Kinetic and hyperbolic equations with applications to engineering processes

Häck, Axel-Stefan; Banda, Mapundi K.; Herty, Michael Matthias

doi:10.18154/RWTH-2018-223247

Kinetic and hyperbolic equations with applications to engineering processes = Kinetik und Hyperbolische Gleichungen mit Anwendungen in ingenieurwissenschaftlichen Prozessen

Häck, Axel-Stefan^RWTH*

2017 & 2018

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Master of Science Axel-Stefan Häck

ImpressumAachen 2017

Umfang1 Online-Ressource (k, 197 Seiten) : Illustrationen, Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2017

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Herty, Michael Matthias (Thesis advisor)^RWTH* ; Banda, Mapundi K. (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2017-11-07

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2018-223247
URL: http://publications.rwth-aachen.de/record/721704/files/721704.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
numerical methods (frei) ; higher-order coupling (frei) ; networks of fluid dynamics (frei) ; steel rolling simulation (frei) ; mathematical modeling of industrial processes kinetic theory (35R02, 35Q35, 35F30) (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Der Inhalt dieser Arbeit is in sechs Kapitel strukturiert. Kapitel 1-3 sind der Einführung bekannter und bewährter Konzepte und Resultate gewidmet, welche notwendig für das Verständnis der Arbeit in Kapitel 4 und 5 sind. In diesen beiden Kapiteln werden Forschungsergebnisse des - unteranderen - Autors vorgestellt. Das letzte Kapitel 6 ist das obligatorische Kapitel ”Zusammenfassung und Fazit”. In Kapitel 1 leiten wir die Boltzmann Gleichung für Gas, aus der zugrundeliegenden Partikeldynamik der einzelnen Atome her. Nachdem wir die Boltzmann Gleichung aufgestellt haben, führen wir Momente von dieser ein und nehmen einen hydrodynamischen Limes zur Herleitung der Euler Gleiungender Gasdynamik. Das zweite Kapitel widmet sich hyperbolischen Erhaltungsgleichungen - in einer Raumdimension. Wir führen bekannte Beispiele solcher Gleichungen ein. Danach diskutieren wir das Riemann Problem. Nachdem wir eine Theorie erstellt haben, um solche Riemann Probleme zu lösen, nutzen wir diese um den ”wave front tracking” Algorithmus einzuführen. Im letzten Abschnitt dieses Kapitels beweisen wir ein Existenzresultat für die Lösungen solcher Riemann Probleme. In Kapitel 3 interessieren wir uns für die numerische Analysis von Erhaltungsgleichungen. Zuerst beschreiben wir das allgemeine Konzept eines ”finite volume” Verfahrens. Die speziellen Verfahren unterscheiden sich durch die benutzten ”numerical flux” Funktionen. Wir führen mehrere solcher Funktionen ein und analysieren diese zunächst theoretisch. Danach präsentieren wir numerische Ergebnisse dieser Verfahren zu drei Testfällen. Diese Verfahren werden dann auf den räumlich zwei-dimensionalen Fall erweitert und wir testen diese dann an einer Serie von Riemann Problemen und vergleichen die Ergebnisse. Im vierten Kapitel wird ein Stahwalz Modell erstellt. Das Hauptwerkzeug hierzu ist eine kinetische partielle Differentalgleichung zur Beschreibung des Prozesses auf Langzeitskalen bei hohen Werkstückzahlen. Wir beginnen damit bekannte Walzmodelle vorzustellen um dann, analog zu Kapitel 1, ein simplifiziertes partikelbasiertes Modell der Dynamik aufzustellen. Aus diesem Modell werden wir dann eine kinetische Gleichung und danach, durch Nutzung eines hydrodynamischen Limes, eine fluid-artige Gleichung herleiten. Wir zeigen numerische Ergebnisse zu dieser Gleichung, welche das zweidimensionale Lösungsverfahren aus Kapitel 3 nutzen. In Kapitel 5 entwickeln wir ein ”second order finite volume” Verfahren für 2 × 2 Erhaltungsgleichungen auf Netzwerken. Der entscheidende Punkt hier ist es einen passenden ”numerical flux” an den Knoten an den Verbindungspunkten des Netzwerks zu finden. Hierzu nutzen wir eine charakteristische Zerlegung der Zeitableitung mit einer Exaktheit von zweiter Ordnung und nutzen diese um die Raumableitungen der auslaufenden Information zu schätzen. Nach der theoretischen Herleitung des Verfahren, stellen wir numerische Ergebnisse zu einem Gaspipeline-Netzwerk vor. Diese Resultate nutzen die Verfahren, welche in Kapitel 3 diskutiert wurden. Wie bereits erwähnt, besteht das letzte Kapitel aus einer kurzen Zusammenfassung und Fazits zu den Ergebnissen der Kapitel 4 und 5.

The content of this doctoral thesis is structured in six chapters. Chapters 1-3 are devoted to introduce widely known and well established concepts and results that are of use to understand Chapters 4-5. In the latter chapters original research by — among others — the author is presented. The last Chapter 6 is the obligatorily ”Summary and Conclusion”.In Chapters 1 we undergo the derivation of the Botlzmann equation for a gas from the underlying particle dynamics of single atoms. After establishing the Botlzmann equation we introduce moments of the probability density and additionally take a hydrodynamical limit to derive the Euler equations for gas dynamics.The second chapter is devoted to hyperbolic conservation laws — in the spatial one-dimensional case. We introduce popular cases of such conservation laws. Then we discuss the Riemann problem. After establishing a theory to solve a general Riemann problem we use this concept to introduce the wave front tracking algorithm. In the last section of this chapter we prove the existence of solutions to general initial value problems of hyperbolic conservation laws.In Chapter 3 we are interested in the numerical analysis of conservation laws. First we give a general description of finite volume methods. The particular finite volume methods distinguish by the different numerical fluxes. We introduce a variety of different numerical fluxes and analyze them theoretically. Following to this we present three test cases and apply those finite volume schemes on them. After this we establish spacial two-dimensional finite volume methods. We apply those two-dimensional schemes to a set of Riemann problems and compare their performance.In the fourth Chapter we are interested in the mathematical modeling of steel rolling processes. Our basic tool will be kinetic partial differential equations suitable for large time scales and for many roll passes, similarly to the discussion in the first chapter. We start with an overview of the rolling process and typical process models of it. Analog to the fist chapter, we then define a particle based model describing a steel rolling process — in a simplified manner. After this we will derive a kinetic equation associated to this process and finally perform a hydrodynamic limit to this kinetic model in order to attain a fluid dynamical model. We then give numerical solutions to this fluid-like model, using the (two-dimensional) schemes discussed in Chapter 3.In Chapter 5 we develop a second order finite volume scheme for general 2 × 2 hyperbolic systems on networks. The crucial point is the derivation of a suitable numerical flux at the nodal point at the juncture where multiple arcs are connected. We use a characteristic decomposition of the temporal derivative up to second order of the solution at the nodal point and estimate the outgoing information using spatial derivatives. After established the scheme theoretically we then present numerical results for gas flow in pipe networks, using a hyperbolic conservation law introduced in Chapter 3.As already mentioned is the final chapter devoted to give a brief summary and a conclusion of the new results established in Chapter 4 and Chapter 5.

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