согласно
общей теории, из четырех решений два должны быть ка-
либровочными, а два — физически интерпретируемыми)
2j + 1
j + 1
h(2)
1 +
2j + 1
j
h(3)
1 = i
√
√j
z
Jj−1/2 + Jj+3/2
=
= i
√
√j
z
(2j + 1)
1
z
Jj+1/2. (53)
Отсюда следует
1
j + 1
h(2)
1 +
1
j
h(3)
1 = i
p
j
1
z
√1
z
Jj+1/2.
Далее находим, что
1
j(j + 1)
jh(2)+(j+1)h(3)
1
1
=
=
√ 1
2
p
j(j + 1)
(2j + 1)
−i
√1
z
h0
.
Таким образом, найденная комбинация соответствует вто-
рому калибровочному решению
hgauge
1
≡ j
2j + 1
h(2)
1 +
j + 1
2j + 1
h(3)
1 =
= −i
p
j(√j + 1)
2
1
z
hgauge
0 , (54)
где
hgauge
0 = −
p
2(j + 1)
j
2j + 1
1
z
Jj+1/2.
Заключение
Построенные четыре независимых решения для без-
массовой частицы со спином 1 позволяют найти явные
выражения для четырех калибровочных решений систе-
мы уравнений Паули-Фирца для безмассовой частицы со
спином 2. Причем, в силу свойств функций Бесселя, со-
ответствующие четыре набора 11-компонентных полевых
функций для частицы со спином 2 оказываются имеющими
схожую структуру: они выражаются с точностью до мно-
жителя 1/
√
z через функции Бесселя с индексами p =
j−3/2, j−1/2, j+1/2, j+3/2, j+5/2. Это позволяет
предположить, что все решения основной системы ради-
альных уравнений, а не только калибровочные, также име-
ют схожую структуру. Основная система радиальных урав-
нений имеет вид 11-связанных дифференциальных урав-
нений 2-го порядка для 11-функций. Диагонализация опе-
ратора пространственного отражения позволяет разбить
эту сложную систему на две подсистемы: одна из них ока-
зывается простой и легко решаемой в функциях Бесселя,
причем отмеченная простая структура решений в терминах
функций Бесселля также сохраняется. Вместе с тем лег-
ко показать, что данное решение не является калибровоч-
ным. Вторая система оказывается намного более сложной,
состоящей из восьми связанных уравнений. Однако можно
убедиться, что подстановки для отдельных функций с от-
меченной выше общей структурой позволяют с использо-
ванием свойств функций Бесселя преобразовать систему
восьми радиальных уравнений в алгебраическую систему,
хотя и довольно громоздкую. Этот дополнительный анализ
является предметом отдельной работы.
1. Pauli, W. Über relativistische feldleichungen von teilchen mit beliebigem spin im elektromagnetishen feld / W. Pauli, M. Fierz // Helv. Phys. Acta. - 1939. - Bd. 12. - P. 297-300.
2. Fierz, M. On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field / M. Fierz, W. Pauli // Proc. Roy. Soc. London. A. - 1939. - Vol. 173. - P. 211-232.
3. Fedorov, F.I. K teorii chasticy so spinom 2 [On the theory of the spin 2 particle] / F.I. Fedorov // Uch. zap. BGU. Ser. fiz.-mat. [Proceedings of Belorussian State University. Ser. phys.-math.]. - 1951. - Iss. 12. - P. 156-173.
4. Regge, T. On properties of the particle with spin 2 / T. Regge // Nuovo Cimento. - 1957. - Vol. 5. - № 2. - P. 325-326.
5. Bogush, A.A. Ob uravnenijah dlja chasticy so spinom 2 vo vneshnih jelektromagnitnyh i gravitacionnyh poljah [On equations for spin 2 particle in external electromagnetic and gravitational fields] / A.A. Bogush, V.V. Kisel, N.G. Tokarevskaya, V.M. Red’kov // Vesci NANB. Ser. fiz.- mat. navuk [Proceedings of NAS of Belarus. Ser. phys.- math.]. - 2003. - № 1. - P. 62-67.
6. Red’kov, V. M. Graviton in a curved spacetime background and gauge symmetry / V.M. Red’kov, N.G. Tokarevskaya, V.V. Kisel // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. - 2003. - Vol. 6. - No. 3. - P. 772-778.
7. 7. Kisel, V.V. Analiz vklada kalibrovochnyh stepenej svobody v strukturu tenzora jenergiiimpul’sa bezmassovogo polja so spinom 2 [Contribution of the gauge degrees of freedom in energy-momentum tensor of the massless spin 2 field] / V.V. Kisel, E.M. Ovsiyuk, O.V. Veko, V.M. Red’kov // Vesci NAN Belarusi. Ser. fiz. mat. navuk [Proceedings of NAS of Belarus. Ser. phys.-math.]. - 2015. - № 2. - P. 58-63.
8. 8. Kisel, V.V. Nereljativistskij predel v teorii chasticy so spinom 2 [Nonrelativistic approximation in the theory of spin 2 particle] / V.V. Kisel, E.M. Ovsiyuk, O.V. Veko, V.M. Red’kov // Doklady NAN Belarusi [Doklady NAS of Belarus]. - 2015. - Vol. 59. - № 3. - P. 21-27.
9. Red’kov, V.M. Polja chastic v rimanovom prostranstve i gruppa Lorenca [Fields of particles in the Riemannian space and the Lorentz group] / V.M. Red’kov. - Minsk: Belorusskaja nauka [Belarusian Science], 2009. - 486 p.
10. Red’kov, V.M. Tetradnyj formalizm, sfericheskaja simmetrija i bazis Shredingera [Tetrad formalism, spherical symmetry and Schrödinger basis] / V.M. Red’kov. - Minsk: Belorusskaja nauka [Belarusian Science], 2011. - 339 p.
11. Varshalovich, D.A. Kvantovaja teorija uglovogo momenta [Quantum theory of angular momentum] / D.A. Varshalovich, A.N. Moskalev, V.K. Khersonskii - Leningrad: Nauka [Science], 1975. - 439 p.
