On a Family of Polyhedral Singular Vertices

Sobre una Familia de Vértices Singulares Poliédricos

We provide a local description of the curves with minimal length based at singularities in a family of polyhedral surfaces. These singularities are accumulation points of vertices with conical angles equal to π and 4π (or 3π, in a variation). While a part of the minimizing curves behaves quite like the ones reaching conical vertices, the singularities present features such as being connected to points arbitrarily close to them by exactly two minimizing curves. The spaces containing such singularities are constructed as metric quotients of an euclidean half-disk by certain identification patterns along its edge. These patterns are examples of what is known as paper-folding schemes, and we provide the foundational aspects about them which are necessary for our analysis. The arguments are based on elementary metric geometry and calculus.

Proporcionamos una descripción local de las curvas con una longitud mínima basada en singularidades en una familia de superficies poliédricas. Estas singularidades son puntos de acumulación de vértices con ángulos cónicos iguales a π y 4π (o 3π, en una variación). Si bien una parte de las curvas minimizadoras se comporta como las que alcanzan los vértices cónicos, las singularidades tienen características tales como la posibilidad de estar conectadas a puntos arbitrariamente cercanos a ellas mediante exactamente dos curvas minimizadoras. Los espacios que contienen tales singularidades se construyen como cocientes métricos de un semidisco euclidiano por ciertos patrones de identificación de su borde. Estos patrones son ejemplos de lo que se conoce como esquemas de plegado de papel, y proporcionamos los aspectos fundamentales sobre ellos necesarios para nuestro análisis. Las técnicas se basan en geometría métrica elemental y cálculo.