Asymptotic behavior of a stochastic growth process associated with a system of interacting branching random walks

Alejandro F. Ramı́ rez; Vladas Sidoravicius

doi:10.1016/S1631-073X(02)02568-2

Asymptotic behavior of a stochastic growth process associated with a system of interacting branching random walks
[Comportement asymptotique d'un processus stochastique de croissance associé à un système de marches aléatoires en interaction]

Alejandro F. Ramı́ rez ¹ ; Vladas Sidoravicius ²

¹ Facultad de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Chile, Casilla 306-Correo 22, Santiago, Chile
² IMPA, Estr. Dona Castorina 110, 22460-320 Rio de Janeiro, Brazil

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 10, pp. 821-826.

Résumé
Abstract

Nous étudions un modèle de croissance à temps continu sur $ℤ^{d}$ (d⩾1) associé au système de particules en interaction suivant : initiallement il y a seulement une marche aléatoire à temps continu simple, symétrique, à taux un et située à l'origine ; ensuite, aussitôt qu'une marche aléatoire visite un site jamais encore visité par aucune autre marche, une nouvelle marche est créée, partant de ce site et indépendante des autres. Nous notons P_d la loi d'un tel processus et S⁰_d(t) l'ensemble des sites déjà visités à l'instant t. Nous prouvons qu'il existe un ensemble $C_{d} \subset ℝ^{d}$ convexe, non-vide et borné tel que, pour tout ε>0, P_d-p.s. et pour t assez grand, l'ensemble S_d⁰(t) soit inclus dans un ε-voisinage de [C_dt], où l'on a défini, pour $A \subset ℝ^{d}$ , $[A] : = A \cap ℤ^{d}$ . En outre, pour d assez grand, l'ensemble C_d n'est pas une boule pour la norme euclidienne. Enfin, nous montrons que la densité empirique de particules à l'intérieur de S_d⁰(t) converge faiblement vers un produit de lois de Poisson de paramétre un.

We study a continuous time growth process on $ℤ^{d}$ (d⩾1) associated to the following interacting particle system: initially there is only one simple symmetric continuous time random walk of total jump rate one located at the origin; then, whenever a random walk visits a site still unvisited by any other random walk, it creates a new independent random walk starting from that site. Let us call P_d the law of such a process and S⁰_d(t) the set of sites, visited by all walks by time t. We prove that there exists a bounded, non-empty, convex set $C_{d} \subset ℝ^{d}$ , such that for every ε>0, P_d-a.s. eventually in t, the set S_d⁰(t) is within an ε neighborhood of the set [C_dt], where for $A \subset ℝ^{d}$ we define $[A] : = A \cap ℤ^{d}$ . Moreover, for d large enough, the set C_d is not a ball under the Euclidean norm. We also show that the empirical density of particles within S_d⁰(t) converges weakly to a product Poisson measure of parameter one.

Reçu le : 2001-11-15
Accepté le : 2002-09-03
Publié le : 2002-10-09

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02568-2

Affiliations des auteurs :

Alejandro F. Ramı́ rez ¹ ; Vladas Sidoravicius ²

¹ Facultad de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Chile, Casilla 306-Correo 22, Santiago, Chile
² IMPA, Estr. Dona Castorina 110, 22460-320 Rio de Janeiro, Brazil

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Alejandro F. Ramı́ rez; Vladas Sidoravicius. Asymptotic behavior of a stochastic growth process associated with a system of interacting branching random walks. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 10, pp. 821-826. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02568-2. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02568-2/

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