1. 引言

近年来，许多物理以及实际工程技术问题的解决都转化为微分方程边值问题进行求解，所以各类微分方程边值问题的求解变得越来越重要。2010年，李顺初 [1] 通过分析一类二阶常微分方程边值问题解的结构，发现其解呈现统一的连分数的形式，进而提出了一种构造这类边值问题解的新方法——相似构造法。自此，研究者们将其方法应用于不同的微分方程(如Hermit方程 [2] 、复合型Laguerre方程 [3] 、复合连带Legendre方程 [4] 、三区复合型超几何方程 [5] 、三区复合型Tschebycheff方程 [6] )边值问题的求解中。此外，在石油工程中不少研究者将各类油藏(如均质油藏 [7] 、双孔非稳态油藏 [8] 、分形均质油藏 [9] 、复合油藏 [10] )的渗流模型转化为各类微分方程的边值问题，并利用相似构造法进行求解，最后得到模型在Laplace空间的解表达式简洁，也呈现统一的连分数的形式，更能清晰地反映各个参数对解的影响。

Riccati-Bessel方程是特殊的Riccati方程，在球体的电磁散射 [11] 研究中Riccati-Bessel方程的解Riccati-Bessel函数有着重要的意义和作用。那么对于Riccati-Bessel方程的求解研究重要性不言而喻。近年来，李顺初等人对Riccati-Bessel方程 [12] 、复合Riccati-Bessel方程 [13] 的求解进行了研究，并得到了解的相似结构，但是尚未对于三区复合型及其以上的Riccati-Bessel方程边值问题解的研究。基于以上基础，本文研究如下的三区复合型Riccati-Bessel方程边值问题

(1)

其中 $a,b,c,d,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\eta }_1,{\eta }_2,D,E,F,G,H$ 为实常数， $a_i\left(i=1,2,3\right)$ 是非负数， $l_i\left(i=1,2,3\right)$ 是非负整数，且 ${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\eta }_1,{\eta }_2\ne 0,D\ne 0,G^2+H^2\ne 0,0\le a\le b\le c\le d$ 。

2. 预备知识

引理1 Riccati-Bessel方程 $x^2{y}_i{}^{\prime \text{}\prime }+\left[{\left(\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}\right)}^2{x}^2-l_i\left(l_i+1\right)\right]y_i=0$ 的通解为 [14]

$y_i=\sqrt{\frac{\pi x}{2}}\left[M_i{Y}_{l_i+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}x\right)+N_i{J}_{l_i+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}x\right)\right],$

其中 $M_i,N_i$ 为任意常数， $Y_{l_i+\frac{1}{2}}(·),J_{l_i+\frac{1}{2}}(·),\left(i=1,2,3\right)$ 分别为第一类、第二类 $l_i+\frac{1}{2},\left(i=1,2,3\right)$ 阶Bessel函数。

引理2 利用Riccati-Bessel方程的两个线性无关解构造如下引解函数

$\begin{array}{l}{\phi }_{0,0}^i\left(x,\xi \right)=\sqrt{\frac{\pi x}{2}}{Y}_{l_i+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}x\right)\sqrt{\frac{\pi \xi }{2}}{J}_{l_i+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}\xi \right)-\sqrt{\frac{\pi x}{2}}{J}_{l_i+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}x\right)\sqrt{\frac{\pi \xi }{2}}{Y}_{l_i+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}\xi \right)\\ =\frac{\pi }{2}\sqrt{x\xi }{\psi }_{l_i+\frac{1}{2},l_i+\frac{1}{2}}\left(x,\xi ,\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}\right),\end{array}$ (2)

$\begin{array}{l}{\phi }_{0,1}^i\left(x,\xi \right)=\frac{\partial }{\partial \xi }{\phi }_{0,0}^i\left(x,\xi \right)\\ =\frac{\pi }{2}\sqrt{\frac{x}{\xi }}\left[\left(l_i+1\right){\psi }_{l_i+\frac{1}{2},l_i+\frac{1}{2}}\left(x,\xi ,\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}\right)-\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}\xi {\psi }_{l_i+\frac{1}{2},l_i+\frac{3}{2}}\left(x,\xi ,\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}\right)\right],\end{array}$ (3)

$\begin{array}{l}{\phi }_{1,0}^i\left(x,\xi \right)=\frac{\partial }{\partial x}{\phi }_{0,0}^i\left(x,\xi \right)\\ =\frac{\pi }{2}\sqrt{\frac{\xi }{x}}\left[\left(l_i+1\right){\psi }_{l_i+\frac{1}{2},l_i+\frac{1}{2}}\left(x,\xi ,\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}\right)-\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}x{\psi }_{l_i+\frac{3}{2},l_i+\frac{1}{2}}\left(x,\xi ,\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}\right)\right],\end{array}$ (4)

$\begin{array}{l}{\phi }_{1,1}^i\left(x,\xi \right)=\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial \xi }{\phi }_{0,0}^i\left(x,\xi \right)\\ =\frac{\pi }{2}\sqrt{\frac{1}{x\xi }}[{\left(l_i+1\right)}^2{\psi }_{l_i+\frac{1}{2},l_i+\frac{1}{2}}\left(x,\xi ,\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}\right)-\left(l_i+1\right)\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}\xi {\psi }_{l_i+\frac{1}{2},l_i+\frac{3}{2}}\left(x,\xi ,\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}\right)\\ -\left(l_i+1\right)\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}x{\psi }_{l_i+\frac{3}{2},l_i+\frac{1}{2}}\left(x,\xi ,\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}\right)+\frac{{\mu }_{ni}^2}{a_i^2}x\xi {\psi }_{l_i+\frac{3}{2},l_i+\frac{3}{2}}\left(x,\xi ,\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}\right)].\end{array}$ (5)

其中 $i=1$ 代表内区 $\left(a\le x\le b\right)$ ， $i=2$ 代表中区 $\left(b\le x\le c\right)$ ， $i=3$ 代表外区 $\left(c\le x\le d\right)$ ，

${\psi }_{m,n}\left(x,y,t\right)=Y_m\left(xt\right)J_n\left(yt\right)-J_m\left(xt\right)Y_n\left(yt\right).$

其中 $m,n$ 为实常数。

3. 主要定理及证明

定理1 若三区间复合型Riccati-Bessel方程边值问题有唯一解，则其内区 $\left(a\le x\le b\right)$ 解为

$y_1=D\cdot \frac{1}{E+\frac{1}{F+{\Phi }_1\left(a\right)}}\cdot \frac{1}{F+{\Phi }_1\left(a\right)}\cdot {\Phi }_1\left(x\right),$ (6)

中区 $\left(b\le x\le c\right)$ 解为

$y_2=D\cdot \frac{1}{E+\frac{1}{F+{\Phi }_1\left(a\right)}}\cdot \frac{1}{F+{\Phi }_1\left(a\right)}\cdot \frac{{\phi }_{0,1}^1\left(b,b\right)}{{\gamma }_1{\Phi }_2\left(b\right){\phi }_{1,1}^1\left(a,b\right)-{\gamma }_2{\phi }_{1,0}^1\left(a,b\right)}\cdot {\Phi }_2\left(x\right),$ (7)

外区 $\left(c\le x\le d\right)$ 解为

$\begin{array}{l}{y}_3=D\cdot \frac{1}{E+\frac{1}{F+{\Phi }_1\left(a\right)}}\cdot \frac{1}{F+{\Phi }_1\left(a\right)}\cdot \frac{{\phi }_{0,1}^1\left(b,b\right)}{{\gamma }_1{\Phi }_2\left(b\right){\phi }_{1,1}^1\left(a,b\right)-{\gamma }_2{\phi }_{1,0}^1\left(a,b\right)}\\ \cdot \frac{{\phi }_{0,1}^2\left(c,c\right)}{{\eta }_1{\Phi }_3\left(c\right){\phi }_{1,1}^2\left(b,c\right)-{\eta }_2{\phi }_{1,0}^2\left(b,c\right)}{\Phi }_3\left(x\right),\end{array}$ (8)

其中 ${\Phi }_3\left(x\right)$ 称为外区相似核函数

${\Phi }_3\left(x\right)=\frac{G{\phi }_{0,0}^3\left(x,d\right)+H{\phi }_{0,1}^3\left(x,d\right)}{G{\phi }_{1,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{1,1}^3\left(c,d\right)},\left(c\le x\le d\right)$ (9)

${\Phi }_2\left(x\right)$ 称为中区相似核函数

${\Phi }_2\left(x\right)=\frac{{\eta }_2{\phi }_{0,0}^2\left(x,c\right)-{\eta }_1{\Phi }_3\left(c\right){\phi }_{0,1}^2\left(x,c\right)}{{\eta }_2{\phi }_{1,0}^2\left(b,c\right)-{\eta }_1{\Phi }_3\left(c\right){\phi }_{1,1}^2\left(b,c\right)},\left(b\le x\le c\right)$ (10)

${\Phi }_1\left(x\right)$ 称为内区相似核函数

${\Phi }_1\left(x\right)=\frac{{\gamma }_2{\phi }_{0,0}^1\left(x,b\right)-{\gamma }_1{\Phi }_2\left(b\right){\phi }_{0,1}^1\left(x,b\right)}{{\gamma }_2{\phi }_{1,0}^1\left(a,b\right)-{\gamma }_1{\Phi }_2\left(b\right){\phi }_{1,1}^1\left(a,b\right)},\left(a\le x\le b\right)$ (11)

证明：由引理1知，Riccati-Bessel方程 $x^2{y}_i{}^{\prime \text{}\prime }+\left[{\left(\frac{\mu {}_{ni}}{a_i}\right)}^2{x}^2-l_i\left(l_i+1\right)\right]y_i=0$ 的通解为

$y_i=\sqrt{\frac{\pi x}{2}}\left[M_i{Y}_{l_i+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}x\right)+N_i{J}_{l_i+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}x\right)\right],\left(i=1,2,3\right),$ (12)

则其导数为

$\begin{array}{l}{y}_i{}^{\prime }=M_i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\left[\left(l_i+1\right)x^{-\frac{1}{2}}{Y}_{l_i+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}x\right)-x^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}{Y}_{l_i+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}x\right)\right]\\ +N_i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\left[\left(l_i+1\right)x^{-\frac{1}{2}}{J}_{l_i+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}x\right)-x^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}{J}_{l_i+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}x\right)\right].\end{array}$ (13)

将式(12)和式(13)代入边值问题(1)中的内边界条件、衔接条件、外边界条件中，

由内边界条件 ${\left[E{y}_1+\left(1+EF\right)y_1{}^{\prime }\right]|}_{x=a}=D$ 有

$\begin{array}{l}{M}_1\sqrt{\frac{\pi }{2}}\left\{\left[E{a}^{\frac{1}{2}}+\left(1+EF\right)\left(l_1+1\right)a^{-\frac{1}{2}}\right]Y_{l_1+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}a\right)-\left(1+EF\right)a^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}{Y}_{l_1+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}a\right)\right\}\\ +N_1\sqrt{\frac{\pi }{2}}\left\{\left[E{a}^{\frac{1}{2}}+\left(1+EF\right)\left(l_1+1\right)a^{-\frac{1}{2}}\right]J_{l_1+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}a\right)-\left(1+EF\right)a^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}{J}_{l_1+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}a\right)\right\}=D.\end{array}$ (14)

由衔接面条件 ${y_1|}_{x=b}={{\gamma }_1{y}_2|}_{x=b},{y_1{}^{\prime }|}_{x=b}={{\gamma }_1{y}_2{}^{\prime }|}_{x=b},{y_2|}_{x=c}={{\eta }_1{y}_3|}_{x=c},{y_2{}^{\prime }|}_{x=c}={{\eta }_1{y}_3{}^{\prime }|}_{x=c}$

$M_1{Y}_{l_1+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}b\right)+N_2{J}_{l_1+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}b\right)-M_2{\gamma }_1{Y}_{l_2+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}b\right)-N_2{\gamma }_1{J}_{l_2+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}b\right)=0,$ (15)

$\begin{array}{l}{M}_1\left[\left(l_1+1\right)b^{-\frac{1}{2}}{Y}_{l_1+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}b\right)-b^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}{Y}_{l_1+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}b\right)\right]\\ +N_1\left[\left(l_1+1\right)b^{-\frac{1}{2}}{J}_{l_1+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}b\right)-b^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}{J}_{l_1+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}b\right)\right]\\ -M_2{\gamma }_2\left[\left(l_2+1\right)b^{-\frac{1}{2}}{Y}_{l_2+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}b\right)-b^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}{Y}_{l_2+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}b\right)\right]\\ -N_2{\gamma }_2\left[\left(l_2+1\right)b^{-\frac{1}{2}}{J}_{l_2+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}b\right)-b^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}{J}_{l_2+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}b\right)\right]=0,\end{array}$ (16)

$$ (17)

$\begin{array}{l}{M}_2\left[\left(l_2+1\right)c^{-\frac{1}{2}}{Y}_{l_2+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}c\right)-c^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}{Y}_{l_2+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}c\right)\right]\\ +N_2\left[\left(l_2+1\right)c^{-\frac{1}{2}}{J}_{l_2+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}c\right)-c^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}{J}_{l_2+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}c\right)\right]\\ -M_3{\eta }_2\left[\left(l_3+1\right)c^{-\frac{1}{2}}{Y}_{l_3+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n3}}{a_3}c\right)-c^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{n3}}{a_3}{Y}_{l_3+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n3}}{a_3}c\right)\right]\\ -N_3{\eta }_2\left[\left(l_3+1\right)c^{-\frac{1}{2}}{J}_{l_3+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n3}}{a_3}c\right)-c^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{n3}}{a_3}{J}_{l_3+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n3}}{a_3}c\right)\right]=0.\end{array}$ (18)

由外边界条件 ${\left[G{y}_3+H{y}_3{}^{\prime }\right]|}_{x=d}=0$ 有

$\begin{array}{l}{M}_3\left\{\left[G{d}^{\frac{1}{2}}+H\left(l_3+1\right)d^{-\frac{1}{2}}\right]Y_{l_3+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n3}}{a_3}d\right)-H{d}^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{n3}}{a_3}{Y}_{l_3+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n3}}{a_3}d\right)\right\}\\ +N_3\left\{\left[G{d}^{\frac{1}{2}}+H\left(l_3+1\right)d^{-\frac{1}{2}}\right]J_{l_3+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n3}}{a_3}d\right)-H{d}^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{n3}}{a_3}{J}_{l_3+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n3}}{a_3}d\right)\right\}=0.\end{array}$ (19)

由于边值问题(1)的解存在且唯一，联立式(14)~(19)得到的关于 $M_1,N_1,M_2,N_2,M_3,N_3$ 的线性方程组的系数矩阵 $\Delta \ne 0$ ，且

$\begin{array}{c}\Delta ={\left(bc\right)}^{-\frac{1}{2}}{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-\frac{5}{2}}\{{\gamma }_2{\eta }_2{\phi }_{1,0}^2\left(b,c\right)\left[E{\phi }_{0,0}^1\left(a,b\right)+\left(1+EF\right){\phi }_{1,0}^1\left(a,b\right)\right]\left[G{\phi }_{1,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{1,1}^3\left(c,d\right)\right]\\ -{\gamma }_1{\eta }_2{\phi }_{0,0}^2\left(b,c\right)\left[E{\phi }_{0,1}^1\left(a,b\right)+\left(1+EF\right){\phi }_{1,1}^1\left(a,b\right)\right]\left[G{\phi }_{1,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{1,1}^3\left(c,d\right)\right]\\ -{\gamma }_2{\eta }_1{\phi }_{1,1}^2\left(b,c\right)\left[E{\phi }_{0,0}^1\left(a,b\right)+\left(1+EF\right){\phi }_{1,0}^1\left(a,b\right)\right]\left[G{\phi }_{0,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{0,1}^3\left(c,d\right)\right]\\ +{\gamma }_1{\eta }_1{\phi }_{0,1}^2\left(b,c\right)\left[E{\phi }_{0,1}^1\left(a,b\right)+\left(1+EF\right){\phi }_{1,1}^1\left(a,b\right)\right]\left[G{\phi }_{0,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{0,1}^3\left(c,d\right)\right]\}.\end{array}$ (20)

根据Gramer法则得到 $M_1,N_1,M_2,N_2,M_3,N_3$ 的表达式如下：

$\begin{array}{c}{M}_1=\frac{D}{\Delta }{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-2}{c}^{-\frac{1}{2}}\{{\gamma }_2{\eta }_2{J}_{l_1+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}b\right){\phi }_{1,0}^2\left(b,c\right)\left[G{\phi }_{1,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{1,1}^3\left(c,d\right)\right]\\ -{\gamma }_2{\eta }_1{J}_{l_1+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}b\right){\phi }_{1,1}^2\left(b,c\right)\left[G{\phi }_{0,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{0,1}^3\left(c,d\right)\right]\\ -{\gamma }_1{\eta }_2{b}^{-\frac{1}{2}}{\phi }_{0,0}^2\left(b,c\right)\left[\left(l_1+1\right)b^{-\frac{1}{2}}{J}_{l_1+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}b\right)-b^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}{J}_{l_1+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}b\right)\right]\left[G{\phi }_{1,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{1,1}^3\left(c,d\right)\right]\\ +{\gamma }_1{\eta }_1{b}^{-\frac{1}{2}}{\phi }_{0,1}^2\left(b,c\right)\left[\left(l_1+1\right)b^{-\frac{1}{2}}{J}_{l_1+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}b\right)-b^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}{J}_{l_1+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}b\right)\right]\left[G{\phi }_{0,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{0,1}^3\left(c,d\right)\right]\},\end{array}$ (21)

$\begin{array}{c}{N}_1=-\frac{D}{\Delta }{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-2}{c}^{-\frac{1}{2}}\{{\gamma }_2{\eta }_2{Y}_{l_1+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}b\right){\phi }_{1,0}^2\left(b,c\right)\left[G{\phi }_{1,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{1,1}^3\left(c,d\right)\right]\\ -{\gamma }_2{\eta }_1{Y}_{l_1+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}b\right){\phi }_{1,1}^2\left(b,c\right)\left[G{\phi }_{0,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{0,1}^3\left(c,d\right)\right]\\ -{\gamma }_1{\eta }_2{b}^{-\frac{1}{2}}{\phi }_{0,0}^2\left(b,c\right)\left[\left(l_1+1\right)b^{-\frac{1}{2}}{Y}_{l_1+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}b\right)-b^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}{Y}_{l_1+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}b\right)\right]\left[G{\phi }_{1,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{1,1}^3\left(c,d\right)\right]\\ +{\gamma }_1{\eta }_1{b}^{-\frac{1}{2}}{\phi }_{0,1}^2\left(b,c\right)\left[\left(l_1+1\right)b^{-\frac{1}{2}}{Y}_{l_1+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}b\right)-b^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}{Y}_{l_1+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n1}}{a_1}b\right)\right]\left[G{\phi }_{0,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{0,1}^3\left(c,d\right)\right]\},\end{array}$ (22)

$\begin{array}{l}{M}_2=-\frac{D}{\Delta }{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-2}{b}^{-\frac{1}{2}}{\phi }_{0,1}^1\left(b,b\right)\{{\eta }_2{J}_{l_2+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}c\right)\left[G{\phi }_{1,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{1,1}^3\left(c,d\right)\right]\\ -{\eta }_1{c}^{-\frac{1}{2}}\left[\left(l_2+1\right)c^{-\frac{1}{2}}{J}_{l_2+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}c\right)-c^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}{J}_{l_2+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}c\right)\right]\left[G{\phi }_{0,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{0,1}^3\left(c,d\right)\right]\},\end{array}$ (23)

$\begin{array}{l}{N}_2=\frac{D}{\Delta }{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-2}{b}^{-\frac{1}{2}}{\phi }_{0,1}^1\left(b,b\right)\{{\eta }_2{Y}_{l_2+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}c\right)\left[G{\phi }_{1,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{1,1}^3\left(c,d\right)\right]\\ -{\eta }_1{c}^{-\frac{1}{2}}\left[\left(l_2+1\right)c^{-\frac{1}{2}}{Y}_{l_2+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}c\right)-c^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}{Y}_{l_2+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n2}}{a_2}c\right)\right]\left[G{\phi }_{0,0}^3\left(c,d\right)+H{\phi }_{0,1}^3\left(c,d\right)\right]\},\end{array}$ (24)

$\begin{array}{l}{M}_3=\frac{D}{\Delta }{\left(bc\right)}^{-\frac{1}{2}}{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-2}{\phi }_{0,1}^1\left(b,b\right){\phi }_{0,1}^1\left(c,c\right)\{G{d}^{\frac{1}{2}}{J}_{l_3+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n3}}{a_3}d\right)\\ +H\left[\left(l_3+1\right)d^{-\frac{1}{2}}{J}_{l_3+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n3}}{a_3}d\right)-d^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{n3}}{a_3}{J}_{l_3+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n3}}{a_3}d\right)\right]\},\end{array}$ (25)

$\begin{array}{l}{N}_3=-\frac{D}{\Delta }{\left(bc\right)}^{-\frac{1}{2}}{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-2}{\phi }_{0,1}^1\left(b,b\right){\phi }_{0,1}^2\left(c,c\right)\{G{d}^{\frac{1}{2}}{Y}_{l_3+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n3}}{a_3}d\right)\\ +H\left[\left(l_3+1\right)d^{-\frac{1}{2}}{Y}_{l_3+\frac{1}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n3}}{a_3}d\right)-d^{\frac{1}{2}}\frac{{\mu }_{n3}}{a_3}{Y}_{l_3+\frac{3}{2}}\left(\frac{{\mu }_{n3}}{a_3}d\right)\right]\}.\end{array}$ (26)

将式(21)~(26)代入Riccati-Bessel方程的通解式(12)中，并结合式(2)~(5)和式(9)~(11)进行整理即可得到三区复合型Riccati-Bessel方程的相似结构解为式(6)、式(7)、式(8)。

在实际工程问题研究中，经常需要应用以下推论：

推论1 对于三区复合型Riccati-Bessel方程边值问题(1)，若内边界条件是 ${y_1|}_{x=a}=1$ ，则

$y_1={\Phi }_1\left(x\right),$ (27)

推论2 对于三区复合型Riccati-Bessel方程边值问题(1)，若外边界条件是 ${y_3|}_{x=d}=0$ ，则外区相似核函数为

${\Phi }_3\left(x\right)=\frac{{\phi }_{0,0}^3\left(x,d\right)}{{\phi }_{1,0}^3\left(c,d\right)},$ (28)

推论3 对于三区复合型Riccati-Bessel方程边值问题(1)，若外边界条件是 ${y_3{}^{\prime }|}_{x=d}=0$ ，则外区相似核函数为

${\Phi }_3\left(x\right)=\frac{{\phi }_{0,1}^3\left(x,d\right)}{{\phi }_{1,1}^3\left(c,d\right)},$ (29)

推论4 对于三区复合型Riccati-Bessel方程边值问题(1)，有

${\left[y_1\left(x\right)+F{y}_1{}^{\prime }\left(x\right)\right]|}_{x=a}=\frac{D}{E+\frac{1}{F+{\Phi }_1\left(a\right)}}.$ (30)

4. 相似构造法的求解步骤

根据上面的论述，可将相似构造法求解三区复合型Riccati-Bessel方程边值问题(1)的步骤归纳如下：

第一步，构造内区、中区、外区引解函数

求解出边值问题(1)中3个定解方程 $x^2{y}_i{}^{\prime \text{}\prime }+\left[{\left(\frac{{\mu }_{ni}}{a_i}\right)}^2{x}^2-l_i\left(l_i+1\right)\right]y_i=0\left(i=1,2,3\right)$ 的各自的线性无关

解，再根据引理2，得到内区、中区、外区引解函数。

第二步，构造内区、中区、外区相似核函数

利用外边界的系数G、H和外区引解函数构造外区相似核函数 ${\Phi }_3\left(x\right)$ ，即式(9)；其次利用衔接面条件系数 ${\eta }_1$ 、 ${\eta }_2$ 、中区引解函数和 ${\Phi }_3\left(c\right)$ 构造中区相似核函数 ${\Phi }_2\left(x\right)$ ，即式(10)；最后利用衔接面条件系数 ${\gamma }_1$ 、 ${\gamma }_2$ 、内区引解函数和 ${\Phi }_2\left(b\right)$ 构造内区相似核函数 ${\Phi }_1\left(x\right)$ ，即式(11)。

第三步，构造内区、中区、外区相似结构解

利用内区相似核函数 ${\Phi }_1\left(x\right)$ ， ${\Phi }_1\left(a\right)$ 和内边界条件系数 $E、F、D$ 构造内区解 $y_1$ ，即式(6)；其次利用部分内区解、中区相似核函数 ${\Phi }_2\left(x\right)$ ， ${\Phi }_2\left(b\right)$ 、衔接面条件系数 ${\gamma }_1$ 、 ${\gamma }_2$ 和中区引解函数构造中区解 $y_2$ ，即式(7)；最后利用部分中区解、外区相似核函数 ${\Phi }_3\left(x\right)$ ， ${\Phi }_3\left(c\right)$ 、衔接面条件系数 ${\eta }_1$ 、 ${\eta }_2$ 和外区引解函数构造外区解 $y_3$ ，即式(8)。

5. 实例

求解如下具体的三区复合型Riccati-Bessel方程边值问题( $\frac{\mu {}_{n1}}{a_1}=1,\frac{\mu {}_{n2}}{a_2}=2,\frac{\mu {}_{n3}}{a_3}=3,l_1=1,l_2=2,l_3=3,$ ${\gamma }_1={\eta }_1=1,{\gamma }_2={\eta }_2=2,a=1,b=2,c=3,d=4,D=2,E=2,F=3,G=3,H=4$ )

$\{\begin{array}{l}{x}^2{y}_1{}^{\prime \text{}\prime }+\left[x^2-2\right]y_1=0,\left(1\le x\le 2\right)\\ x^2{y}_2{}^{\prime \text{}\prime }+\left[4x^2-6\right]y_2=0,\left(2\le x\le 3\right)\\ x^2{y}_3{}^{\prime \text{}\prime }+\left[9x^2-12\right]y_3=0,\left(3\le x\le 4\right)\\ {\left[2y_1+7y_1{}^{\prime }\right]|}_{x=1}=2,\\ {y_1|}_{x=2}={y_2|}_{x=2},{y_1{}^{\prime }|}_{x=2}={2y_2{}^{\prime }|}_{x=2},\\ {y_2|}_{x=3}={y_3|}_{x=3},{y_2{}^{\prime }|}_{x=3}={2y_3{}^{\prime }|}_{x=3},\\ {\left[3y_3+4y_3{}^{\prime }\right]|}_{x=4}=0,\end{array}$ (31)

对于边值问题(31)， $\sqrt{\frac{\pi x}{2}}{Y}_{\frac{3}{2}}\left(x\right)$ 和 $\sqrt{\frac{\pi x}{2}}{J}_{\frac{3}{2}}\left(x\right)$ 是内区定解方程 $x^2{y}_1{}^{\prime \text{}\prime }+\left[x^2-2\right]y_1=0$ 的两个线性无关解； $\sqrt{\frac{\pi x}{2}}{Y}_{\frac{5}{2}}\left(2x\right)$ 和 $\sqrt{\frac{\pi x}{2}}{J}_{\frac{5}{2}}\left(2x\right)$ 是中区定解方程 $x^2{y}_2{}^{\prime \text{}\prime }+\left[4x^2-6\right]y_2=0$ 的两个线性无关解； $\sqrt{\frac{\pi x}{2}}{Y}_{\frac{7}{2}}\left(3x\right)$ 和 $\sqrt{\frac{\pi x}{2}}{J}_{\frac{7}{2}}\left(3x\right)$ 是外区定解方程 $x^2{y}_3{}^{\prime \text{}\prime }+\left[9x^2-12\right]y_3=0$ 的两个线性无关解。

对于上述边值问题，传统的求解方法是利用待定系数法 [15] 。首先求出定解方程的通解，然后对通解进行求导运算，再代入内边界、衔接和外边界条件得到一个线性方程组，最后利用Gramer法得到边值问题的解。待定系数法计算过程非常复杂，无法避免繁琐的导数计算。而相似构造法简化了计算过程，消除了导数计算的必要性，使用引解函数、相似核函数、内外边界和衔接条件系数组合即可得到边值问题的解。

第一步：构造内区、中区、外区引解函数

利用内区、中区、外区定解方程的线性无关解分别构造对应的引解函数，即

内区引解函数：

${\phi }_{0,0}^1\left(x,\xi \right)=\frac{\pi }{2}\sqrt{x\xi }{\psi }_{\frac{3}{2},\frac{3}{2}}\left(x,\xi ,1\right),$

${\phi }_{0,1}^1\left(x,\xi \right)=\frac{\pi }{2}\sqrt{\frac{x}{\xi }}\left[2{\psi }_{\frac{3}{2},\frac{3}{2}}\left(x,\xi ,1\right)-\xi {\psi }_{\frac{3}{2},\frac{5}{2}}\left(x,\xi ,1\right)\right],$

${\phi }_{1,0}^1\left(x,\xi \right)=\frac{\pi }{2}\sqrt{\frac{\xi }{x}}\left[2{\psi }_{\frac{3}{2},\frac{3}{2}}\left(x,\xi ,1\right)-x{\psi }_{\frac{5}{2},\frac{3}{2}}\left(x,\xi ,1\right)\right],$

${\phi }_{1,1}^1\left(x,\xi \right)=\frac{\pi }{2}\sqrt{\frac{1}{x\xi }}[4{\psi }_{\frac{3}{2},\frac{3}{2}}\left(x,\xi ,1\right)-2\xi {\psi }_{\frac{3}{2},\frac{5}{2}}\left(x,\xi ,1\right)-2x{\psi }_{\frac{5}{2},\frac{3}{2}}\left(x,\xi ,1\right)+x\xi {\psi }_{\frac{5}{2},\frac{5}{2}}\left(x,\xi ,1\right)].$

中区引解函数：

${\phi }_{0,0}^2\left(x,\xi \right)=\frac{\pi }{2}\sqrt{x\xi }{\psi }_{\frac{5}{2},\frac{5}{2}}\left(x,\xi ,2\right),$

${\phi }_{0,1}^2\left(x,\xi \right)=\frac{\pi }{2}\sqrt{\frac{x}{\xi }}\left[3{\psi }_{\frac{5}{2},\frac{5}{2}}\left(x,\xi ,2\right)-2\xi {\psi }_{\frac{5}{2},\frac{7}{2}}\left(x,\xi ,2\right)\right],$