1. 引言

在自然界中，细菌种群的运动与其生存环境密切相关。特别地，周围环境中化学物质的代谢、液体的流动以及空气–液体接触面的物质交换等对细菌种群运动的方向、速率和稳态行为有相当复杂的影响。通过细致观察和分析悬浮液中好氧细菌的趋化运动现象，Tuval等 [1] 2005年报告了一种有趣的“趋化抵制效应”(chemotactic Boycott effect)机制，该机制说明悬浮液中细菌的集体运动可以提高种群的生存能力，并得到如下趋化–流体耦合方程组

$\{\begin{array}{ll}{n}_t+u\cdot \nabla n=\text{Δ}n-\nabla \cdot \left(nS\nabla c\right),\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ c_t+u\cdot \nabla c=\text{Δ}c-nf\left(c\right),\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ u_t+\kappa \left(u\cdot \nabla \right)u+\nabla P=\text{Δ}u+n\nabla \varphi ,\nabla \cdot u=0,\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \end{array}$ (1)

其中 $\Omega \subset {ℝ}^N$ ，未知函数n表示细菌种群密度，c表示化学信号浓度， $u$ 和P分别表示流体速度场和相应的标量压力，参数 $\kappa \in ℝ$ 刻画了非线性对流项的强度，S表示趋化灵敏度函数并且可能依赖于变量n，c和x的取值。 $\varphi$ 和 $f\left(c\right)$ 分别表示给定的重力势函数和氧气消耗率。

由于生物背景的多样性和重要性，许多学者致力于结合不同的生物背景研究方程组(1)在不同的初边值条件下解的性质，并且已经取得了重大的进展。当 $\Omega \subset {ℝ}^N$ 是一个边界光滑的有界区域，考虑方程组(1)在Neumann-Neumann-Dirichlet边界条件下的初边值问题，即未知函数满足( $\upsilon$ 为边界 $\partial \Omega$ 上的单位外法向量)

$\nabla n\cdot \upsilon =\nabla c\cdot \upsilon =0,u=0,x\in \partial \Omega ,t>0$ . (2)

当 $S\equiv 1$ 时，Winkler [2] 已经证明 $N=2$ 时方程组(1)经典解整体存在且唯一； $N=3$ 且 $\kappa =0$ 时，方程组(1)弱解整体存在。之后，模型(1)~(2)及其变体解的整体有界性、最终光滑性和大时间渐近行为等被广泛研究 [3] [4] [5] [6] 。特别地，Painter和Hillen [7] 发现细菌的趋化运动存在“体积填充”效应(volume-filling effect)，此时趋化灵敏度函数 $S=S\left(n,c,x\right)$ 满足代数衰减条件 $\left|S\left(n,c,x\right)\right|\le C{\left(1+n\right)}^{-\alpha }$ 。文献 [8] 基于该衰减条件证明得到 $N=3$ 时，对任意的 $\alpha >\frac{1}{6}$ ，模型(1)~(2)存在整体经典解。进一步地，文献 [9] 将文献 [8] 的指标范围提升到 $\alpha >0$ 。另外，当 $N=2$ ，灵敏度函数S为矩阵值函数时，Cao [10] 证得小初值条件下，模型(1)~(2)有整体经典解。

上述研究均是在Neumann信号边界条件下进行。然而，某些情况下，Dirichlet信号边界条件更能反映客观实际。由于氧气在空气中的扩散速率比在水中强，所以文献 [1] 的理论和数值分析都假定在空气–液体接触面(区域边界部分)有一个固定的氧气浓度。因此，学者们开始考虑方程组(1)在Neumann-Dirichlet-Dirichlet型边界条件

$\begin{array}{cccc}\left(\nabla n-nS\nabla c\right)\cdot \upsilon =0,& c=c_{\ast },& u=0,& \begin{array}{c}x\in \partial \Omega ,t>0\end{array}\end{array}$ (3)

下解的性质。Wang等 [11] 2021年证明 $N=3$ 且 $\kappa =0$ 时，方程组(1)在条件(3)下存在整体广义解。之后，Tian和Xiang [12] 在2023年讨论方程组(1)中 $\Delta n$ 被 $\nabla \cdot \left(n^{m-1}\nabla n\right)$ 替换时，弱解的整体存在性。此外，文献 [13] 中证明 $N=2$ 时，若 ${\Vert n_0\Vert }_{L^1\left(\Omega \right)}{\Vert c_0\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}^2$ 足够小，则方程组(1)存在整体经典解。受上述工作的启发，本文考虑如下一类边界上具有规定化学信号浓度的趋化–流体耦合模型

$\{\begin{array}{ll}{n}_t+u\cdot \nabla n=\text{Δ}n-\nabla \cdot \left(n{\left(1+n\right)}^{-\alpha }\nabla c\right),\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ c_t+u\cdot \nabla c=\text{Δ}c-nc,\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ u_t=\text{Δ}u+\nabla P+n\nabla \varphi ,\nabla \cdot u=0,\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ \left(\nabla n-n{\left(1+n\right)}^{-\alpha }\nabla c\right)\cdot \upsilon =0,c=c_{\ast },u=0,\hfill & x\in \partial \Omega ,t>0,\hfill \\ n\left(x,0\right)=n_0\left(x\right),c\left(x,0\right)=c_0\left(x\right),u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right),\hfill & x\in \Omega \hfill \end{array}$ (4)

解的整体存在性和有界性，其中 $\Omega \subset {ℝ}^2$ 是一个具有光滑边界的有界区域， $c_{\ast }$ 是固定的非负常数， $\alpha$ 为大于零的数，重力势函数 $\varphi$ 满足 $\varphi \in W^{2,\infty }\left(\Omega \right)$ 。另外，假定初始函数 $\left(n_0,c_0,u_0\right)$ 满足

$\{\begin{array}{l}{n}_0\in C^0\left(\bar{\Omega }\right)\text{,}{n}_0\ge 0且n_0\cancel{\equiv }0,\hfill \\ c_0\in W^{1,\infty }\left(\Omega \right)\text{,}{c}_0\ge 0且c_0|{}_{\partial \Omega }=c_{\ast },\hfill \\ u_0\in W^{2,\infty }\left(\Omega ;{ℝ}^2\right)\text{,}\nabla \cdot u_0=0且u_0|{}_{\partial \Omega }=0.\hfill \end{array}$ (5)

2. 局部存在性和预备引理

为了处理模型(4)的非线性边界条件 $\left(\nabla n-n{\left(1+n\right)}^{-\alpha }\nabla c\right)\cdot \upsilon =0$ ，根据文献 [14] 中正则化处理方式14]，我们定义截断函数族 ${\left({\rho }_{\epsilon }\right)}_{\epsilon \in \left(0,1\right)}$ 和函数 ${\left({\chi }_{\epsilon }\right)}_{\epsilon \in \left(0,1\right)}$ 分别满足 ${\left({\rho }_{\epsilon }\right)}_{\epsilon \in \left(0,1\right)}\subset C_0^{\infty }\left(\Omega \right)$ ， $0\le {\rho }_{\epsilon }\le 1$ ， ${\rho }_{\epsilon }\to 1$ ( $\epsilon \to 0$ )和 ${\left({\chi }_{\epsilon }\right)}_{\epsilon \in \left(0,1\right)}\subset C_0^{\infty }\left(\left[0,\infty \right)\right)$ ， $0\le {\chi }_{\epsilon }\le 1$ ， ${\chi }_{\epsilon }\to 1$ ( $\epsilon \to 0$ )。令

$F_{\epsilon }\left(x,n\right):={\rho }_{\epsilon }\left(x\right)\cdot {\chi }_{\epsilon }\left(n\right)\cdot {\left(1+n\right)}^{-\alpha }$ ，

那么对任意的 $\epsilon \in \left(0,1\right)$ ，模型(4)相应的正则化模型为

$\{\begin{array}{ll}{n}_{\epsilon t}+u_{\epsilon }\cdot \nabla n_{\epsilon }=\text{Δ}{n}_{\epsilon }-\nabla \cdot \left(n_{\epsilon }{F}_{\epsilon }\left(x,n_{\epsilon }\right)\nabla c_{\epsilon }\right),\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ c_{\epsilon }{}_t+u_{\epsilon }\cdot \nabla c_{\epsilon }=\text{Δ}{c}_{\epsilon }-n_{\epsilon }{c}_{\epsilon },\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ u_{\epsilon }{}_t=\text{Δ}{u}_{\epsilon }+\nabla P_{\epsilon }+n_{\epsilon }\nabla \varphi ,\nabla \cdot u_{\epsilon }=0,\hfill & x\in \Omega ,t>0,\hfill \\ \nabla n_{\epsilon }\cdot \upsilon =0,c_{\epsilon }=c_{\ast }\text{,}{u}_{\epsilon }=0,\hfill & x\in \partial \Omega ,t>0,\hfill \\ n_{\epsilon }\left(x,0\right)=n_0\left(x\right),c_{\epsilon }\left(x,0\right)=c_0\left(x\right)\text{,}{u}_{\epsilon }\left(x,0\right)=u_0\left(x\right),\hfill & x\in \Omega .\hfill \end{array}$ (6)

引理1 [13] 假设(5)式成立， $\varphi \in W^{2,\infty }\left(\Omega \right)$ ，那么对任意的 $\epsilon \in \left(0,1\right)$ ，模型(6)存在经典解 $\left(n_{\epsilon },c_{\epsilon },u_{\epsilon },P_{\epsilon }\right)$ 使得

$\{\begin{array}{l}{n}_{\epsilon }\in C^0\left(\bar{\Omega }\times \left[0,T_{\max ,\epsilon }\right)\right)\cap C^{2,1}\left(\bar{\Omega }\times \left(0,T_{\max ,\epsilon }\right)\right),\hfill \\ c_{\epsilon }\in {\cap }_{q\ge 1}{C}^0\left(\left[0,T_{\max ,\epsilon }\right);W^{1,q}\left(\Omega \right)\right)\cap C^{2,1}\left(\bar{\Omega }\times \left(0,T_{\max ,\epsilon }\right)\right),\hfill \\ u_{\epsilon }\in {\cap }_{\vartheta \in \left(\frac{1}{2},1\right)}{C}^0\left(\left[0,T_{\max ,\epsilon }\right);D\left(A^{\vartheta }\right)\right)\cap C^{2,1}\left(\bar{\Omega }\times \left(0,T_{\max ,\epsilon }\right);{ℝ}^2\right),\hfill \\ P_{\epsilon }\in C^{1，0}\left(\bar{\Omega }\times \left[0,T_{\max ,\epsilon }\right)\right)\hfill \end{array}$

成立，其中 $n_{\epsilon }$ 和 $c_{\epsilon }$ 在 $\bar{\Omega }\times \left(0,T_{\max ,\epsilon }\right)$ 上均是非负的， $D\left(A\right)$ 的定义参见文献 [15] 。此外，如果 $T_{\max ,\epsilon }<\infty$ ，那么当 $t\to T_{\max ,\epsilon }$ 时，有 ${\Vert n_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert c_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{W^{1,\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert u_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\to \infty$ 成立。并且对任意的 $\epsilon \in \left(0,1\right)$ 和 $t\in \left(0,T_{\max ,\epsilon }\right)$ 有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)}={\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_0}$ ， ${\Vert c_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le M:=\max \left\{{\Vert c_0\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)},c_{\ast }\right\}$

成立。

引理2 [16] 设 $\left(n_{\epsilon },c_{\epsilon },u_{\epsilon },P_{\epsilon }\right)$ 是正则化模型(6)的经典解。对任意的 $p>1$ 和 $t\in \left(0,T_{\max ,\epsilon }\right)$ ，存在常数 $C>0$ ，有 ${\Vert u_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}\le C$ 成立。

引理3 假设 $\Omega \subset {ℝ}^2$ 是一个具有光滑边界的有界区域， $q>1$ ， $\gamma >1$ ， $\theta \ge \frac{2\gamma }{2\gamma -1}\left(q+1\right)$ 。则存在正常数C和M，只要 $\phi \in C^2\left(\bar{\Omega }\right)$ 且满足 ${\phi |}_{\partial \Omega }=0$ 和 ${\Vert \phi \Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le M$ ，那么不等式

${\Vert \nabla \phi \Vert }_{L^{\theta }\left(\Omega \right)}^{\theta }\le C{\Vert {\left|\nabla \phi \right|}^{q-1}{D}^2\phi \Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^{\frac{\left(2\gamma -1\right)\theta -2\gamma }{q\left(2\gamma -1\right)}}+C$

成立，其中 $D^2\phi$ 表示 $\phi$ 的Hessian矩阵。

证明 根据文献 [16] 中的引理2.7和条件 ${\Vert \phi \Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le M$ 可得结论成立。

3. 经典解的整体存在性和有界性

为证得模型(6)存在整体有界的经典解，还需要建立 $n_{\epsilon }$ 和 $c_{\epsilon }$ 更高的正则性估计。

引理4 设 $\left(n_{\epsilon },c_{\epsilon },u_{\epsilon },P_{\epsilon }\right)$ 是正则化模型(6)的经典解。对任意的 $\alpha >0$ ， $p>1$ ， $q>1$ ， $\epsilon \in \left(0,1\right)$ 和 $t\in \left(0,T_{\max ,\epsilon }\right)$ ，存在常数 $C>0$ ，有

${\Vert n_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}+{\Vert \nabla c_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{2q}\left(\Omega \right)}\le C$

成立。

证明 在模型(6)第一个方程两端同乘 $n_{\epsilon }^{p-1}$ 并在 $\Omega$ 上积分，利用分部积分公式和条件 $\nabla \cdot u_{\epsilon }=0$ 有等式

$\frac{1}{p}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^p}=-\left(p-1\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^{p-2}{\left|\nabla n_{\epsilon }\right|}^2}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }{\rho }_{\epsilon }{\chi }_{\epsilon }{\left(1+n_{\epsilon }\right)}^{-\alpha }\nabla c_{\epsilon }\cdot \nabla n_{\epsilon }^{p-1}}$

成立，再由截断函数的性质和Young不等式可得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^p}+\frac{3\left(p-1\right)}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2}\le p\left(p-1\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^{p-2\alpha }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^2}$ . (7)

根据Hölder不等式，存在 $\theta >1$ 和 ${\theta }^{\prime }=\theta /\left(\theta -1\right)$ 使得当

$\left(p-2\alpha \right){\theta }^{\prime }>1$ (8)

时，有

$p\left(p-1\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^{p-2\alpha }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^2}\le p\left(p-1\right){\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^{\left(p-2\alpha \right){\theta }^{\prime }}}\right)}^{\frac{1}{{\theta }^{\prime }}}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2\theta }}\right)}^{\frac{1}{\theta }}$ (9)

成立。应用Gagliardo-Nirenberg不等式和引理1的质量守恒式 ${\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)}={\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_0}$ ，存在常数 $C_1>0$ 使得

${\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^{\left(p-2\alpha \right){\theta }^{\prime }}}\right)}^{\frac{1}{{\theta }^{\prime }}}\le C_1{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2}\right)}^{\frac{p-2\alpha }{p}-\frac{1}{p{\theta }^{\prime }}}+C_1$ (10)

成立。接下来处理(9)式中 $\nabla c_{\epsilon }$ 项，做变换 ${\hat{c}}_{\epsilon }=c_{\epsilon }-c_{\ast }$ ，则 ${{\hat{c}}_{\epsilon }|}_{\partial \Omega }=0$ 且满足 $\nabla {\hat{c}}_{\epsilon }=\nabla \left(c_{\epsilon }-c_{\ast }\right)=\nabla c_{\epsilon }$ ， $D^2{\hat{c}}_{\epsilon }=D^2\left(c_{\epsilon }-c_{\ast }\right)=D^2{c}_{\epsilon }$ ，根据引理1和引理3可得当

$\theta \ge \frac{{\gamma }_1}{2{\gamma }_1-1}\left(q+1\right)$ (11)

时，有

${\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2\theta }}\right)}^{\frac{1}{\theta }}\le C_2{\Vert {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{q-1}{D}^2{c}_{\epsilon }\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^{\frac{\left(2{\gamma }_1-1\right)2\theta -2{\gamma }_1}{q\theta \left(2{\gamma }_1-1\right)}}+C_2=C_2{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}\right)}^{\frac{\left(2{\gamma }_1-1\right)\theta -{\gamma }_1}{q\theta \left(2{\gamma }_1-1\right)}}+C_2$ ， (12)

其中 $q>1$ ， ${\gamma }_1>1$ 和 $C_2>0$ 。结合(9)，(10)和(12)式以及Young不等式可得当

$\frac{p-2\alpha }{p}-\frac{1}{p}\left(1-\frac{1}{\theta }\right)+\frac{\left(2{\gamma }_1-1\right)\theta -{\gamma }_1}{q\theta \left(2{\gamma }_1-1\right)}<1$ (13)

时，对任意的 ${\eta }_0>0$ 有

$p\left(p-1\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^{p-2\alpha }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^2}\le {\eta }_0\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}}\right)+C_0$ (14)

成立，其中常数 $C_0>0$ 。由文献 [17] 中引理5.7可得对任意的 $q>1$ 有

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q}}+\frac{2\left(q-1\right)}{q}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\right|}^2}+q{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}\\ \le 4q^2{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q}{\left|u_{\epsilon }\right|}^2}+4q^2{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|n_{\epsilon }{c}_{\epsilon }\right|}^2}+q{\displaystyle {\int }_{\partial \Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}\frac{\partial {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^2}{\partial \upsilon }}-2q{\displaystyle {\int }_{\partial \Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}\left(n_{\epsilon }{c}_{\ast }\right)\frac{\partial c_{\epsilon }}{\partial \upsilon }}\\ =:I_1+I_2+I_3+I_4.\end{array}$ (15)

利用引理2和Hölder不等式，Gagliardo-Nirenberg不等式，Young不等式可得当 $r>2$ 时，对任意的 ${\eta }_1>0$ 有

$\begin{array}{c}{I}_1=4q^2{\Vert {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\left|u_{\epsilon }\right|\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2\le 4q^2{\Vert u_{\epsilon }\Vert }_{L^r\left(\Omega \right)}^2{\Vert {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\Vert }_{L^{\frac{2r}{r-2}}\left(\Omega \right)}^2\\ \le C_3\left(C_4{\Vert \nabla {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^{\frac{4}{r}}{\Vert {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^{\frac{2\left(r-2\right)}{r}}+C_4{\Vert {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^{\frac{2\left(r-2\right)}{r}}\right)\\ \le {\eta }_1{\Vert \nabla {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2+C_5{\Vert {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2+C_5\end{array}$ (16)

成立，其中常数 $C_3$ ， $C_4$ 和 $C_5>0$ 。再结合文献 [17] 中引理5.9，做变换 ${\hat{c}}_{\epsilon }=c_{\epsilon }-c_{\ast }$ 可得对任意的 ${\eta }_2>0$ 有

$C_5{\Vert {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\Vert }_{L^2\left(\Omega \right)}^2\le {\eta }_2{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}+{C^{\prime }}_5\left({\eta }_2\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|c_{\ast }-c_{\epsilon }\right|}^{2q}}$ (17)

成立，其中常数 ${C^{\prime }}_5\left({\eta }_2\right)>0$ 。将(17)式代入(16)式并结合引理2.1，存在常数 $C_6>0$ 使得

$I_1\le {\eta }_1{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\right|}^2}+{\eta }_2{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}+C_6$ (18)

成立。之后，类似(14)式的构造，由Hölder不等式，Gagliardo-Nirenberg不等式，引理1，引理3和Young不等式可得当

$2\left(q-1\right)\mu \ge \frac{{\gamma }_2}{2{\gamma }_2-1}\left(q+1\right)$ 和 $\frac{p-2\alpha }{p}-\frac{1}{p}\left(1-\frac{1}{\mu }\right)+\frac{\left(2{\gamma }_2-1\right)\left(q-1\right)\mu -{\gamma }_2}{q\mu \left(2{\gamma }_2-1\right)}<1$ (19)

时，存在常数 $C_7$ ， $C_8$ ， $C_9$ 和 $C_{10}>0$ 使得对任意的 ${\eta }_3>0$ 有

$\begin{array}{c}{I}_2\le C_7{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{\left(2q-2\right)\mu }}\right)}^{\frac{1}{\mu }}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|n_{\epsilon }\right|}^{2{\mu }^{\prime }}}\right)}^{\frac{1}{{\mu }^{\prime }}}\\ \le C_8{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{\left(2q-2\right)\mu }}\right)}^{\frac{1}{\mu }}\left\{{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2}\right)}^{\frac{2}{p}-\frac{1}{p{\mu }^{\prime }}}+1\right\}\\ \le C_9\left\{{\Vert {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{q-1}{D}^2{c}_{\epsilon }\Vert }^{\frac{\left(2{\gamma }_2-1\right)2\left(q-1\right)\mu -2{\gamma }_2}{q\mu \left(2{\gamma }_2-1\right)}}+1\right\}\left\{{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2}\right)}^{\frac{2}{p}-\frac{1}{p{\mu }^{\prime }}}+1\right\}\\ \le {\eta }_3\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2}\right)+C_{10},\end{array}$ (20)

其中 $\mu >1$ ， ${\mu }^{\prime }=\frac{\mu }{\mu -1}$ ， $p>1$ ， $q>1$ ， ${\gamma }_2>1$ 。

由文献 [17] 中边界上的逐点不等式(引理5.8)和引理5.10，结合引理1可得对任意的 ${\eta }_4>0$ 有

$I_3+I_4\le {\eta }_4{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\right|}^2}+{\eta }_4{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}+C_{11}$ ， (21)

其中常数 $C_{11}>0$ 。利用文献 [16] 中的引理2.8可知存在满足(8)，(11)，(13)和(19)式的参数，因此联立(7)，(14)，(15)，(18)，(20)和(21)式，存在常数 $C_{12}>0$ 使得

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left\{{\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^p}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q}}\right\}+\frac{3\left(p-1\right)}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2}+\frac{2\left(q-1\right)}{q}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\right|}^2}+q{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}\\ \le \left({\eta }_0+{\eta }_3\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2}+\left({\eta }_1+{\eta }_4\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\right|}^2}+\left({\eta }_0+{\eta }_2+{\eta }_3+{\eta }_4\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}+C_{12}\end{array}$ (22)

成立。由 ${\eta }_i\left(i=0,1,2,3,4\right)$ 的任意性，可取 $\eta :={\eta }_0+{\eta }_1+{\eta }_2+{\eta }_3+{\eta }_4=\min \left\{\frac{2\left(p-1\right)}{p},\frac{q-1}{q},\frac{q}{2}\right\}$ ，故整理(22)式可得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left\{{\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^p}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q}}\right\}+\frac{p-1}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2}+\frac{q-1}{q}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla {\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^q\right|}^2}+\frac{q}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}\le C_{12}$ . (23)

由Gagliardo-Nirenberg不等式和引理1，存在常数 $C_{13}>0$ ， ${\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^p}\le \frac{p-1}{2p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2}+C_{13}$ 。再由文献 [17] 中引理5.9和本文引理1，存在常数 $C_{14}>0$ ， ${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q}}\le \frac{q}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q-2}{\left|D^2{c}_{\epsilon }\right|}^2}+C_{14}$ 。因此整理(23)式可得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^p}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q}}\right)+\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^p}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q}}\right)+\frac{p-1}{2p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla n_{\epsilon }^{\frac{p}{2}}\right|}^2}\le C_{15}:=C_{12}+C_{13}+C_{14}$ ，

令 $y\left(t\right):={\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^p}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q}}$ ，则有 $y^{\prime }\left(t\right)+y\left(t\right)\le C_{15}$ ，故

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_{\epsilon }^p}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_{\epsilon }\right|}^{2q}}\le \max \left\{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{n}_0^p}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla c_0\right|}^{2q}}\right),C_{15}\right\}$ .

引理5 设 $\left(n_{\epsilon },c_{\epsilon },u_{\epsilon },P_{\epsilon }\right)$ 是正则化模型(6)的经典解。对任意的 $\alpha >0$ ， $\epsilon \in \left(0,1\right)$ 和 $t\in \left(0,T_{\max ,\epsilon }\right)$ ，存在常数 $C>0$ ，有不等式

${\Vert n_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert c_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{W^{1,\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert u_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le C$

成立。

证明 结合引理1和引理4，存在常数 $C_1>0$ ，对任意的 $q>1$ ， $\epsilon \in \left(0,1\right)$ 和 $t\in \left(0,T_{\max ,\epsilon }\right)$ 有 ${\Vert c_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{W^{1,q}\left(\Omega \right)}\le C_1$ 。若引理4中选取 $p>3$ ，根据文献 [14] 的推论3.4，存在常数 $C_2>0$ ，使得 ${\Vert u_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le C_2$ 。再由文献 [18] 引理A.1中Moser迭代方法，可得 ${\Vert n_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}$ 有界。最后，根据文献 [19] 中引理3.7，可得 ${\Vert c_{\epsilon }\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{W^{1,\infty }\left(\Omega \right)}$ 有界。

定理1 假设 $\Omega \subset {ℝ}^2$ 是具有光滑边界的有界区域， $c_{\ast }\ge 0$ ，重力势函数 $\varphi \in W^{2,\infty }\left(\Omega \right)$ 和初值函数 $\left(n_0,c_0,u_0\right)$ 满足(5)式。则对任意的 $\alpha >0$ ，模型(4)存在整体经典解 $\left(n,c,u,P\right)$ ，并且存在常数 $C>0$ ，使得对任意的 $t>0$ ，有

${\Vert n\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert c\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{W^{1,\infty }\left(\Omega \right)}+{\Vert u\left(\cdot ,t\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le C$ .

证明 由引理1和引理5，正则化模型(6)的经典解整体有界。根据文献 [9] 的引理6.3，该经典解收敛到原模型(4)的弱解，再由抛物型方程的Schauder理论，存在 $\beta \in \left(0,1\right)$ ，使得

$n\in C_{loc}^{2+\beta ,1+\frac{\beta }{2}}\left(\bar{\Omega }\times \left(0,\infty \right)\right)$ ， $c\in C_{loc}^{2+\beta ,1+\frac{\beta }{2}}\left(\bar{\Omega }\times \left(0,\infty \right)\right)$ ， $u\in C_{loc}^{2+\beta ,1+\frac{\beta }{2}}\left(\bar{\Omega }\times \left(0,\infty \right);{ℝ}^2\right)$

成立。上述n，c和 $u$ 是模型(4)的整体有界的经典解。详细的证明过程请参见文献 [19] 中引理4.2和文献 [20] 中引理10.1。

4. 结论

本文讨论一类边界上具有规定信号浓度的趋化–流体耦合方程组解的性质。此前，当方程组中信号浓度满足齐次Neumann边界条件时，通常采用构造能量泛函的方法进行一系列的先验估计。但由于本文中信号浓度满足非齐次Dirichlet边界条件，处理边界项时会产生困难。因此，需要引入边界上的逐点不等式，即文献 [17] 引理5.8，获得所需的先验估计。进一步，借助Moser迭代方法、逼近理论和抛物型方程的Schauder理论，证得二维情形下，边界上具有规定信号浓度的趋化–流体耦合方程组存在整体有界的经典解。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献