Fundamental domains for Shimura curves
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 1, pp. 205-222.

Nous décrivons un procédé permettant de déterminer explicitement un domaine fondamental dans le demi-plan supérieur pour une courbe de Shimura X 0 D (N) associée à un ordre d’une algèbre de quaternions A/. Un domaine fondamental pour X 0 D (N) réalise une présentation finie du groupe des unités quaternioniennes modulo les unités du centre. Nous donnons des exemples explicites pour les courbes X 0 6 (1),X 0 15 (1) et X 0 35 (1). Le premier exemple est l’exemple classique d’un groupe triangulaire et le second est une version corrigée due à Michon de celui du livre [13] de Vignéras. Ces exemples sont aussi traités dans la thèse d’Alsina [1]. Le dernier exemple est nouveau et fournit un modèle des méthodes qu’il faut appliquer lorsque le groupe agit sans points elliptiques.

We describe a process for defining and computing a fundamental domain in the upper half plane of a Shimura curve X 0 D (N) associated with an order in a quaternion algebra A/𝐐. A fundamental domain for X 0 D (N) realizes a finite presentation of the quaternion unit group, modulo units of its center. We give explicit examples of domains for the curves X 0 6 (1),X 0 15 (1),andX 0 35 (1). The first example is a classical example of a triangle group and the second is a corrected version of that appearing in the book of Vignéras [13], due to Michon. These examples are also treated in the thesis of Alsina [1]. The final example is new and provides a demonstration of methods to apply when the group action has no elliptic points.

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[1] M. Alsina, Aritmetica d'ordres quaternionics i uniformitzacio hiperbolica de corbes de Shimura. PhD Thesis, Universitat de Barcelona 2000, Publicacions Universitat de Barcelona, ISBN: 84-475-2491-4, 2001.

[2] W. BOSMA, J. CANNON, eds. The Magma Handbook. The University of Sydney, 2002. http://magma.maths.usyd.edu.au/magma/htmlhelp/MAGMA.htm.

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[11] D. Roberts, Shimura curves analogous to X0(N). Ph.D. thesis, Harvard, 1989.

[12] H. Verrill, Subgroups of PSL2(R), Chapter in The Magma Handbook, Volume 2, J. Cannon, W. Bosma Eds., (2001), 233-254.

[13] M.-F. Vignéras, Arithmétiques des Algèbres de Quaternions, LNM 800, Springer-Verlag, 1980. | MR | Zbl