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References
D 38. Die vorliegende Arbeit wurde von der Philosophischen Fakultät der Universitat Köln als Dissertation angenommen. — Anregung und Förderung durch Prof. Dr. H. Cremer.
Fatou, Sur l'itération des fonctions transcendentes entières, Acta mathematica47 (1926).
Vgl. l. c., S. 338.
Die FunktionenfolgeF v (z) heißt im Anschluß an Montel beiz 0 kompakt (Montel nannte es “normal”, siehe z. B. Montel, Leçons sur les familles normales de fonctions analytiques et leurs applications, Paris 1927; die Topologie verwendet seit Fréchet die Bezeichnung “kompakt”, der auch jetzt der Vorzug gegeben werden soll), wenn eine Umgebung umz 0 existiert, in der folgendes gilt; Aus jeder beliebigen unendlichen Teilfolge der Gesamtheit allerF v (z) läßt sich stets eine unendliche Teilfolge auswählen, die dort gleichmäßig gegen eine endliche und damit reguläre Funktion oder gleichmäßig gegen den Wert ∞ konvergiert.
Eine Darstellung der Iteration der rationalen Funktionen, in der auch auf ganze transzendente Funktionen anwendbare Grundbegriffe und Sätze niedergelegt werden, gibt Cremer, Über die Iteration rationaler Funktionen, Jahresber. d. Deutsch. Math.-Ver.33 (1925); dort findet sich auch ein Beweis für den obigen Satz.
Satz von Weierstraß; siehe auch Cremer, Über die Schrödersche Funktionalgleichung und das Schwarzsche Eckenabbildungsproblem, Ber. d. Math.-Physik. Kl. d. Sächs. Akad. d. Wissensch. zu Leipzig84 (1933), S. 318.
Diese Untersuchungen lassen sich auch auf ein mehrfach zusammenhängendes Gebiet übertragen.
Diesem Kriterium lassen sich, etwa von Beispielen ausgehend (z. B. Behandlung vone z), weitere in der gleichen oder ähnlichen Art hergeleitete zufügen; hier soll es nur auf die Darlegung der Methode ankommen.
Siehe Brouwer, Zur Analysis Situs, Math. Annalen68 (1910), S. 427.
Fatou behandelte die Frage der Höchstanzahl der vollstandig invarianten Gebiete für rationale Funktionen; seine Methode kann hier nicht übernommen werden, da er wesentlich die endliche Anzahl aller vorhandenen Verzweigungspunkte verwendet. Siehe Fatou, Sur les équations fonctionnelles, Bulletin de la Société Mathématique de France47 (1919), S. 183ff.
Fatou, Sur les équations fonctionnelles, Bulletin de la Société Mathématique de France48 (1920), S. 250.
Er bewies dort, daß die Menge\(\mathfrak{F}\) außer einem Kreisbogen keinen isolierten analytischen Kurvenbogen enthalten kann, und sprach aus, daß der Satz sich auch beweisen ließe, wen statt des analytischen Kurvenbogens ein Jordanbogen, der an jeder Stelle eine Tangente besitzt, angenommen wird.
Dies gilt wegen des Satzes II, da die Menge der aus der Iteration vonF(z) sich ergebenden Fixpunkte identisch ist mit der bei der Iteration vonF L (z) entstehenden.
Siehe Fatou, Acta math.47 (1926), S. 358ff.
Siehe Koenigs, Recherches sur les équations fonctionnelles, Annales de l'Ecole Normale (3)1 (1884).
Für diese und spätere numerische Auswertungen siehe z. B. Jahnke-Emde, Funktionentafeln, Leipzig 1933.
Acta mathematica47 (1926), S. 358 ff.
Siehe Acta mathematica47 (1926), S. 370.
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Töpfer, H. Über die Iteration der ganzen transzendenten Funktionen, insbesondere von sinz und cosz 1 . Math. Ann. 117, 65–84 (1940). https://doi.org/10.1007/BF01450008
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