1. 引言

组合数学中的恒等式在数学各个学科有着广泛的应用，组合等式的证明方法也是多种多样，其中应用概率统计方法证明组合等式已经有了很多经典结果 [1] [2] 。若用不同方法解答同一概率统计模型，得到同一事件的不同概率表达公式，则可得到相应的组合恒等式 [3] 。文献 [4] - [9] 中均讨论了负二项分布的卷积，并给出了负二项分布卷积的不同形式的概率展开公式，详见引理1与引理2。文献 [4] [10] [11] [12] 中均讨论了几何分布的卷积，并给出了几何分布卷积的不同形式的概率展开形式，详见引理3与引理4比较这些结论并结合负二项分布的可加性、Bell多项式的相关性质即可推出若干组合恒等式。

负二项分布是概率统计中重要的离散型分布，若随机变量X的分布律为

$P\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c}-\alpha \\ k\end{array}\right)p^{\alpha }{\left(-q\right)}^k,0<p<1,q=1-p,0<\alpha <\infty ,k=0,1,2,\cdots$

则称随机变量X服从参数为 $\left(\alpha ,p\right)$ 的负二项分布，记作 $X~NB\left(\alpha ,p)\right)$ 。若随机变量 $Y~NB\left(\beta ,p\right)$ ，且随机变量X与随机变量Y相互独立，则随机变量 $Z=X+Y$ 服从负二项分布，即 $Z~NB\left(\alpha +\beta ,p\right)$ ，称为负二项分布的可加性。下面给出关于负二项分布卷积的引理，设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是 $n\left(n\ge 2\right)$ 个相互独立的随机变量，分别服从负二项分布，即 $X_i~NB\left({\alpha }_i,p_i\right)$ ，其中 $0<p_i<1$ ， $0<{\alpha }_i<\infty$ ， $i=1,2,\cdots ,n$ 。

引理1. [4] 负二项分布卷积 $S={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_i}$ 的分布律为

$P\left(S=k\right)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{p}_i^{{\alpha }_i},}\hfill & k=0,\hfill \\ \left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{p}_i^{{\alpha }_i}}\right)\left\{{\displaystyle \sum \frac{1}{c_1!c_2!\cdots c_{k-j+1}!}{\left(\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\alpha }_i{q}_i^1}}{1}\right)}^{c_1}}{\left(\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\alpha }_i{q}_i^2}}{2}\right)}^{c_2}\cdots {\left(\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\alpha }_i{q}_i^{k-j+1}}}{k-j+1}\right)}^{c_{k-j+1}}\right\},\hfill & k\ge 1,\hfill \end{array}$

其中求和式取遍所有满足 $\{\begin{array}{l}{c}_1+2c_2+3c_3+\cdots =k\\ c_1+c_2+c_3+\cdots =j\end{array}$ 的整数 $c_1,c_2,c_3,\cdots \ge 0$ ， $0<p_i<1$ ，

$0<{\alpha }_i<\infty$ ， $i=1,2,\cdots ,n$ ， $k=0,1,2,\cdots$

引理2. [5] 负二项分布卷积 $S={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_i}$ 的分布律为

$P\left(S=k\right)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{p}_i^{{\alpha }_i},}\hfill & k=0,\hfill \\ {\displaystyle \underset{m_1+m_2+\cdots +m_n=k}{\sum }{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}\left(\begin{array}{c}{\alpha }_i+m_i-1\\ m_i\end{array}\right)p_i^{{\alpha }_i}{q}_i^{m_i},}}\hfill & k\ge 1,\hfill \end{array}$

其中为 $m_1,m_2,\cdots ,m_n$ 非负整数。

若随机变量X服从负二项分布，即 $X~NB\left(\alpha ,p\right)$ ，将负二项分布的中的实参数 $\alpha =1$ 时，则随机变量X服从几何分布，记作 $X~NB\left(1,p\right)$ 或 $X~G\left(p\right)$ ，几何分布是特殊的负二项分布。设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是 $n\left(n\ge 2\right)$ 个相互独立的随机变量，分别服从几何分布，即 $X_i~G\left(p_i\right)$ ，其中 $0<p_i<1$ ， $i=1,2,\cdots ,n$ 。

引理3. [4] 几何分布卷积 $S={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_i}$ 的分布律为

$P\left(S=k\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{p}_i}{\displaystyle \underset{c_1+c_2+\cdots +c_n=k}{\sum }{q}_1^{c_1}{q}_2^{c_2}\cdot \cdot \cdot q_n^{c_n}},0<p_i<1,k=0,1,2,\cdots$

其中求和式取遍所有满足 $c_1+c_2+c_3+\cdots =k$ 的整数 $c_1,c_2,c_3,\cdots \ge 0$ 。

引理4. [10] 几何分布卷积 $S={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_i}$ 的分布律为

$P\left(S=k\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{p}_i{q}_i^{k+n-1}{\displaystyle \underset{\begin{array}{l}j=1\\ j\ne i\end{array}}{\overset{n}{\prod }}\frac{p_j}{p_j-p_i}}},\forall i\ne j,有0<p_i\ne p_j<1,k=0,1,2,\cdots$

Bell多项式是组合数学中重要组合序列之一，根据其发生函数的不同分为指数型Bell多项式与普通型Bell多项式 [13] 。Bell多项式在随机过程、微分方程与理论物理学等方面应用广泛，鉴于Bell多项式的重要性与广泛应用性，很多学者给出了有关于Bell多项式的组合恒等式 [14] - [18] 。

定义1. [13] 指数型Bell多项式是无限多变元 $x_1,x_2,x_3,\cdots$ 由双重形式级数展开式

$\Phi \left(t,u\right)=\exp \left(u{\displaystyle \underset{m\ge 1}{\sum }\frac{x_m{t}^m}{m!}}\right)={\displaystyle \underset{k\ge 0}{\sum }{\displaystyle \underset{n\ge k}{\sum }{B}_{n,k}\left(x_1,x_2,x_3,\cdots \right)\frac{t^n{u}^k}{n!}}}$

定义的多项式 $B_{n,k}=B_{n,k}\left(x_1,x_2,x_3,\cdots \right)$ ，观察两边 $u^k$ 的系数有

$\frac{1}{k!}{\left({\displaystyle \underset{m\ge 1}{\sum }\frac{x_m{t}^m}{m!}}\right)}^k={\displaystyle \underset{n\ge k}{\sum }{B}_{n,k}\left(x_1,x_2,x_3,\cdots \right)\frac{t^n}{n!}},k=0,1,2,\cdots$

指数型Bell多项式的显示公式为

$B_{n,k}\left(x_1,x_2,\cdots ,x_{n-k+1}\right)={\displaystyle \sum \frac{n!}{c_1!c_2!\cdots c_{n-k+1}!}{\left(\frac{x_1}{1!}\right)}^{c_1}}{\left(\frac{x_2}{2!}\right)}^{c_2}\cdots {\left(\frac{x_{n-k+1}}{n-k+1!}\right)}^{c_{n-k+1}}$ ，

这里和式取遍满足 $\{\begin{array}{l}{c}_1+2c_2+3c_3+\cdots =k\\ c_1+c_2+c_3+\cdots =j\end{array}$ 的整数 $c_1,c_2,c_3,\cdots \ge 0$ 。

引理5. [13] 将定义1中双重形式级数展开式 $\Phi \left(t,u\right)$ 的双变量中的 $u=1$ ，则有

$\Phi \left(t,1\right)=\exp \left({\displaystyle \underset{m\ge 1}{\sum }\frac{x_m{t}^m}{m!}}\right)=1+{\displaystyle \underset{n\ge 1}{\sum }{Y}_n\left(x_1,x_2,x_3,\cdots \right)\frac{t^n}{n!}}$ ，

其中 $Y_n={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{B}_{n,k}},Y_0=1$ 。

2. 一些组合恒等式

定理1. 设指数型Bell多项式在 $u=1$ 时得到的完全Bell多项式为

$\Phi \left(t,1\right)=\exp \left({\displaystyle \underset{m\ge 1}{\sum }\frac{x_m{t}^m}{m!}}\right)=1+{\displaystyle \underset{n\ge 1}{\sum }{Y}_n\left(x_1,x_2,x_3,\cdots \right)\frac{t^n}{n!}}$ ，

则成立等式

$Y_n\left(0!\cdot x,1!\cdot x,2!\cdot x,\cdots \right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{B}_{n,k}}\left(0!\cdot x,1!\cdot x,2!\cdot x,\cdots \right)=n!\left(\begin{array}{c}x+n-1\\ n\end{array}\right)={\left(-1\right)}^{n}n!\left(\begin{array}{c}-x\\ n\end{array}\right)$ ，

其中 $Y_0=1,n\ge 1,x>0$ 。

证明：

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是 $n\left(n\ge 2\right)$ 个相互独立的随机变量，分别服从参数为 $\left({\alpha }_i,p\right)$ 的负二项分布，即 $X_i~NB\left({\alpha }_i,p\right)$ ，其中 $0<p<1$ ， $0<{\alpha }_i<\infty$ ， $i=1,2,\cdots ,n$ 。由负二项分布的可加性可知，卷积 $S={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_i}$ 也服从负二项分布，参数为 $\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\alpha }_i},p\right)$ ，即 $S~NB\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\alpha }_i},p\right)$ ，则卷积S的分布律为

$P\left(S=k\right)=\left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\alpha }_i}\\ k\end{array}\right)p^{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\alpha }_i}}{\left(-q\right)}^k,0<p<1,0<{\alpha }_i<\infty ,i=1,2,\cdots ,n,k=0,1,2,\cdots$

将引理1中参数 $p_1,p_2,\cdots ,p_n$ 均取同一值p，再由 $S~NB\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\alpha }_i},p\right)$ ，比较卷积S的不同概率表达式既成立

$\left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\alpha }_i}\\ k\end{array}\right)={\displaystyle \sum \frac{1}{c_1!c_2!\cdots c_{k-j+1}!}\frac{{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\alpha }_i}\right)}^j}{1^{c_1}\cdot 2^{c_2}\cdot \cdot \cdot {\left(k-j+1\right)}^{c_{k-j+1}}}},0<{\alpha }_i<\infty ,k=1,2,\cdots$

这里求和式取遍所有满足 $\{\begin{array}{l}{c}_1+2c_2+3c_3+\cdots =k\\ c_1+c_2+c_3+\cdots =j\end{array}$ 的整数 $c_1,c_2,c_3,\cdots \ge 0$ 。

再由指数型Bell多项式的显示公式形式

$B_{n,k}\left(x_1,x_2,\cdots ,x_{n-k+1}\right)={\displaystyle \sum \frac{n!}{c_1!c_2!\cdots c_{n-k+1}!}{\left(\frac{x_1}{1!}\right)}^{c_1}}{\left(\frac{x_2}{2!}\right)}^{c_2}\cdots {\left(\frac{x_{n-k+1}}{n-k+1!}\right)}^{c_{n-k+1}}$ ，

这里和式取遍满足 $\{\begin{array}{l}{c}_1+2c_2+3c_3+\cdots =k\\ c_1+c_2+c_3+\cdots =j\end{array}$ 的整数 $c_1,c_2,c_3,\cdots \ge 0$ 。

以及完全Bell多项式系数等式

$Y_n\left(x_1,x_2,x_3,\cdots \right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{B}_{n,k}}\left(x_1,x_2,x_3,\cdots \right),Y_0=1$ .

可得

$Y_n\left(0!\cdot x,1!\cdot x,2!\cdot x,\cdots \right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{B}_{n,k}}\left(0!\cdot x,1!\cdot x,2!\cdot x,\cdots \right)=n!\left(\begin{array}{c}x+n-1\\ n\end{array}\right)={\left(-1\right)}^{n}n!\left(\begin{array}{c}-x\\ n\end{array}\right),$

其中 $Y_0=1,n\ge 1,x>0$ 。□

定理2. 设n，k为正整数， ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 为大于0的实数，则成立等式

${\displaystyle \underset{m_1+m_2+\cdots +m_n=k}{\sum }{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}\left(\begin{array}{c}{\alpha }_i+m_i-1\\ m_i\end{array}\right)=}}{\displaystyle \underset{\begin{array}{l}{c}_1+2c_2+3c_3+\cdots =k\\ c_1+c_2+c_3+\cdots =j\end{array}}{\sum }\frac{1}{c_1!c_2!\cdots c_{k-j+1}!}}{\left(\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\alpha }_i}}{1}\right)}^{c_1}{\left(\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\alpha }_i}}{2}\right)}^{c_2}\cdots {\left(\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\alpha }_i}}{k-j+1}\right)}^{c_{k-j+1}},$

其中为 $m_1,m_2,\cdots ,m_n$ 非负整数。

证明：

比较引理1与引理2中的结论，由卷积S的不同概率表达式即可正面定理2中的等式。□

定理3. 设 $\left\{r_i:r_i\ne r_j,i\ne j,i,j=1,2,\cdots ,n\right\}$ 为一个任意实数序列，记 $\left[t^k\right]f\left(t\right)$ 为函数 $f\left(t\right)$ 关于t进行多项式展开后 $t^k$ 前面的系数，则成立等式

$\left[t^k\right]{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}\frac{1}{1-r_{i}t}}={\displaystyle \underset{c_1+c_2+\cdots +c_n=k}{\sum }{r}_1^{c_1}{r}_2^{c_2}\cdot \cdot \cdot r_n^{c_n}}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{r}_i^{k+n-1}}\left({\displaystyle \underset{\begin{array}{l}j=1\\ j\ne i\end{array}}{\overset{n}{\prod }}\frac{1}{r_i-r_j}}\right).$

其中求和式取遍所有满足 $c_1+c_2+c_3+\cdots =k$ 的整数 $c_1,c_2,c_3,\cdots \ge 0$ 。

证明：

若随机变量X服从几何分布，即 $X~G\left(p\right)$ ，X是一个非负整型随机变量，其概率发生函数 $f\left(t\right)$ 为

$f\left(t\right)=E\left(t^X\right)={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{t}^k\cdot p{q}^k}=p{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(tq\right)}^k}=\frac{p}{1-qt}$ ，

并且随机变量X的概率发生函数 $f\left(t\right)$ 展开成关于变量t的多项式后， $t^k\left(k\ge 0\right)$ 前面的系数即为概率 $p_k=P\left(X=k\right)$ 。

不妨设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是 $n\left(n\ge 2\right)$ 个相互独立的随机变量，分别服从几何分布，即 $X_i~G\left(p_i\right)$ ，则卷积S的概率发生函数 $f_S\left(t\right)$ 以变量t进行多项式展开后， $t^k$ 前面的系数即为概率 $P\left(S=k\right)$ ，其中 $k=0,1,2,\cdots$ 记 $\left[t^k\right]f_S\left(t\right)$ 为 $f_S\left(t\right)$ 关于t展开后 $t^k$ 前面的系数，则根据引理3可知，

$\left[t^k\right]f_S\left(t\right)=\left[t^k\right]{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}\frac{p_i}{1-q_{i}t}}=\left[t^k\right]{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{p}_i\cdot {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}\left({\displaystyle \underset{j\ge 0}{\sum }{q}_i^j{t}^j}\right)}}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{p}_i}{\displaystyle \underset{c_1+c_2+\cdots +c_n=k}{\sum }{q}_1^{c_1}{q}_2^{c_2}\cdot \cdot \cdot q_n^{c_n}}.$

其中求和式取遍所有满足 $c_1+c_2+c_3+\cdots =k$ 的整数 $c_1,c_2,c_3,\cdots \ge 0$ 。

进一步比较引理4中的结论，即根据卷积S的不同概率表达式即可正面定理3中的等式。□

3. 小结

本文比较负二项分布卷积与几何分布卷积的不同概率展开公式，得到了三个组合恒等式，有些恒等式还可验证其他组合数学中的恒等式，例如在定理1中的恒等式里若取x = 1，并考虑指数型Bell多项式与第一类无符号Stirling数 $c\left(n,k\right)$ 关系，即可验证关于第一类无符号Stirling数 $c\left(n,k\right)$ 的求和等式

$Y_n\left(0!,1!,2!,\cdots \right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{B}_{n,k}}\left(0!,1!,2!,\cdots \right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}c\left(n,k\right)}=n!.$

若将式定理2中的恒等式里所有的 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 均取1，则定理2中的等式左边为正整数k的非负有序n分拆个数，因此可以得到一个关于有序分拆的组合式与Bell多项式关系的等式

$\left(\begin{array}{c}n+k-1\\ k\end{array}\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{l}{c}_1+2c_2+3c_3+\cdots =k\\ c_1+c_2+c_3+\cdots =j\end{array}}{\sum }\frac{1}{c_1!c_2!\cdots c_{k-j+1}!}}{\left(\frac{n}{1}\right)}^{c_1}{\left(\frac{n}{2}\right)}^{c_2}\cdots {\left(\frac{n}{k-j+1}\right)}^{c_{k-j+1}},$

其中n，k为正整数，这个结论与定理1中结论一致。

相比较于文献 [1] [2] 中组合数学的概率统计方法，本文主要基于同一概率模型的不同概率展开方法、以及概率模型中特有的概率性质，如可加性等，推导了若干组合恒等式，推导过程简洁明了、推导结果还可以用来论证其他组合等式。

基金项目

东北大学科研启动项目《同族分布顺序统计量的性质与应用的研究》。

参考文献