1. 问题提出

21世纪的社会发展要求人才的多样化、层次化、创造化、实践化，为了适应新时代的变化，中学课程也作出了相应的改变，推出了系列拓展性课程，完善教学体系建设。它主要作用于普通中小学，目的是为了延伸学生知识激发其潜能，并且给未来学习方向提供重要参考 [1] 。以国家总体改革为旗帜、学科自身发展为动力、相关课程标准为指南、学校具体要求为目标、学生终生成长为结果，培养现代化服务型人才，以满足各行各业的需求。2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》 [2] 。“双减”政策的施行对于拓展性课程的开展起到助推剂的作用，也是课程转型的要求使然。随着教育改革的深入，拓展性课程在学校课程中的地位逐渐提高，尤其是义务教育阶段。然而，与之相近的普通高中对于拓展性课程的关注明显不够。众多实践研究表明，大量学校为了追求教学成绩，依然采用“唯分数论”思想，淡化了学科课程核心知识以外的教育。以致教师为了完成教学进度，盲目提升教学速率，将拓展性内容不断压缩，甚至直接跳过。

高中数学拓展性课程意在吸引学生的学习注意力，拓宽知识面，培育学生数学核心素养，是在完成数学基础性课程之上进行的内容延伸。在一线的教学实际中，数学拓展性课程容易沦为数学基础性课程的附属物。对比于基础性课程有鲜明的教学载体和教学模式，能提供具体的教学设计，拓展性课程的活动设计缺乏实际经验。一个完整课时的预设方案可能达不到预料效果，其中每一环节的设置都是需要实践来进行检验的，鉴于教师缺少参考案例，对该课程的操作度并不熟练，往往就形成了“高值低效”的结果 [3] 。由此可见，拓展性课程则仍处于摸索阶段，需要不断完善来构建系统的拓展性课程。文章针对当前普通高中阶段数学拓展课程的教学现状，探索开发路径以及教学策略，以期为学校开发和实施拓展性课程给出参考性建议。

2. 数学拓展性课程特性

数学拓展性课程是以促进学生全面发展为目标，坚持学生的主体性，满足个性化的学习需要。作为基础性课程的补充，内容表现一脉相承，同时也将更多知识进行拓展延伸，对于学生的认知体系建构起到至关重要的作用。它本身具有独特的风格，主要的课程特性包含以下方面。

2.1. 多元性

拓展性课程一般是考虑到区域协调发展，根据地方特色由政府及学校共同开发和实施。合理规划校内、校外资源，充分调度各级人员分工协作，完善课程模块。选用的主题和案例种类繁多，章节架构有条不紊，内容样式丰富多彩。数学类拓展性课程以数学知识为根基，同时与其他学科也进行了深度融合，实现跨学科设计。多种类型的叠加，也使得学生学习的过程中能够包罗万象。不仅了解本学科的内容，也可以探索学科外的知识，满足不同学生的学习需要。

2.2. 发展性

拓展性课程的搭建是立足于地域特征和学校建设，随着时代的更迭和岁月的流逝，这些长期的稳定形态也会逐渐发生变化。拓展性课程更是如此，它不是一层不变，需要用发展的眼光去看待。知识时代，信息的更新速度远超想象，特别是流媒体的广泛使用，例如抖音、微视等软件。对于妥善利用时间的学习者来说，大家在娱乐的同时，也能汲取到很多知识。从基础课程来看，它的开发、设计、实施会经历较长一段时间，例如人教版教材大概12年更换一次。拓展性课程与基础性课程不同，它的适用年限可以适时下调，3~5年进行调整，紧随时代潮流，将最新最重要的资源进行整合，完整地呈现给学习者。

2.3. 创造性

《普通高中数学课程标准(2017年版2022年修订)》明确指出要使学生得到全面发展，增强探究合作意识，促进创新本领养成 [4] 。拓展性课程应该多以创新内容为主，增加学生未曾谋面的内容，让学生自主的发动大脑去搜索以前的知识，并且通过合理利用解决问题。拓展性课程有别于基础性课程的固定内容，开发者可以适时加入新型元素，以某个知识点为触手，提供不同角度的方法、技巧，解答数学知识难题，挖掘学生的潜能，培养数学高阶思维能力。不断向外发散，形成庞大的知识网络体系。

2.4. 生活性

拓展性课程是对基础性课程的弥补，是连接学科知识与生活实际的桥梁。内容分布多以实际应用为主体，渗透各种学科思想。在课程制作的过程中应该邀请不同的教育群体给出综合性的意见，集思广益。例如高校教师、教育研究员、一线中小学教师以及一些其他的教育工作者，结合自身的生活经验，设置贴近教学的内容。充分考虑到学生的心理发展与承受能力，多添加趣味生活案例，激发学生的学习兴趣，并且产生与自我生存环境的共鸣。教学案例要体现理论与实践的结合，具有生活化气息，尽量做到与社会接轨，兼顾到各行各业的需求。

3. 数学拓展性课程教学策略

数学拓展性课程的面向对象主要是普通中小学学生，它的实施与平常的基础性课程基本一样，教师需要预先谱写完整的教学设计，选用合适的教学策略进行教学。通过对普通高中数学拓展性课程的研究，给出如下教学策略。

3.1. 搭建趣味情境激发学生兴趣

高中数学教学内容的难度和篇幅相比于初中阶段有了较大提升，并且多以理论形式出现，教师的言传身教依旧是一线教学的主打方式。只是一味平铺直叙地向学生传递知识，往往学生会容易陷入被动接受学习的疲惫感，久而久之，更强烈的厌恶感也会出现，导致大量学生出现厌学、放弃的念头。因此，搭建一个贴近知识原型的情境是必要的。它可以让学生对于新知识产生浓烈兴趣，减少适应新知所需的时间，激发自我学习的意愿。同时，也需要注意情境的科学恰当性，要能紧扣教学的主题，并且符合学生当下阶段的认知水平，不宜过高，也不能太低。由于国家性的教材往往使用年效比较长久，那么在整体情境的设计开发中需要考虑到前瞻性，紧贴时代发展的潮流。

良好的教学情境还可以为多个知识点搭建桥梁，起到自然过渡的作用。例如，在平面向量与空间向量的学习中，为了将几何代数化，引入了向量的坐标表示。又由二维发展到三维，增加z坐标轴，形成o-xyz坐标系，将研究范围进一步扩大至空间。整个内容在学科课程中横跨人教A版必修二和选择性必修一两本教材，间隔四章内容。在拓展性课程的开发中，可以设置完善的情境流程，以“解决实际生活中向量间的加减问题”为起始点，将“形数结合”作为导向，然后在思考进行中提升“问题维度”，最后再作用于“现实问题”，将这两部分的内容进行融合。因此，情境的设计并不统一，以学生的更好理解和感悟作为目标，对于不同的拓展性课程，可以选择不同类型的情境，形成丰富多样化的教学方式。

3.2. 设置问题链贯穿教学过程

从教师的教学设计方面来看，教学目标奠定了整节课的动态走向，是教师想要传递给学生知识的外在体现，它一般都是期望学生能够达到某种程度，解决某些问题。对于学生来讲，从问题的提出到问题的解决，不单单就只是这一个问题，一般会进行追根溯源，由最终需要解决的问题，不断向前进行逆推，形成一系列问题链，串联教学过程 [5] 。例如，在证明空间中面面垂直的判定定理的过程中，需要得到的是线面垂直，线面垂直的证明又需要倒推出线线垂直。因为每一步的问题都可以单独作为一个子问题进行研究，于是就可以形成“线线垂直→线面垂直→面面垂直”的完整问题串。在解决问题的过程中，学生也会领悟到将大问题逐步细分为小问题的感受，由复杂新知的探索解决回落至旧知或者简单新知，最终根据原本的基础问题解决实际所求问题。

从学生的学习进程来看，问题的解决是循序渐进的，会经历过许多基础的小型阻碍，需要把它们当作跳板，一步步地跨越这些难题。这些跳板的设置需要具有层次性和逻辑性，保证是通向最后的胜利。学生也能在一步步地上升中，提高理论知识与思想高度，更加全面地去分析解决问题，这对于数学核心素养地贯彻是非常有必要的，培养学生观察世界的数学眼光、思考世界的数学思维、表达世界的数学语言，将数学思想融入实际行动之中。

3.3. 增加交互设计引导师生沟通

教学从来不是教师的独角戏，更多的时候应该关注到学生的动态，使学生在教师的引导下能够主动地思考。最终学生获得知识体系和人生经验，培养出人格健全、全面发展的人才。在《2017年版普通高中数学课程标准》中指出“教师为主导，学生为主体”的要求。因此，在一线的课堂教学中，教师不能只是照本宣科的独自表演，应该设置师生互动环节，在双方的有效沟通中进行知识的传递。交互的形式可以是多种多样的，抛出问题让学生回答，提出想法与学生共同讨论，选择课题让学生上台展示等，主要是体现出老师与学生在课堂上思想交流火花的碰撞。

在现实世界中的交互，更多呈现出来的是人与人之间的交流，这与教学的基调是一致的。整个教室就是一个社会，每一个小组是不同的派别，大家有着共同想法的同时，也保留着自己独特的见解。因此，就会形成各个小组与老师之间的相互讨论以及自身的保留意见。例如，在教学指数函数图像的性质时，教师不急于给出结果。主动权应该交予学生自己，让学生通过之前学习过的五点作图法动手画出 $\text{y}=2^x$ 与 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 的图像，然后提出有关问题让学生思考：这两个图像有什么特征呢？是不是所有指数函数的图

像都是这样的呢？

3.4. 明确内容主题驱动任务完成

在课堂教学中，明确教学内容的主题是必要前提，也是贯穿整节课堂的中心主旨。只有知道了“教什么”，才会进行下一步的“怎么教”以及“为什么教”。高中数学主要可以分为四大主线，分别为函数、几何与代数、统计与概率、数学建模活动与数学探究活动 [6] 。每个主线下又细分出不同的知识群体，有着自己的独特主题。在教学实践中，需要紧扣住这些主题，然后发散出相关知识点，了解其含义、性质、关系以及应用等。在主题的牵引下，教师能更好地向学生传递本节课堂需要掌握的知识，学生也能随着主题的导向，逐步寻找线索，迈向成功的口岸。主题式教学也是当今拓展性课程较为流行的教法，它以不同的模块分主题式展开排列，学生可以接受更加复杂的内容，提升高阶思维，锻炼人格品质。

主题能决定整节课的教学方向，不同主题的课堂对于教学方式的选择也不尽相同 [7] 。例如，“最值问题”一般以不等式或者函数单调性来求解，在规定的取值范围下得到最小值或者最大值。“函数零点问题”多以数形结合的形式出现，通过作图，得到图像的交点个数即为所求。“概率问题”多以分布列的样式解决，通过对题目材料进行分析，判断出是二项分布、超几何分布还是正态分布，获取值与所占比例或概率，列出表格，最后选用合适的解法得到所需结果。在主题的交相辉映下，教学的目的与层次变得更加明显，教学的设计与开发也更加优化。

4. 数学拓展性课程开发路径

4.1. 图形结合，丰富数学教育内容

高中数学施行的教材偏向成熟风，这与本阶段的学习者心理成长的程度相适应，但也不乏一些图形的解释说明。在不同的章节内容之间，以点缀式、附加式、复制式、顺应式和复制式等形式散布，增添了教材的活力，掩盖了纯文本的枯燥。同时也丰富了教学内容，使之有了更多的可能性。

图1是关于数学与物理融合的图形结合例题，对于大部分学生来说，数学与物理是高考中的重难点学科，将两者放在一起，更是使学生难以承受 [8] 。右边的小图形不仅可以缓解学生自身的压力，更能够使之完善地理解题目含义。

4.2. 实践操作，落实数学探究活动

学科课程对于理论知识的传播影响巨大，注重过程与方法的掌握。理论会使学生停留在纸张之上，无法真切地感受到现实的魅力。学生最终是要面向社会，成为一个学会独立生存的个体。光有理论的支撑不足以形成稳固的生存技能，需要有实践操作的空间。自己的动手实操，不仅能懂得该课题的实际目的与意义，也能了解每一步的详细过程，知晓利弊，不断地提升与进步。因此，实践操作也是必不可少的，在拓展性课程中应该着重强调数学类实验。

数学类探究活动是一种层次较高、活泼生动的教育活动。它展示着数学的神奇智慧和艺术魅力。在学生的探索过程中，能起到开发智力的作用，使其亲身感受到数学思想的魅力无穷，数学方法的优异独特。使学生不断燃起探知数学的欲望，并且在其中找到数学乐趣，产生对数学的憧憬。在高中阶段，程序设计、图形显示、方程求解、数值计算、函数迭代、几何证明、概率统计、优化问题、轨迹问题、回归分析等都可以选取恰当的探究实验，使教学与自身发展有机融合。图2是高中函数中关于圆锥曲线的探究活动，关于椭圆是如何形成的 [9] 。如果只是单纯地向学生介绍椭圆的轨迹与画法，他们并不能深刻地体会到椭圆的来源，教师布置探究任务，邀请学生上讲台实际操作，根据提示一步步画出图形，感受到画图的魅力以及完成任务的喜悦感。

4.3. 技术辅助，提升数学教学效率

随着科学技术的迅猛发展，大数据、人工智能、虚拟现实等已经深入大众生活 [10] 。在教育实践中，信息技术早已成为了必不可少的教学手段。它能够提升教学效率，贡献更佳的教学成果。它不仅是解决数学问题的重要工具，同时也是促进理解的数学认知工具。在整个信息技术与数学教学融合的大环境中，将教师、学生、教材合理地进行融合，是数学教育与数学改革的重点。将文字、影音、图像等有机融合，用最精简的方式表达出最多样化的内容，体现出它的容量大、机动性高、趣味性强的特色，教学环境的改善、教学手段的更新为数学教学带来了新的活力。

在高中数学教学中，信息技术的使用能够提高学生对问题的观察、分析、解决和应用，让学生置身其中，产生与教学内容的共鸣。同样地，提高了学生的动手能力，模拟知识的发生过程，揭示数学规律，有助于学生的自主学习探索。它也能使知识的呈现更加直观，将数学知识还原到实际生活与具体事物中，减少学生对于数学问题的抽象化。给予他们身临其境的感觉，在数学内容与学习者之间架起一座明晰的桥梁。例如，对于指数函数图像与性质的研究，如图3所示。在以往的教学中，由于时代与技术的限制，教师只能列举出几个重要的特例使学生被动的接受记忆。利用信息技术，可以快速地展示底数不同的指数函数的走势，并且能够详细地观察它们的变化过程，使学生自己动手，真切地感受函数的变化过程。同时，在日常教学中逐渐摸索和体会信息技术与数学教学相整合的经验，更重要的是还要合理运用现代信息技术，优化高中数学课堂教学，不断从中获取经验教训。

4.4. 文化陶冶，贯彻数学核心素养

西方主要的数学著作《几何原本》注重对于知识的详细解释说明，中方的《九章算术》则以解决实际应用问题为主。双方的作用方式虽然不尽相同，但是都体现了数学文化的璀璨文明。数学文化是数学知识的图腾，代表着数学发展的脉络。对于中国古代传统数学中的逻辑与算法，应该吸收所有对于人类有益的文化创造，西方的文化信仰可以借鉴，取其精华，去其糟粕，将民族性与世界性合理地结合。

图4是关于解析几何创始人费马的介绍，它能够让学生对于这部分高中难度较大内容理解得更加透彻，这些历史人物创建数学体系的过程与精神也会带给后人长久思考。可以适时地在教材中穿插数学有关的背景知识，如《周髀算经》、珠算等中国传统数学成就和祖冲之、华罗庚、陈景润等数学家的事迹。结合教材内容和编排，将数学文化有机地融入教材中，帮助学生在学习数学知识的同时，更深入地理解数学的本质和作用，增强他们的学习兴趣和动力，提高他们的数学素养和综合素质。

5. 总结

第一，拓展性课程作为学科课程的延伸，旨在培育学生的自主探究意识，开拓学生眼光。它所传递和表达的内容需要具有较强的综合性，在设计与开发的过程中不能只局限于某一种形式，可以采取多种样式进行融合。各个模块的内容在互相分离的同时，也应该考虑到学习者自身的接受状况来进行排版。选取的案例要具有代表性，能突出本节课所想要表达的主题。例习题的设置可以具有一定的深度与难度，有利于学习者的自我探索与思考。作为学生学习的后续课堂，它的重要程度不言而喻。开发者们应该考虑到众多影响因素，更好地建设拓展性课程。

第二，教育者对于拓展性课程应该加以重视，不能仅仅将其作为学科课程的附属物。决策者也应该扩大拓展性课程的影响，呼吁更多的教育团队研究、分析其教育原理、内容、意义等。在教学实际中，需要将拓展性课程摆上台面，加大其课时量。新课标强调在掌握了基础性知识的同时，需要了解相应的拓展性内容，注重学生能力的提升。要摆正拓展性课程的位置，以学生的思想和行动作为培养要素，重视核心素养的建立。符合新时代教育的特征，凸显数学教育特色。

参考文献