1. 前言
上世纪70年代,Keller和Segel提出了生物趋化模型,它简单而又直观地刻画了生物有机体受化学信号刺激所产生的趋向性运动,在生物学、医学、环境科学等领域有着重要的应用。对于如下带logistic源的趋化消耗模型:
(1.1)
其中
为有界光滑区域,
代表趋化强度,
,并且logistic源中
,
。
分别表示细胞密度和氧气的浓度。另外,初始数据
和
非负。
现回顾模型(1.1)的相关结论。若
,文献 [1] 证明了当
时,模型存在全局有界的古典解;当
充分大时文献 [2] 建立了模型古典解的整体有界性,并且
时收敛到
。
若
,当
或
且对
再进行限制,文献 [3] 得到了模型(1.1)古典解在时间上的有界性和长时间行为;当
,文献 [4] 证明了
或
且
古典解的整体有界性。另外,将(1.1)中第一个方程变成拟线性形式:
,其中
(
是非减的),并且
,文献 [5] 证明了当
时,系统存在整体有界的古典解。
本文受以上结论启发,研究一维情形下带logistic源及具次线性敏感的趋化消耗模型:
(1.2)
其中
,
,
,
和
,
为有界区间。
根据以上假设,可以得到系统(1.2)古典解的整体有界性。
定理1.1 设
,
,
和
。有
(1.3)
其中
。
注 文献 [4] 证明了一维情形下,当
时,模型古典解的整体有界性。与文献 [4] 不同,若
,定理1.1证明了
及
时模型古典解的整体有界性。
2. 预备知识
根据Banach不动点理论,可以得到如下古典解局部存在性,参见 [4] 。
引理2.1 假设
和
是非负的。若
,
,
,
,
,则存
在
及唯一非负函数
在古典解意义下满足系统(1.2)。另外,当
时,
。
引理2.2 设
,
,
,
,
,则
(2.1)
(2.2)
证明 根据(1.2)的第一个方程,知
由Hölder不等式有
应用伯努利不等式即得(2.1)。由抛物方程的极值原理易得(2.2)。
3. 主要结果
引理3.1 设
,
,
,
,
。若
,则
(3.1)
证明 根据(1.2)的第一个方程,利用分部积分及Young不等式,知
将上式进行移项即得(3.1)。
根据文献 [5] 中引理3.3,3.4和3.5,有
引理3.2 设
,
,
,
,
。若
,则存在
,使得
(3.2)
引理3.3 设
,
,
,
,
。定义
若
,
,则存在
,使得
(3.3)
证明 将(3.1)与(3.2)相加,有
(3.4)
由Young不等式,存在
,有
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
取
,将(3.5),(3.6),(3.7),(3.8)代入到(3.4)中可得(3.3)。
引理3.4 设
,
,
,
。对于
,存在
,使得
(3.9)
证明 取
,
。根据引理2.2与Gagliardo-Nirenberg不等
式及Young不等式,有
(3.10)
和
(3.11)
其中
。
将(3.10),(3.11)代入(3.3),并应用引理2.2,存在
,有
应用常数变易法得到
定理1.1 证明 由热半群表示,知
(3.12)
。利用文献 [6] 中Neumann热半群的
估计,对
有
(3.13)
其中
。由引理3.4,有
其中
。进一步,利用Young不等式及(2.2),存在
,使得
(3.14)
类似地,根据半群理论可以证得
。进而由引理2.1知
。
令
,
则
通过热半群表示,知
(3.15)
应用Neumann热半群估计,对
,有
(3.16)
其中
。对(3.16)应用引理3.3及(2.2),可得
。