Nah und fern, groß und klein: Optische Geräte und Spiegel

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden verschiedene optische Geräte vorgestellt, mit Skizzen veranschaulicht und die dazugehörigen Formeln präsentiert oder mit dem Wissen aus dem vorherigen Kapitel hergeleitet. Neben der Lupe werden die Kamera, das Mikroskop und verschiedene Teleskope beschrieben. Zusätzlich werden ebene und gebogene Spiegel samt ihren Anwendungsbereichen besprochen. Die Aufgaben helfen unter anderem bei der Wahl des richtigen Badezimmerspiegels.

Appendices

Aufgaben

3.1.1 3.1 Mikroskop

In Abschn. 3.1.3 wird die Vergrößerung eines Mikroskops angegeben, allerdings fehlte ein Stück der Herleitung.

• a) Versuche, mithilfe von Abb. 3.9 und der Linsengleichung die Vergrößerung des Objektivs $V_{\mathrm {Ob}}$ in Abhängigkeit der Mikroskopgrößen t und $f_{\mathrm {Ob}}$ herzuleiten.

• b) Finde zwei sinnvolle Konfigurationen, um ein Mikroskop mit 50-facher Vergrößerung zu realisieren.

3.1.2 3.2 Zerstreuungskreis

Mit einer Sammellinse (Brennweite $f=5\,\mathrm {cm}$, Durchmesser $D=3\,\mathrm {cm}$) wird von einem Gegenstand G, der sich $g_1=10\,\mathrm {cm}$ von der Linse entfernt befindet, ein scharfes Bild auf einem Blatt Papier abgebildet. Im Abstand $g_2=20\,\mathrm {cm}$ zur Linse befindet sich eine Punktlichtquelle. Welchen Durchmesser $d_Z$ hat der von ihr erzeugte Zerstreuungskreis auf dem Papier? Wie könnte man ihn verkleinern?

3.1.3 3.3 Ebener Spiegel

Eine Person der Größe h, Höhe der Augen $h_A$, möchte sich in einem an der Wand hängenden Spiegel vollständig von Fuß bis Kopf betrachten können. Wie groß D muss der Spiegel mindestens sein, und wie hoch $h_S$ muss er hängen? Spielt der Abstand der Person zum Spiegel eine Rolle?

Lösungen

3.1.1 3.1 Mikroskop

• a) Die lineare Vergrößerung des Objektivs $V_{\mathrm {Ob}}$ ist über Gl. 2.15 gegeben als

  $$ V_{\mathrm {Ob}}=-\frac{b_1}{g_1}. $$

  Aus Abb. 3.9 erhalten wir für $b_1$

  $$ b_1= f_{\mathrm {Ob}}+t. $$

  Aus der Linsengleichung folgt

  $$ g_1=\frac{1}{\frac{1}{f_{\mathrm {Ob}}}-\frac{1}{b_1}}=\frac{f_{\mathrm {Ob}}b_1}{b_1-f_{\mathrm {Ob}}}=\frac{f_{\mathrm {Ob}}(f_{\mathrm {Ob}}+t)}{f_{\mathrm {Ob}}+t-f_{\mathrm {Ob}}}=\frac{f_{\mathrm {Ob}}(f_{\mathrm {Ob}}+t)}{t}. $$

  Das führt durch Einsetzen in die erste Gleichung zu

  $$ V_{\mathrm {Ob}}=-\frac{f_{\mathrm {Ob}}+t}{f_{\mathrm {Ob}}(f_{\mathrm {Ob}}+t)}t=-\frac{t}{f_{\mathrm {Ob}}}. $$

  Das ist die Vergrößerung des Objektivs, nur noch abhängig von der Objektivbrennweite $f_{\mathrm {Ob}}$ und der Tubuslänge t, wie sie auch in Abschn. 3.1.3 nachzulesen ist.

• b) Für die Gesamtvergrößerung eines Mikroskops nutzen wir Gl. 3.7. Da ein Mikroskop ein auf dem Kopf stehendes Bild erzeugt, hat die gewünschte Vergrößerung ein negatives Vorzeichen:

  $$ V_{\mathrm {\sphericalangle , Mikroskop}}=-50 $$

  Die deutliche Sehweite $s_0$ beträgt stets

  $$ s_0=25\,\mathrm {cm}. $$

  Damit das Mikroskop eine normale Größe hat, setzen wir die Tubuslänge t auf

  $$ t=5\,\mathrm {cm}. $$

  Dadurch ergibt sich aus Gl. 3.7 mit eingesetzten Werten

  $$ -50=-\frac{5\,\mathrm {cm}}{f_{\mathrm {Ob}}}\frac{25\,\mathrm {cm}}{f_{\mathrm {Ok}}}. $$

  Umgestellt nach den noch freien Parametern erhalten wir

  $$ f_{\mathrm {Ob}}f_{\mathrm {Ok}}=2{,}5\,\mathrm {cm^2}. $$

  Zwei mögliche Lösungen wären also

  $$ f_{\mathrm {Ob1}}=1\,\mathrm {cm} \text { und } f_{\mathrm {Ok1}}=2{,}5\,\mathrm {cm} $$

  oder auch

  $$ f_{\mathrm {Ob2}}=2\,\mathrm {cm} \text { und } f_{\mathrm {Ok2}}=1{,}25\,\mathrm {cm}. $$

3.1.2 3.2 Zerstreuungskreis

 

Gegeben::

f, D, $g_1$, $g_2$

Gesucht::

$d_Z$

 

Zunächst erweitern wir die Skizze um die beiden Bildweiten von Gegenstand ($b_1$) und Lichtquelle ($b_2$), die wir zur Bestimmung von $d_Z$ benötigen.

Das gesuchte $d_Z$ ergibt sich nun über den Strahlensatz und

$$ \frac{d_Z}{D}=\frac{b_1-b_2}{b_2}=\frac{b_1}{b_2}-1. $$

Hier sind nur noch die beiden Bildweiten unbekannt. Diese ergeben sich über die Linsengleichung (Gl. 2.14) zu

$$ b_{1|2}=\frac{g_{1|2}f}{g_{1|2}-f}. $$

Eingesetzt führt dies zu einem Durchmesser des Zerstreuungskreises von

$$ d_Z=D\left( \frac{g_1(g_2-f)}{g_2(g_1-f)}-1\right) =1{,}5\,\mathrm {cm}. $$

Dieser skaliert also linear mit der Größe der Linse D. Eine kleinere Linse, oder ein kleinerer beleuchteter Bereich auf der Linse, führt also auch zu einem kleineren Zerstreuungskreis. Dies entspricht genau der Funktion der Blende aus Abschn. 3.1.2.

3.1.3 3.3 Ebener Spiegel

Nach Abschn. 3.2.1 ist beim ebenen Spiegel die Bildweite b gleich der Gegenstandsweite g.

Mithilfe der Skizze nutzen wir den Strahlensatz und erhalten

$$ \frac{D}{h}=\frac{g}{g+b}. $$

Wegen

$$ b=g $$

gilt

$$ \frac{D}{h}=\frac{g}{2g}=\frac{1}{2}. $$

Dadurch ergibt sich für die Größe D des Spiegels

$$ D=\frac{1}{2}h. $$

Um $h_S$ zu bestimmen, können wir ebenfalls den Strahlensatz anwenden und erhalten analog zu oben

$$ h_S=\frac{1}{2}h_A. $$

Um sicherzustellen, dass man sich vollständig betrachten kann, muss der Spiegel also mindestens die halbe Größe der Person haben und seine Unterkante muss auf halber Augenhöhe liegen. Da in den Formeln das g nicht mehr auftaucht, sind die Ergebnisse auch unabhängig vom Abstand der Person zum Spiegel.