Проблема 1.1 (Матайес [16] для $n=3$). При $n\geqslant3$, совместима ли с $\mathbf{ZFC}$ гипотеза о том, что (первая) теорема отделимости не верна для $\mathbf{\Sigma}^1_n$ и для $\mathbf{\Pi}^1_n$?

Теорема 1.2. Пусть . Имеется генерическое расширение конструктивного универсума $\mathbf{L}$, в котором:

(i) существует пара дизъюнктных -множеств $X,Y\subseteq 2^\omega$, неотделимых дизъюнктными -множествами, так что теорема отделимости не выполнена для классов и ;

(ii) существует пара дизъюнктных -множеств $X,Y\subseteq 2^\omega$, неотделимых дизъюнктными -множествами, так что теорема отделимости не выполнена для классов и .

Определение 3.1. $\mathbf{PT}$ есть множество всех совершенных деревьев $\varnothing\ne T\subseteq 2^{<\omega}$; дерево $T$ принадлежит $\mathbf{PT}$, если оно не имеет концевых вершин и изолированных ветвей. Если $T\in\mathbf{PT}$, то определяется совершенное множество

Лемма 3.2 (см. [34]). Пусть $\,\cdots \preccurlyeq\langle n_2,T_2\rangle\preccurlyeq\langle n_1,T_1\rangle\preccurlyeq\langle n_0,T_0\rangle$ – убывающая последовательность в $\omega\times\mathbf{PT}$, с $n_0<n_1<n_2<\cdots$ строго, минимально генерическая в том смысле, что она пересекает каждое множество вида

Определение 3.3. Арбореальным форсингом называется любое множество , для которого если , то . Через $\mathbf{AF}$ обозначим множество всех арбореальных форсингов . Форсинг называется:

– регулярным, если для любых , пересечение $[S]\cap [T]$ открыто-замкнуто в $[S]$ или в $[T]$ (или как в $[S]$ так и в $[T]$);

– особым, если имеется конечная или счетная антицепь , для которой – антицепь в этом случае единственна, а сам форсинг , очевидно, регулярен.

Пример 3.4. Если $s\in2^{<\omega}$, то дерево $T[s]=\{t\in2^{<\omega}\colon s\subseteq t\text{ или } t\subseteq s\}$ принадлежит $\mathbf{PT}$ и $T[s]=(2^{<\omega}){\upharpoonright_s}$ $\forall\, s$. Множество (форсинг Коэна) есть регулярный и особый арбореальный форсинг.

Лемма 3.5. Пусть форсинг регулярен, и деревья не являются пд. Тогда , так что $S$, $T$ совместны в .

Лемма 3.6. Пусть и , $u\in S$, $n=\operatorname{lh}(u)$, $T\subseteq S{\upharpoonright_{u}}$. Тогда дерево $S'=T\cup\bigcup_{v\in S\cap2^n,\,v\ne u}S{\upharpoonright_v}$ принадлежит , $\langle n,S'\rangle\preccurlyeq\langle n,S\rangle$, $S'{\upharpoonright_u}=T$, и $S'{\upharpoonright_v}=S{\upharpoonright_v}$ для всех кортежей $v\in S$ с $\operatorname{lh}(v)=n$, $v\ne u$.

Следствие 3.7. Предположим, что . Тогда

(i) если $n<\omega$ и , то существует такое дерево , что $\langle n,S\rangle\preccurlyeq\langle n,T\rangle$ и (не только !) для всех $t\in2^n\cap S$;

(ii) если и , то существуют деревья , , для которых $S\subseteq T$, $S'\subseteq T'$, и $[S]\cap[S']=\varnothing$;

(iii) если $n<\omega$, , , то имеются деревья , , для которых $\langle n,S\rangle\preccurlyeq\langle n,T\rangle$, $\langle n,S'\rangle\preccurlyeq\langle n,T'\rangle$, $[S]\cap[S']=\varnothing$.

Замечание 4.1. Если – мультифорсинг, то множество $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ всех $\boldsymbol\pi$-мультидеревьев, очевидно, тождественно произведению данных арбореальных форсингов , с конечной базой.

Определение 4.2. Мультидеревья $\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ где-то почти дизъюнктны (гпд), если $T^{\boldsymbol{p}}_{\xi}$ и $T^{\boldsymbol{q}}_{\xi}$ являются пд для какого-то $\xi\in|\boldsymbol{p}|\cap|\boldsymbol{q}|$. Быть гпд эквивалентно $[\boldsymbol{p}]\cap[\boldsymbol{q}]=\varnothing$, а также, для регулярных мультифорсингов $\boldsymbol\pi$, равносильно несовместности в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ согласно следующему результату.

Следствие 4.3 (из леммы 3.5). Пусть $\boldsymbol\pi$ – регулярный мультифорсинг, а $\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ не являются гпд. Существует такое конечное множество $R\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, что $[\boldsymbol{p}]\cap[\boldsymbol{q}]=\bigcup_{\boldsymbol{r}\in R}[\boldsymbol{r}]$. Значит, $\boldsymbol{p}$, $\boldsymbol{q}$ совместны в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, т. е. имеется мультидерево $\boldsymbol{r}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, для которого $\boldsymbol{r}\leqslant\boldsymbol{p}$ и $\boldsymbol{r}\leqslant\boldsymbol{q}$.

Определение 4.4. Покомпонентное объединение мультифорсингов – это мультифорсинг , удовлетворяющий и

Zoom inZoom out

Если $\vec{\boldsymbol\pi}=\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}\rangle_{\alpha<\lambda}$ – последовательность форсингов из $\mathbf{MF}$, то определим $\boldsymbol\pi=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}\vec{\boldsymbol\pi}=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\lambda} \boldsymbol\pi_\alpha\in\mathbf{MF}$ так, что $|\boldsymbol\pi|=\bigcup_{\alpha<\lambda}|\boldsymbol\pi_\alpha|$ и $\boldsymbol\pi(\xi)= \bigcup_{\alpha<\lambda,\,\xi\in|\boldsymbol\pi_\alpha|} {\boldsymbol\pi_\alpha}(\xi)$ для каждого $\xi\in|\boldsymbol\pi|$.

Замечание 4.5. Любой форсинг вида $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, где , присоединяет генерическую последовательность $\langle{x_{\xi}}\rangle_{\xi\in|\boldsymbol\pi|}$, где каждая $x_{\xi}=x_\xi[G]\in 2^\omega$ есть -генерическая точка. Точки вида $x_{\xi}[G]$ мы называем главными генерическими точками в $\mathbf{V}[G]$.

Определение 5.1. Пусть – арбореальные форсинги. Скажем, что – измельчение форсинга (символически ), когда

(1) множество плотно^4[x]4Если , то множество : 1) плотно в , когда ; 2) открыто-плотно в , когда, кроме того, ; и 3) предплотно в , когда производное множество плотно в . в : если , то ;

(2) если , то ;

(3) если и , то $[Q]\cap[T]$ открыто-замкнуто в $[Q]$ и $T\not\subseteq Q$.

Лемма 5.2. (i) Если и , , то $[S]\cap[T]$ тощее в $[S]$, поэтому и открыто-плотно в ;

(ii) если , то , т. е. $\sqsubset$ – строгий частичный порядок;

(iii) если есть $\sqsubset$-возрастающая последовательность в $\mathbf{AF}$ и $0<\mu<\lambda$, то ;

(iv) если есть $\sqsubset$-возрастающая последовательность в $\mathbf{AF}$ и каждый форсинг – особый, то – регулярный форсинг, и каждое множество предплотно в .

(i) Иначе существует кортеж $u\in S$, удовлетворяющий $S{\upharpoonright_u}\subseteq[T]\cap[S]$. Но , что противоречит 5.1, (3).

(ii), (iii) Уже доказанное утверждение (i) используется для вывода 5.1, (3).

(iv) Для проверки регулярности, пусть , , $\alpha\leqslant\beta$. Если $\alpha\,{=}\,\beta$, то, раз – особый форсинг, деревья $S$, $T$ либо пд, либо $\subseteq$-сравнимы по лемме 3.5. Если $\alpha<\beta$, то $[S]\cap[T]$ открыто-замкнуто в $[T]$ по 5.1, (3).

Для проверки предплотности, пусть , $\alpha\ne\gamma$. Если $\alpha<\gamma$, то согласно 5.1, (1) имеется дерево , $T\subseteq S$. Пусть $\gamma<\alpha$. Тогда имеем по 5.1, (2), так что существует дерево , для которого $[S]\cap[T]\ne\varnothing$. Но $[S]\cap[T]$ открыто-замкнуто в $[S]$ по 5.1, (3). Значит, $S{\upharpoonright_u}\subseteq T$ для подходящего $u\in S$. Наконец, , так как . Лемма 5.2 доказана.

Определение 5.3. Пусть и . Скажем, что запирает $D$ над , символически , если и любое дерево удовлетворяет $S\subseteq^{\mathrm{fin}} \bigcup D$. Тогда “просто” равносильно .

Лемма 5.4. (i) Если , то $D$ предплотно в , а если к тому же регулярно, то $D$ предплотно также и в ;

(ii) если (второе $\sqsubset$ не есть $\sqsubset_D$!), то ;

(iii) если есть $\sqsubset$-возрастающая последовательность в $\mathbf{AF}$, $0<\mu\,{<}\,\lambda$, и , то .

(i) Для вывода предплотности $D$ в , пусть . По 5.1, (1) имеется дерево , $T\subseteq T_0$. Тогда $T\subseteq^{\mathrm{fin}} \bigcup D$, так что существует дерево $S\in D$ с $X=[S]\cap[T]\ne\varnothing$. Но $X$ открыто-замкнуто в $[T]$ по 5.1, (3). Поэтому найдется дерево с $[T']\subseteq X$, откуда $T'\subseteq S\in D$ и $T'\subseteq T\subseteq T_0$. Мы заключаем, что $T_0$ совместно с $S\in D$ в .

Для вывода предплотности $D$ в (предполагая регулярность ), пусть . Мы видели выше, что тогда $S_0$ совместно с каким-то $S\in D$, поэтому $S$ и $S_0$ не являются пд. Остается применить лемму 3.5.

Для вывода (ii), дополнительно к лемме 5.2, (ii), пусть . Тогда , но каждое удовлетворяет $T\subseteq^{\mathrm{fin}}\bigcup D$. Аналогично для (iii). Лемма 5.4 доказана.

Следствие 6.1 (из леммы 5.2). Если , то $\boldsymbol\pi\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}\boldsymbol\rho$.

Если , то открыто-плотно^5[x]5Если $\boldsymbol{P}\subseteq \boldsymbol{R}\subseteq\mathbf{MT}$, то, аналогично сноске 4, множество $\boldsymbol{P}$ является: 1) плотным в $\boldsymbol{R}$, если $\forall\,\boldsymbol{r}\,{\in}\,\boldsymbol{R}\ \exists\,\boldsymbol{p}\,{\in}\, \boldsymbol{P}\,(\boldsymbol{p}\leqslant\boldsymbol{r})$, 2) открыто-плотным в $\boldsymbol{R}$, если дополнительно выполнено $\forall\,\boldsymbol{r}\,{\in}\, \boldsymbol{R}\ \forall\, \boldsymbol{p}\,{\in}\, \boldsymbol{P}\,(\boldsymbol{p}\leqslant\boldsymbol{r}\Longrightarrow \boldsymbol{p}\,{\in}\,\boldsymbol{R})$, и 3) предплотным в $\boldsymbol{R}$, если $\boldsymbol{P}'=\{\boldsymbol{r}\in\boldsymbol{R}\colon\exists\, \boldsymbol{p}\in\boldsymbol{P}\, (\boldsymbol{r}\leqslant \boldsymbol{p})\}$ плотно в $\boldsymbol{R}$. в .

Определение 6.2. Пусть $\boldsymbol\pi$, – мультифорсинги, и . Скажем, что запирает множество $\boldsymbol{D}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ над $\boldsymbol\pi$, символически , когда выполнено следующее:

• ($*$) если $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, , $|\boldsymbol{u}|\subseteq|\boldsymbol\pi|$, $|\boldsymbol{u}|\cap|\boldsymbol{p}|=\varnothing$, то имеется такое $\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, что $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$, все еще $|\boldsymbol{q}|\cap|\boldsymbol{u}|=\varnothing$, и $\boldsymbol{u}\subseteq^{\mathrm{fin}} \bigvee \boldsymbol{D}^{|\boldsymbol{u}|}_{\boldsymbol{q}}$, где
  $$ \begin{equation*} \boldsymbol{D}^{|\boldsymbol{u}|}_{\boldsymbol{q}} =\{\boldsymbol{u}'\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\colon |\boldsymbol{u}'|=|\boldsymbol{u}|\text{ и }\boldsymbol{u}'\cup\boldsymbol{q}\in \boldsymbol{D}\}. \end{equation*} \notag $$

Лемма 6.3. Пусть $\boldsymbol\pi$, , $\boldsymbol\sigma$ – мультифорсинги, и $\boldsymbol{D}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$. Тогда

(i) если , то $\boldsymbol{D}$ плотно в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ и предплотно в ;

(ii) если $\boldsymbol\pi$ регулярен, для $i=1,\dots,n$, все множества $\boldsymbol{D}_i\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ открыто-плотны в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, и $\boldsymbol{D}=\bigcap_i\boldsymbol{D}_i$, то ;

(iii) если ${\boldsymbol{D}}$ открыто-плотно в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ и , то $\boldsymbol\pi\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}_{\boldsymbol{D}}\boldsymbol\sigma$;

(iv) если $\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}_{\alpha<\lambda}\rangle$ является $\boldsymbol\sqsubset$-возрастающей последовательностью в $\mathbf{MF}$, $0<\mu<\lambda$, $\boldsymbol\pi=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\mu}\boldsymbol\pi_\alpha$, множество ${\boldsymbol{D}}$ открыто-плотно в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, и $\boldsymbol\pi\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}_{\boldsymbol{D}} \boldsymbol\pi_\mu$, то .

(i) Для проверки предплотности ${\boldsymbol{D}}$ в , пусть . Поскольку является произведением, можно предполагать, что $|\boldsymbol{r}|\subseteq|\boldsymbol\pi|$. Положим

Zoom inZoom out

Тогда $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{u}\cup \boldsymbol{p}$, где , $\boldsymbol{p}=\boldsymbol{r}\upharpoonright Y\,{\in}\,\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$. Раз запирает ${\boldsymbol{D}}$, имеется мультидерево $\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, для которого $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$, $|\boldsymbol{q}|\cap|\boldsymbol{u}|=\varnothing$, и $\boldsymbol{u}\subseteq^{\mathrm{fin}} \bigvee \boldsymbol{D}^{|\boldsymbol{u}|}_{\boldsymbol{q}}$. Легко видеть, что найдется мультидерево $\boldsymbol{u}'\in \boldsymbol{D}^{|\boldsymbol{u}|}_{\boldsymbol{q}}$, совместное с $\boldsymbol{u}$ в . Пусть , $\boldsymbol{w}\leqslant\boldsymbol{u}$, $\boldsymbol{w}\leqslant\boldsymbol{u}'$, $|\boldsymbol{w}|=|\boldsymbol{u}'|=|\boldsymbol{u}|$. Тогда мультидерево удовлетворяет $\boldsymbol{r}'\leqslant\boldsymbol{r}$ и $\boldsymbol{r}'\leqslant\boldsymbol{u}'\cup\boldsymbol{q}\in {\boldsymbol{D}}$.

Для проверки плотности ${\boldsymbol{D}}$ в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, пусть $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$. Положим $\boldsymbol{u}=\boldsymbol\Lambda$ (пустое мультидерево) в ($*$) определения 6.2, так что $|\boldsymbol{u}|=\varnothing$ и $\boldsymbol{D}^{|\boldsymbol{u}|}_{\boldsymbol{q}}={\boldsymbol{D}}$.

(ii) Пусть $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, , $|\boldsymbol{u}|\subseteq|\boldsymbol\pi|$, $|\boldsymbol{u}|\cap|\boldsymbol{p}|=\varnothing$. Итерируя ($*$) для множеств $\boldsymbol{D}_i$, $i=1,\dots,n$, мы находим такое мультидерево $\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, что $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$, $|\boldsymbol{q}|\cap|\boldsymbol{u}|=\varnothing$, и $\boldsymbol{u}\subseteq^{\mathrm{fin}} \bigvee (\boldsymbol{D}_i)^{|\boldsymbol{u}|}_{\boldsymbol{q}}$ для всех $i$, где

(iii) Имеем $\boldsymbol\pi\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}\boldsymbol\sigma$ по следствию 6.1. Для проверки, что $\boldsymbol\sigma$ запирает ${\boldsymbol{D}}$ над $\boldsymbol\pi$, пусть $\boldsymbol{u}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\sigma)$, $|\boldsymbol{u}|\subseteq|\boldsymbol\pi|$, $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, $|\boldsymbol{u}|\cap|\boldsymbol{p}|=\varnothing$. Раз , имеется такое конечное , что $|\boldsymbol{v}|=|\boldsymbol{u}|$ для всех $\boldsymbol{v}\in U$, и $[\boldsymbol{u}]\subseteq\bigcup_{\boldsymbol{v}\in U}[\boldsymbol{v}]$. А поскольку , итерированное применение определения 6.2, ($*$) дает мультидерево $\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, для которого $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$, $|\boldsymbol{q}|\cap|\boldsymbol{u}|=\varnothing$, и если $\boldsymbol{v}\in U$, то $\boldsymbol{v}\subseteq^{\mathrm{fin}}\bigvee \boldsymbol{D}^{|\boldsymbol{u}|}_{\boldsymbol{q}}$, где

(iv) Проверим, что запирает ${\boldsymbol{D}}$ над $\boldsymbol\pi$. Пусть , $|\boldsymbol{u}|\subseteq|\boldsymbol\pi|$, $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, $|\boldsymbol{u}|\cap|\boldsymbol{p}|=\varnothing$. Найдется такое конечное $U\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi_\mu)$, что $|\boldsymbol{v}|=|\boldsymbol{u}|$ для всех $\boldsymbol{v}\in U$, и $[\boldsymbol{u}]\subseteq\bigcup_{\boldsymbol{v}\in U}[\boldsymbol{v}]$. И так далее, как в доказательстве (iii). Лемма 6.3 доказана.

Определение 7.1. Пусть – малый мультифорсинг.

(0) Назовем $\boldsymbol\pi$-системой любое индексированное множество вида

(1) Пусть $\mathfrak{M}\in\mathrm{HC}$ – любое множество^6[x]6Напомним, что $\mathrm{HC}$ = все наследственно счетные множества, т. е. те, транзитивные замыкания которых не более чем счетны.. Множество $\mathfrak{M}^+$ всех множеств $X\in\mathrm{HC}$, $\in$-определимых в $\mathrm{HC}$ формулами с параметрами из $\mathfrak{M}$, счетно. Следовательно, существует $\preccurlyeq$-убывающая последовательность пар $\langle n_j,\varphi_j\rangle\in\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, $\mathfrak{M}^+$-генерическая в смысле, что она пересекает все множества $D\in\mathfrak{M}$, $D\subseteq\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, открыто-плотные^7[x]7Плотность означает, что для любой пары $\langle m,\psi\rangle\in\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$ имеется $\langle n,\varphi\rangle\in D$ с $\langle n,\varphi\rangle\preccurlyeq\langle m,\psi\rangle$. Открытость означает, что если $\langle m,\psi\rangle\in D$ и $\langle n,\varphi\rangle\preccurlyeq\langle m,\psi\rangle$ то $\langle n,\varphi\rangle\in D$. в $\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$. Фиксируем одну такую $\mathfrak{M}^+$-генерическую последовательность .

По определению каждая $\varphi_j$ имеет вид $\varphi_j=\langle{T^{\varphi_j}_{\xi k}}\rangle_{\langle \xi,k\rangle\in|\varphi_j|}$, где $|\varphi_j|\subseteq|\boldsymbol\pi|\times\omega$ конечно, и каждое дерево $T^{\varphi_j}_{\xi k}$ принадлежит . Мы имеем $n_j\to\infty$ по генеричности, так что можно предполагать, что $n_0<n_1<n_2<\cdots$ строго.

(2) Пусть $\xi\in|\boldsymbol\pi|$, $k<\omega$. Согласно генеричности, существует такое число $j(\xi,k)$, что если $j\geqslant j(\xi,k)$, то $\langle \xi,k\rangle\in|\varphi_j|$, так что дерево определено, и мы имеем

(3) Тогда по лемме 3.2 каждое пересечение есть дерево в $\mathbf{PT}$ (необязательно в ), и соотношение выполнено для всех $j\geqslant j(\xi,k)$. Положим .

(4) Наконец, положим и .

(5) Всякий мультифорсинг , полученный этим способом из какой-то $\mathfrak{M}^+$-генерической последовательности , назовем $\mathfrak{M}$-генерическим измельчением мультифорсинга $\boldsymbol\pi$.

Лемма 7.2 (из счетности $\mathfrak{M}^+$). Если $\mathfrak{M}\in\mathrm{HC}$, то для любого малого мультифорсинга $\boldsymbol\pi$ существует $\mathfrak{M}$-генерическое измельчение .

Теорема 7.3. Если $\mathfrak{M}\in\mathrm{HC}$ транзитивно, а есть $\mathfrak{M}$-генерическое измельчение малого мультифорсинга , то

(i) – малый особый мультифорсинг, , и ;

(ii) если пары $\langle \xi,k\rangle\ne\langle \eta,\ell\rangle$ принадлежат , то ;

(iii) если $\xi\in|\boldsymbol\pi|$, и , то $[S]\cap[T]$ открыто-замкнуто в $[S]$ и $T\not\subseteq S$, а значит ;

(iv) если $\xi\in|\boldsymbol\pi|$, то множество открыто-плотно в ;

(v) если $\xi\in|\boldsymbol\pi|$ и $D\in\mathfrak{M}$, предплотно в , то ;

(vi) если, кроме того, $\boldsymbol\pi=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\lambda}\boldsymbol\pi_\alpha$, где $\lambda<\omega_1$, а $\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}\rangle_{\alpha<\lambda}\in\mathfrak{M}$ является $\boldsymbol\sqsubset$-возрастающей последовательностью особых мультифорсингов, то для всех $\alpha<\lambda$.

(ii) Согласно следствию 3.7, (iii), множество $D$ всех пар $\langle n,\varphi\rangle\in\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, где $\varphi$ – попарно пд система и $|\varphi|$ содержит $\langle \xi,k\rangle$, $\langle \eta,\ell\rangle$, плотно в $\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, и, конечно, $D\,{\in}\,\mathfrak{M}^+$. Имеем $\langle n_j,\varphi_j\rangle\,{\in}\, D$ для какого-то $j<\omega$. Тогда $T^{\varphi_j}_{\xi k}\cap T^{\varphi_j}_{\eta \ell}\,{=}\,\varnothing$, так как $\varphi_j$ пд. Но , по построению.

(iii) Пусть . Для вывода открыто-замкнутости, заметим, что множество $D(T)$ всех таких пар $\langle n,\varphi\rangle\in\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, что $\langle \xi,k\rangle\in|\varphi|$ и если $s\in2^n$, то ${T^{\varphi}_{\xi k}}{\upharpoonright_s}\subseteq T$ или $[T^{\varphi}_{\xi k}]\cap [T]=\varnothing$ – плотно в $\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$. Для вывода $T\not\subseteq S$, аналогично, множество $D'(T)$ всех таких пар $\langle n,\varphi\rangle\in\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, что $\langle \xi,k\rangle\in|\varphi|$ и $T\not\subseteq T^{\varphi}_{\xi k}$, плотно. Заметим, что $D(T),D'(T)\in{\mathfrak{M}^+}$, и завершаем доказательство, как выше.

(iv) Открытость легко следует из (iii). Для вывода плотности, пусть . Множество $\Delta(T)$ всех таких пар $\langle n,\varphi\rangle\in\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, что $\langle \xi,k\rangle\in|\varphi|$ и $T^{\varphi}_{\xi k}=T$ для некоторого $k$, принадлежит $\mathfrak{M}^+$ и плотно в $\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$.

(i) По построению множества являются особыми арбореальными форсингами, так что – малый особый мультифорсинг, и . Для вывода , пусть $\xi\in|\boldsymbol\pi|$. Нужно доказать . Условие (1) определения 5.1 следует из (iv), условие (3) из (iii), а (2) выполнено, так как для какого-то $j$.

(v) Пусть $\xi\in|\boldsymbol\pi|$, $k<\omega$, а $D\in\mathfrak{M}^+$ предплотно в . Тогда множество открыто-плотно в , а потому множество $\Delta\in\mathfrak{M}^+$ всех таких пар $\langle n,\varphi\rangle\in\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, что $\langle \xi,k\rangle\in|\varphi|$ и $T^{\varphi}_{\xi k}{\upharpoonright_s}\in D'$ для всех $s\in2^n\cap T^{\varphi}_{\xi k}$, плотно в $\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$ по лемме 3.6. Следовательно, $\langle n_j,\varphi_j\rangle\in \Delta$ для какого-то $j$, откуда и следует .

(vi) Нужно доказать, что при $\xi\in |\boldsymbol\pi_\alpha|$. Раз уже проверено, достаточно проверить . Но $D=\boldsymbol\pi_\alpha(\xi)$ предплотно в по лемме 5.2, (iv), и $D\in{\mathfrak{M}^+}$, и можно применить (v). Теорема 7.3 доказана.

Следствие 7.4. В условиях леммы 7.2, если $|\boldsymbol\pi|\subseteq Z\subseteq\omega_1$ и $Z$ счетно, то имеется такой малый особый мультифорсинг , что и .

Теорема 8.1. В предположениях теоремы 7.3, если ${\boldsymbol{D}}\in\mathfrak{M}^+$, ${\boldsymbol{D}}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, и ${\boldsymbol{D}}$ открыто-плотно в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, то .

По условию получено из убывающей $\mathfrak{M}^+$-генерической последовательности пар $\langle n_j,\varphi_j\rangle\in\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, как в определении 7.1, (1). Рассуждаем в обозначениях 7.1. Пусть $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, , $|\boldsymbol{u}|\cap|\boldsymbol{p}|=\varnothing$, как в ($*$) определения 6.2; дополнительное условие $|\boldsymbol{u}|\subseteq|\boldsymbol\pi|$ выполнено автоматически, так как . Требуется найти мультидерево $\boldsymbol{q}$, дающее 6.2, ($*$) для $\boldsymbol{u}$.

Каждый член $T^{\boldsymbol{u}}_{\xi}$ в $\boldsymbol{u}$ ($\xi\in|\boldsymbol{u}|$) тождествен какому-то , где . Можно предполагать, что $t_\xi=\Lambda$, так что , $\forall\, \xi$.

Определение 8.2. Если $n<\omega$, то $\mathbf{Sys}_n(\boldsymbol\pi)$ содержит все такие системы $\varphi\in\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, что $\langle \xi,k_\xi\rangle\in|\varphi|$ для всех $\xi\in|\boldsymbol{u}|$, и (а не только !) для всех $\langle \xi,k\rangle\in|\varphi|$ и $t\in2^n\cap T^{\varphi}_{\xi k}$.

Если $\varphi\in\mathbf{Sys}_n(\boldsymbol\pi)$, то $\mathbf{S}^n_{\varphi}$ содержит все такие мультикортежи $\mathbf{s}=\langle{s_\xi}\rangle_{\xi\in|\boldsymbol{u}|}$, что $s_\xi\in2^n\cap T^{\varphi}_{\xi, k_\xi}$ для всех $\forall\,\xi\in|\boldsymbol{u}|$. Если $\mathbf{s}=\langle{s_\xi}\rangle_{\xi\in|\boldsymbol{u}|}\in\mathbf{S}^n_{\varphi}$, то определим $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ так, что $|\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi}|=|\boldsymbol{u}|$ и $T^{\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi}}_{\xi}=T^{\varphi}_{\xi, k_\xi}{\upharpoonright_{s_\xi}}$ для всех $\xi\in|\boldsymbol{u}|$.

Лемма 8.3. Пусть $n<\omega$ и $\varphi\in\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$. Существует система $\psi\in\mathbf{Sys}_n(\boldsymbol\pi)$, для которой $\langle n,\psi\rangle\preccurlyeq\langle n,\varphi\rangle$.

Лемма 8.4. Если $\boldsymbol{r}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, $|\boldsymbol{r}|\cap|\boldsymbol{u}|=\varnothing$, то множество $\Delta_{\boldsymbol{r}}\in\mathfrak{M}$ всех пар $\langle n,\varphi\rangle\in \omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, для которых $\varphi\in\mathbf{Sys}_n(\boldsymbol\pi)$ и имеется такое $\boldsymbol{q}\in \mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, что $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{r}$, $|\boldsymbol{u}|\cap|\boldsymbol{q}|=\varnothing$, и выполнено (1), если $\mathbf{s}\in\mathbf{S}^n_{\varphi}$, то $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi}\cup\boldsymbol{q}\in \boldsymbol{D}$ – плотно в $\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$.

Пусть $\mathbf{s}=\langle{s_\xi}\rangle_{\xi\in|\boldsymbol{u}|}\in\mathbf{S}^n_{\psi}$. Рассмотрим мультидерево $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\psi}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$. Раз $\boldsymbol{D}$ плотно, найдутся такие мультидеревья $\boldsymbol{r}',\boldsymbol{v}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, что $|\boldsymbol{v}|=|\boldsymbol{u}|$, $\boldsymbol{v}\leqslant\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\psi}$, $|\boldsymbol{r}'|\cap|\boldsymbol{u}|=\varnothing$, $\boldsymbol{r}'\leqslant\boldsymbol{r}$, и $\boldsymbol{v}\cup\boldsymbol{r}'\in \boldsymbol{D}$. Определим систему $\psi'\in \mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$ с $|\psi'|=|\psi|$, продолжающую $\psi$ сужением каждого дерева $T^{\psi}_{\xi, k_\xi}{\upharpoonright_{s_\xi}}$ до $T^{\boldsymbol{v}}_{\xi}$, так, что $T^{\psi'}_{\xi, k_\xi}{\upharpoonright_{s_\xi}}=T^{\boldsymbol{v}}_{\xi}$, но $T^{\psi'}_{\xi, k_\xi}{\upharpoonright_{t}}= T^{\psi}_{\xi, k_\xi}{\upharpoonright_{t}}$ для всех $t\in2^n\cap T^{\psi}_{\xi, k_\xi}$, $t\ne s_\xi$, и $T^{\psi'}_{\eta k}=T^{\psi}_{\eta k}$, когда $\langle\eta,k\rangle\in|\psi|$ не имеет вида $\langle \xi,k_\xi\rangle$, где $\xi\in|\boldsymbol{u}|$. Мы имеем $\langle n,\psi'\rangle\preccurlyeq\langle n,\psi\rangle$ по построению, поэтому $\mathbf{S}^n_{\psi'}=\mathbf{S}^n_{\psi}$.

Это построение можно итерировать, рассматривая все кортежи $\mathbf{s}\in\mathbf{S}^n_{\psi}$ один за одним. В результате получается такая система $\varphi\in\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, что $|\varphi|=|\psi|$ и $\langle n,\varphi\rangle\preccurlyeq\langle n,\psi\rangle$, – а тогда $\mathbf{S}^n_{\varphi}=\mathbf{S}^n_{\psi}$, и такое мультидерево $\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ с $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{r}$ и $|\boldsymbol{q}|\cap|\boldsymbol{u}|=\varnothing$, что если $\mathbf{s}\in\mathbf{S}^n_{\psi}$, то мультидерево $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\psi}$ удовлетворяет $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\psi}\cup\boldsymbol{q}\in \boldsymbol{D}$. Это $\boldsymbol{q}$ свидетельствует, что $\langle n,\varphi\rangle\in\Delta_r$. Лемма 8.4 доказана.

Следствие 8.5. В предположениях теоремы 7.3, если множество $\boldsymbol{D}\in\mathfrak{M}$, $\boldsymbol{D}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ предплотно в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, то оно предплотно и в .

Определение 9.1. Имя точки есть любое такое множество $\mathbf{c}\subseteq\mathbf{MT}\times(\omega\,{\times}\,2)$, что множества $K^{\mathbf{c}}_{ni}=\{\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}\colon \langle\boldsymbol{p},n,i\rangle\in\mathbf{c}\}$ удовлетворяют условию: если $n<\omega$ и $\boldsymbol{p}\in K^{\mathbf{c}}_{n0}$, $\boldsymbol{q}\in K^{\mathbf{c}}_{n1}$, то $\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}$ являются гпд^8[x]8Напомним, что условие где-то почти дизъюнктности гпд (определение 4.2) равносильно несовместности $\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}$ в $\mathbf{MT}$ и в любом множестве вида $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, где $\boldsymbol\pi$ – регулярный мультифорсинг согласно следствию 4.3.. Положим $K^{\mathbf{c}}_n=K^{\mathbf{c}}_{n0}\cup K^{\mathbf{c}}_{n1}$.

Имя точки $\mathbf{c}$ называется малым, если каждое $K^{\mathbf{c}}_n$ не более чем счетно, – тогда множество $|\mathbf{c}|=\bigcup_{n}\bigcup_{\boldsymbol{p}\in K^{\mathbf{c}}_n}|\boldsymbol{p}|$ и само $\mathbf{c}$ также счетны.

Пусть $\boldsymbol\pi$ – мультифорсинг. Имя точки $\mathbf{c}$ называется $\boldsymbol\pi$-полным, если каждое множество $K^{\mathbf{c}}_n \uparrow \boldsymbol\pi=\{\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\colon\exists\,\boldsymbol{q}\in K^{\mathbf{c}}_n\,(\boldsymbol{p}\leqslant\boldsymbol{q})\}$ ($\boldsymbol\pi$-конус $K^{\mathbf{c}}_n$) предплотно в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$. В этом случае если множество (фильтр) $G\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ является $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$-генерическим над семейством всех множеств $K^{\mathbf{c}}_n$, то мы определяем точку $\mathbf{c}[G]\in 2^\omega$ так, что $\mathbf{c}[G](n)=i$ если и только если $G\cap C_{ni}\ne\varnothing$.

Мы не требуем в последнем случае, чтобы выполнялось $\mathbf{c}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\times(\omega\times2)$, или, эквивалентно, $K^{\mathbf{c}}_n\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ для всех $n$, и если это соотношение выполнено, то это будет оговариваться.

Лемма 9.2. Пусть $\boldsymbol\pi$ – мультифорсинг, $\mathbf{c}$ есть $\boldsymbol\pi$-полное имя точки, $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$. Если $n<\omega$, то найдется $i=0,1$ и мультидерево $\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi), \boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$, прямо вынуждающее $\mathbf{c}(n)=i$. Если $T\in\mathbf{PT}$, то найдется $s\in T$ и мультидерево $\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$, которое прямо вынуждает $\mathbf{c}\notin[T{\upharpoonright_s}]$.

Определение 10.1. Пусть $\boldsymbol\pi$, – мультифорсинги, $\mathbf{c}$ есть $\boldsymbol\pi$-полное имя точки и . Скажем, что запирает $\mathbf{c}$ над $\boldsymbol\pi$, символически , если запирает каждое множество $K^{\mathbf{c}}_n \uparrow \boldsymbol\pi=\{\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\colon\exists\,\boldsymbol{q}\in K^{\mathbf{c}}_n\,(\boldsymbol{p}\leqslant\boldsymbol{q})\}$ над $\boldsymbol\pi$, в смысле определения 6.2.

Следствие 10.2. В предположениях теоремы 7.3, если ${\mathbf{c}}\in\mathfrak{M}^+$ и $\mathbf{c}$ есть $\boldsymbol\pi$-полное имя точки, то .

Лемма 10.3. Пусть – мультифорсинги, а $\mathbf{c}$ есть имя точки. Тогда

(i) если , то $\mathbf{c}$ есть $\boldsymbol\pi$-полное и -полное имя точки;

(ii) если , то $\boldsymbol\pi\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}_{\mathbf{c}}\boldsymbol\sigma$;

(iii) если $\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}_{\alpha<\lambda}\rangle$ – $\boldsymbol\sqsubset$-возрастающая последовательность в $\mathbf{MF}$, $0<\mu<\lambda$, $\boldsymbol\pi=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\mu}\boldsymbol\pi_\alpha$, и $\boldsymbol\pi\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}_{\mathbf{c}}\boldsymbol\pi_\mu$, то .

(i) По определению имеем для любого $n$, поэтому $K^{\mathbf{c}}_n \uparrow \boldsymbol\pi$ плотно в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ (тогда, очевидно, открыто-плотно) и предплотно в по лемме 6.3, (i). Значит, плотно в .

Для вывода (ii), (iii) используем (iii), (iv) леммы 6.3.

Лемма доказана.

Определение 10.4. Пусть $\boldsymbol\pi$ – мультифорсинг, $\xi\in|\boldsymbol\pi|$. Имя точки $\mathbf{c}$ назовем неглавным над $\boldsymbol\pi$ в $\xi$, если следующее множество:

Определение 10.5. Пусть $\boldsymbol\pi$, – мультифорсинги, , $\xi\in|\boldsymbol\pi|$. Скажем, что избегает имя точки $\mathbf{c}$ над $\boldsymbol\pi$ в $\xi$, символически , если для каждого , запирает множество

Лемма 10.6. Пусть $\boldsymbol\pi$, , $\boldsymbol\sigma$ – мультифорсинги, $\xi\in|\boldsymbol\pi|$, и $\mathbf{c}$ есть $\boldsymbol\pi$-полное имя точки. Тогда

(i) если и , то множество $\boldsymbol{D}(\mathbf{c},Q,\boldsymbol\pi)$ открыто-плотно в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ и предплотно в ;

(ii) если , то $\boldsymbol\pi\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}^{\mathbf{c}}_{\xi} \boldsymbol\sigma$;

(iii) если $\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}_{\alpha<\lambda}\rangle$ есть $\boldsymbol\sqsubset$-возрастающая последовательность в $\mathbf{MF}$, $0<\mu<\lambda$, $\boldsymbol\pi=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\mu}\boldsymbol\pi_\alpha$, и $\boldsymbol\pi\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}^{\mathbf{c}}_{\xi} \boldsymbol\pi_\mu$, то .

(i) Используем лемму 6.3, (i). Для доказательства (ii) пусть $S\,{\in}\,\boldsymbol\sigma(\xi)$. Коль скоро , найдется конечное множество , для которого $S\subseteq Q_1\cup\dots\cup Q_m$. Имеем для всех $i$, так как . Значит, $\boldsymbol\pi \mathrel{\boldsymbol\sqsubset}_{\boldsymbol{D}(\mathbf{c},Q_i,\boldsymbol\pi)}\boldsymbol\sigma$, $\forall\, i$ по лемме 6.3, (iii). Однако $\bigcap_{i}\boldsymbol{D}(\mathbf{c},Q_i,\boldsymbol\pi)\subseteq \boldsymbol{D}(\mathbf{c},S,\boldsymbol\pi)$, поскольку $S\subseteq \bigcup_iQ_i$. Мы заключаем, что $\boldsymbol\pi \mathrel{\boldsymbol\sqsubset}_{\boldsymbol{D}(\mathbf{c},S,\boldsymbol\pi)} \boldsymbol\sigma$ по лемме 6.3, (ii). Отсюда $\boldsymbol\pi\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}^{\mathbf{c}}_{\xi} \boldsymbol\sigma$, что и требовалось.

Для вывода (iii) используем лемму 6.3, (iv) аналогичным образом.

Лемма доказана.

Теорема 11.1. В предположениях теоремы 7.3, если $\eta\in|\boldsymbol\pi|\subseteq\mathfrak{M}$ и $\mathbf{c}\in\mathfrak{M}$ есть $\boldsymbol\pi$-полное имя точки неглавное над $\boldsymbol\pi$ в $\eta$, то .

По условию получено из убывающей $\mathfrak{M}^+$-генерической последовательности пар $\langle n_j,\varphi_j\rangle\in\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, как в определении 7.1, (1). Рассуждаем в обозначениях 7.1.

Пусть ; докажем, что запирает множество $\boldsymbol{D}(\mathbf{c},Q,\boldsymbol\pi)$ над $\boldsymbol\pi$. По построению для каких-то $K<\omega$ и ; можно считать, что просто . Следуя доказательству теоремы 8.1, предполагаем, что $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, , $|\boldsymbol{u}|\cap|\boldsymbol{p}|=\varnothing$, и , для всех $\xi\in|\boldsymbol{u}|$. Нужно найти мультидерево $\boldsymbol{q}$, которое дает 6.2, ($*$) для $\boldsymbol{u}$, $\boldsymbol{p}$, $\boldsymbol{D}=\boldsymbol{D}(\mathbf{c}, Q, \boldsymbol\pi)$. При этом $\eta$ может не принадлежать множеству $|\boldsymbol{u}|$, и даже если $\eta\in|\boldsymbol{u}|$, так что $k_\eta$ определено, то $K$ может не совпадать с $k_\eta$. По ходу доказательства мы используем обозначения определения 8.2, в частности, $\mathbf{Sys}_n(\boldsymbol\pi)$, $\mathbf{S}^n_{\varphi}$, $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi}$.

Пусть $\boldsymbol{r}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, $|\boldsymbol{r}|\cap|\boldsymbol{u}|=\varnothing$. Рассмотрим множество $\Delta_{\boldsymbol{r}}\in\mathfrak{M}$ всех таких пар $\langle n,\varphi\rangle\in \omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, что $\varphi\in\mathbf{Sys}_n(\boldsymbol\pi)$ (определение 8.2), $\langle\eta,K\rangle\in |\varphi|$, и существует мультидерево $\boldsymbol{q}\in \mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, для которого $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{r}$, $|\boldsymbol{u}|\cap|\boldsymbol{q}|=\varnothing$ и

($1'$) если $\mathbf{s}\in\mathbf{S}^n_{\varphi}$ и $t\in T^{\varphi}_{\eta K}\cap2^n$, то $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi}\cup\boldsymbol{q}$ прямо вынуждает $\mathbf{c}\notin[T^{\varphi}_{\eta K}{\upharpoonright_t}]$.

Условие ($1'$) подобно условию (1) леммы 8.4, конечно. Заметим, что прямое вынуждение формулы $\mathbf{c}\notin[Q]$ нельзя использовать в ($1'$), так как $Q$ необязательно принадлежит $\mathfrak{M}$, но $\mathbf{c}\notin[T^{\varphi}_{\eta K}]$ оказывается эффективной заменой.

Лемма 11.2. Если $\boldsymbol{r}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, $|\boldsymbol{r}|\cap|\boldsymbol{u}|=\varnothing$, то $\Delta_{\boldsymbol{r}}$ плотно в $\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$.

Следуем доказательству леммы 8.4. Пусть $\langle n,\psi\rangle\in\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$. Можно предполагать, что $\psi\in\mathbf{Sys}_n(\boldsymbol\pi)$ (см. лемму 8.4), так что $\langle\xi,k_{\xi}\rangle\in|\psi|$ для всех $\xi\in|\boldsymbol{u}|$, для всех $\langle \xi,k\rangle\in|\psi|$ и $t\in2^n\cap T^{\psi}_{\xi k}$, и также $\langle\eta,K\rangle\in|\psi|$.

Требуется построить такую систему $\varphi\in\mathbf{Sys}_n(\boldsymbol\pi)$, что $\langle n,\varphi\rangle\preccurlyeq\langle n,\pi\rangle$ и $\varphi\,{\in}\,\Delta_r$. Как в доказательстве леммы 8.4, достаточно обеспечить ($1'$) для какой-то одной пары из $\mathbf{s}=\langle{s_\xi}\rangle_{\xi\in|\boldsymbol{u}|}\in\mathbf{S}^n_{\psi}$ и $t\in T^{\psi}_{\eta K}\cap2^n$; конечная цель тогда достигается простой итерацией через все эти пары. Имеем два случая.

Случай 1. $\eta\in|\boldsymbol{u}|$, $K=k_\eta$, $t=s_\eta$. Рассмотрим мультидерево $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\psi}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$. Множество $\boldsymbol{D}^{\eta}_{\mathbf{c}}(\boldsymbol\pi)$, как в определении 10.4, плотно из-за неглавности $\mathbf{c}$. Поэтому имеются такие мультидеревья $\boldsymbol{q},\boldsymbol{v}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, что $|\boldsymbol{v}|=|\boldsymbol{u}|$, $\boldsymbol{v}\leqslant\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\psi}$, $|\boldsymbol{q}|\cap|\boldsymbol{u}|=\varnothing$, $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{r}$, и $\boldsymbol{v}\cup\boldsymbol{q}\in \boldsymbol{D}^{\eta}_{\mathbf{c}}(\boldsymbol\pi)$, так что $\boldsymbol{v}\cup\boldsymbol{q}$ прямо вынуждает $\mathbf{c}\notin[T^{\boldsymbol{q}}_{\eta}]$. Определим систему $\varphi\in \mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$ с $|\varphi|=|\psi|$, из $\psi$ посредством:

(a) сужения каждого дерева $T^{\psi}_{\xi, k_\xi}{\upharpoonright_{s_\xi}}$ ($\xi\in|\boldsymbol{u}|$) до $T^{\boldsymbol{v}}_{\xi}$, так что $T^{\varphi}_{\xi, k_{\xi}}{\upharpoonright_{s_\xi}}=T^{\boldsymbol{v}}_{\xi}$,

(b) в частности, сужения $T^{\psi}_{\eta K}{\upharpoonright_{t}}$ до $T^{\boldsymbol{v}}_{\eta}$, так что $T^{\varphi}_{\eta K}{\upharpoonright_{t}}=T^{\boldsymbol{v}}_{\eta}$,

и более никаких изменений. Имеем $\langle n,\varphi\rangle\preccurlyeq\langle n,\psi\rangle$, $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi}=\boldsymbol{v}$, и $T^{\varphi}_{\eta K}{\upharpoonright_{t}}=T^{\boldsymbol{v}}_{\eta}$ по построению, так что $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi}\cup\boldsymbol{q}$ прямо вынуждает $\mathbf{c}\notin[T^{\varphi}_{\eta K}{\upharpoonright_{t}}]$, и мы имеем ($1'$).

Случай 2: не случай 1. По лемме 9.2 существуют такие мультидеревья $\boldsymbol{q},\boldsymbol{v}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ и дерево , что $T\subseteq T^{\psi}_{\eta K}{\upharpoonright_{t}}$, $|\boldsymbol{v}|=|\boldsymbol{u}|$, $\boldsymbol{v}\leqslant\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\psi}$, $|\boldsymbol{q}|\cap|\boldsymbol{u}|=\varnothing$, $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{r}$, и $\boldsymbol{v}\cup\boldsymbol{q}$ прямо вынуждает $\mathbf{c}\notin[T]$. Определим систему $\varphi\in \mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$ с $|\varphi|=|\psi|$, которая продолжает $\psi$ посредством (a) и

(c) сужения $T^{\psi}_{\eta K}{\upharpoonright_{t}}$ до $T$, так что $T^{\varphi}_{\eta K}{\upharpoonright_{t}}=T$,

и более никаких изменений. Заметим, что (a) и (c) не противоречат одно другому, поскольку $\langle \eta,T,t\rangle\ne\langle \xi,k_\xi,s_\xi\rangle$ для всех $\xi\in\boldsymbol{u}$ по гипотезе случая 2). По построению имеем $\langle n,\varphi\rangle\preccurlyeq\langle n,\psi\rangle$, $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi}=\boldsymbol{v}$, и $T^{\varphi}_{\eta K}{\upharpoonright_{t}}=T^{\boldsymbol{v}}_{\eta}$. В частности, $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi}\cup\boldsymbol{q}$ прямо вынуждает $\mathbf{c}\notin[T^{\varphi}_{\eta K}{\upharpoonright_{t}}]$, так что ($1'$) выполнено. Лемма доказана.

Лемма 12.1. Пусть $\boldsymbol\pi$ – регулярный мультифорсинг, а множество $G\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ является генерическим над исходным универсумом множеств $\mathbf{V}$.

Если $x\in\mathbf{V}[G]\cap 2^\omega$, то существует $\boldsymbol\pi$-полное имя точки $\mathbf{c}\in\mathbf{V}$, $\mathbf{c}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\times\omega\times2$, для которого $x=\mathbf{c}[G]$.

Если $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ есть CCC форсинг^9[x]9Свойство CCC означает, что каждая антицепь $A\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ не более чем счетна. в $\mathbf{V}$, и $\mathbf{c}\in\mathbf{V}$, $\mathbf{c}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\times\omega\times2$ есть $\boldsymbol\pi$-полное имя точки, то существует такое малое $\boldsymbol\pi$-полное имя точки $\mathbf{d}\in\mathbf{V}$, $\mathbf{d}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\times\omega\times2$, что $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ вынуждает $\mathbf{c}[\underline{G}]=\mathbf{d}[\underline{G}]$ над $\mathbf{V}$.

Теорема 12.2. Пусть $\boldsymbol\pi$ – регулярный мультифорсинг и $\xi\in|\boldsymbol\pi|$. Тогда

(i) если $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ есть CCC, множество $G\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ – генерическое над исходным универсумом множеств $\mathbf{V}$, и $x\in\mathbf{V}[G]\cap 2^\omega$, то $x\ne x_{\xi}[G]$, если и только если существует малое $\boldsymbol\pi$-полное имя точки $\mathbf{c}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\times(\omega\times2)$, неглавное над $\boldsymbol\pi$ в $\xi$, и удовлетворяющее $x=\mathbf{c}[G]$;

(ii) если $\mathbf{c}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\times(\omega\times2)$ есть $\boldsymbol\pi$-полное имя точки, – мультифорсинг, , и множество является генерическим над $\mathbf{V}$, то .

Для доказательства в обратную сторону, пусть $\mathbf{c}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\times(\omega\times2)$ есть $\boldsymbol\pi$-полное имя точки, неглавное над $\boldsymbol\pi$ в $\xi$, и $x=\mathbf{c}[G]$. Пусть, напротив, $x=x_{\xi}[G]$. Существует мультидерево $\boldsymbol{q}\in G$, $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$-вынуждающее $\mathbf{c}=x_{\xi}[\underline{G}]$. Раз $\mathbf{c}$ неглавное, существует мультидерево $\boldsymbol{p}\in G\cap \boldsymbol{D}^{\xi}_{\mathbf{c}}(\boldsymbol\pi)$, $\boldsymbol{p}\leqslant\boldsymbol{q}$. Тогда $\boldsymbol{p}$ прямо вынуждает $\mathbf{c}\notin[T^{\boldsymbol{p}}_{\xi}]$, и поэтому $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$-вынуждает то же утверждение. Однако $\boldsymbol{p}$, очевидно, $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$-вынуждает $x_{\xi}[\underline{G}]\in[T^{\boldsymbol{p}}_{\xi}]$, имеем противоречие.

(ii) Пусть напротив, и $\mathbf{c}[G]\in[Q]$. По определению мультифорсинг запирает над $\boldsymbol\pi$ множество

Определение 13.1. Допустим, что – мультифорсинги, $\xi\in|\boldsymbol\pi|$ и $\mathfrak{M}\in\mathrm{HC}$ любое множество. Соотношение означает, что выполнены следующие четыре требования:

(1) если $D\in\mathfrak{M}$, $D\subseteq\boldsymbol\pi(\xi)$, $D$ предплотно в $\boldsymbol\pi(\xi)$, то ;

(2) если ${\boldsymbol{D}}\in\mathfrak{M}$, ${\boldsymbol{D}}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, ${\boldsymbol{D}}$ открыто-плотно в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, то ;

(3) если $\mathbf{c}\in\mathfrak{M}$ есть $\boldsymbol\pi$-полное имя точки, то ;

(4) если $\mathbf{c}\in\mathfrak{M}$ $\boldsymbol\pi$-полное имя точки, неглавное над $\boldsymbol\pi$ в $\xi$, то .

Следствие 13.2 (из лемм 5.4, 6.3, 10.3, 10.6). Пусть – мультифорсинги, и $\mathfrak{M}$ – счетное множество. Тогда

(i) если , то $\boldsymbol\pi\mathrel{{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}\hspace{-1.5ex} {\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}}_\mathfrak{M}\boldsymbol\sigma$;

(ii) если $\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}\rangle_{\alpha<\lambda}$ есть $\boldsymbol\sqsubset$-возрастающая последовательность в $\mathbf{MF}$, $0<\mu< \lambda$, $\boldsymbol\pi=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\mu}\boldsymbol\pi_\alpha$, и $\boldsymbol\pi \mathrel{{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}\hspace{-1.5ex}{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}} _{\mathfrak{M}}\boldsymbol\pi_\mu$, то .

Следствие 13.3. Если $\boldsymbol\pi$ – малый мультифорсинг, $\mathfrak{M}\in\mathrm{HC}$, а является $\mathfrak{M}$-генерическим измельчением $\boldsymbol\pi$ (существует по лемме 7.2!), то .

Определение 14.1. Если $\kappa\leqslant\omega_1$, то через $\overrightarrow{\mathbf{MF}}_\kappa$ обозначим множество всех $\boldsymbol\sqsubset$-возрастающих последовательностей $\vec{\boldsymbol\pi}=\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}\rangle_{\alpha<\kappa}$ мультифорсингов $\boldsymbol\pi_\alpha\in\mathbf{spMF}$, непрерывных по области в том смысле, что если $\lambda<\kappa$ – предельный ординал, то $|\boldsymbol\pi_\lambda|=\bigcup_{\alpha<\lambda}|\boldsymbol\pi_\alpha|$. Пусть $\overrightarrow{\mathbf{MF}}=\bigcup_{\kappa<\omega_1}\overrightarrow{\mathbf{MF}}_\kappa$.

Мы упорядочиваем $\overrightarrow{\mathbf{MF}}\,{\cup}\,\overrightarrow{\mathbf{MF}}_{\omega_1}$ обычными отношениями $\subseteq$ и $\subset$ продолжения последовательностей. А именно, , когда и для всех $\alpha<\kappa$. В этом случае, если $\mathfrak{M}$ – любое множество, и (первый член последовательности , отсутствующий в $\vec{\boldsymbol\pi}$) удовлетворяет , где $\boldsymbol\pi=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\kappa}\boldsymbol\pi_\alpha$, то пишем .

Если $\vec{\boldsymbol\pi}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}_\kappa$, то пусть $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi})= \mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, где $\boldsymbol\pi=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}\vec{\boldsymbol\pi} =\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\kappa}\boldsymbol\pi_\alpha$ (покомпонентное объединение). Соответственно $\vec{\boldsymbol\pi}$-полное имя точки означает $\boldsymbol\pi$-полное имя точки.

Лемма 14.2. Если , $\mathbf{c}$ есть $\vec{\boldsymbol\pi}$-полное имя точки, и , то $\mathbf{c}$ есть и -полное имя точки.

Определение 14.3. Через $\mathbf{ZFL}^-$ обозначим подтеорию $\mathbf{ZFC}$, включающую все аксиомы, кроме аксиомы степени, плюс аксиома конструктивности $\mathbf{V}=\mathbf{L}$ и аксиома существования $\mathscr{P}(\omega)$. (Тогда множества $\omega_1$, $\mathrm{HC}$ и вообще относящиеся к континууму множества вроде $ 2^\omega, \mathbf{PT}$, также существуют.) Аксиома выбора включена в $\mathbf{ZFL}^-$ в форме принципа полной упорядочиваемости.

Если $x\in\mathrm{HC}$ ($\mathrm{HC}=$ наследственно счетные множества, сноска 6), то через $\mathfrak{L}(x)$ обозначим наименьшую счетную транзитивная модель (CTM) теории $\mathbf{ZFL}^-$, содержащую $x$ и удовлетворяющую $x\in(\mathrm{HC})^{\mathfrak{L}(x)}$. Она с необходимостью имеет вид $\mathfrak{L}(x)=\mathbf{L}_\mu$, где $\mu=\mu_x<\omega_1$.

Ординал $\xi<\kappa$ называется критическим для $\vec{\boldsymbol\pi} =\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}_{\alpha<\kappa}\rangle\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}_\kappa$, когда мы имеем $(\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\xi}{\boldsymbol\pi_\alpha}) \mathrel{{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}\hspace{-1.5ex}{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}} _{\mathfrak{L}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\xi)}\boldsymbol\pi_\xi$. Это эквивалентно $\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\xi\subset_{\mathfrak{L}{(\vec{\boldsymbol\pi} \upharpoonright\xi)}}\vec{\boldsymbol\pi}$.

Лемма 14.4. Пусть $\kappa\leqslant\omega_1$ и $\vec{\boldsymbol\pi}=\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}_{\alpha<\kappa}\rangle\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}_\kappa$. Тогда

(i) $\boldsymbol\pi=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}\vec{\boldsymbol\pi} =\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\kappa}\boldsymbol\pi_\alpha$ есть регулярный мультифорсинг;

(ii) если $\kappa<\lambda\leqslant\omega_1$ и $\mathfrak{M}\in\mathrm{HC}$, то существует такая последовательность , что и ;

(iii) если $\xi<\kappa$ – критический ординал $\vec{\boldsymbol\pi}$, $\boldsymbol\pi_{<\xi}=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\xi}\boldsymbol\pi_\alpha$, $\boldsymbol\pi_{\geqslant\xi}=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\xi\leqslant\beta<\kappa}\boldsymbol\pi_\beta$, то $\boldsymbol\pi_{<\xi} \mathrel{{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}\hspace{-1.5ex}{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}} _{\mathfrak{L}{(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\xi)}}\boldsymbol\pi_{\geqslant\xi}$ и $\boldsymbol\pi_{<\xi} \mathrel{{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}\hspace{-1.5ex}{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}} _{\mathfrak{L}{(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\xi)}}\boldsymbol\pi_\beta$ для $\xi\leqslant\beta<\kappa$, следовательно,

• (a) $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi_{\geqslant\xi})$ открыто-плотно в $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi})$,
• (b) если ${\boldsymbol{D}}\in\mathfrak{L}{(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\xi)}$, ${\boldsymbol{D}}\subseteq\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\xi)$, ${\boldsymbol{D}}$ открыто-плотно в $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\xi)$, то ${\boldsymbol{D}}$ предплотно в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi_{<\xi}\cup^{\mathrm{cw}} \boldsymbol\pi_{\geqslant\xi})=\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi})$.

(ii) Определяем члены требуемой последовательности по индукции.

Само собой, для всех $\alpha<\kappa$. Для определения критического члена мы предположим, что $\mathfrak{M}$ содержит $\vec{\boldsymbol\pi}$ и удовлетворяет $\kappa\subseteq\mathfrak{M}$ (иначе возьмем большее множество). По лемме 7.2 существует $\mathfrak{M}$-генерическое измельчение $\boldsymbol\pi'$ мультифорсинга $\boldsymbol\pi=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\kappa}\boldsymbol\pi_\alpha$. По теореме 7.3 $\boldsymbol\pi'$ – малый особый мультифорсинг, $\boldsymbol\pi\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}\boldsymbol\pi'$ и $\boldsymbol\pi_\alpha\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}\boldsymbol\pi'$ для всех $\alpha<\kappa$. Дополнительно, $\boldsymbol\pi \mathrel{{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}\hspace{-1.5ex}{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}} _\mathfrak{M}\boldsymbol\pi'$ согласно следствию 13.3. Положим . Продолженная последовательность принадлежит к $\overrightarrow{\mathbf{MF}}_{\kappa+1}$ и удовлетворяет .

Следующие шаги аналогичны, но только можно взять $\mathfrak{M}=\varnothing$.

Для вывода главного утверждения (iii) ссылаемся на следствие 13.2.

Для вывода (iii), (a) ссылаемся на следствие 6.1. Наконец, (iii), (b). Раз $\boldsymbol\pi_{<\xi} \mathrel{{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}\hspace{-1.5ex}{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}} _{\mathfrak{L}{(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\xi)}}\boldsymbol\pi_{\geqslant\xi}$ и $\boldsymbol{D}\in\mathfrak{L}{(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\xi)}$, мы имеем $\boldsymbol\pi_{<\xi}\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}_{\boldsymbol{D}}\boldsymbol\pi_{\geqslant\xi}$, поэтому множество $\boldsymbol{D}$ предплотно в $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi})$ по лемме 6.3, (i). Лемма доказана.

Определение 15.1. Последовательность $\vec{\boldsymbol\pi}\,{\in}\overrightarrow{\mathbf{MF}}$ блокирует множество $W$, если либо $\vec{\boldsymbol\pi}\in W$ (позитивный блок), либо не существует последовательностей , продолжающих $\vec{\boldsymbol\pi}$ (негативный блок).

Определение 15.2. Мы используем стандартные обозначения $\varSigma^{\mathrm{HC}}_n$, $\varPi^{\mathrm{HC}}_n$, $\varDelta^{\mathrm{HC}}_n$ (наклонные $\varSigma$, $\varPi$, $\varDelta$) для классов эффективной определимости в $\mathrm{HC}$ (параметры не допускаются), и $\mathbf{\Sigma}_n(\mathrm{HC})$, $\mathbf{\Pi}_n(\mathrm{HC})$, $\mathbf{\Delta}_n(\mathrm{HC})$ – для параметрической определимости в $\mathrm{HC}$ (параметры из $\mathrm{HC}$ допускаются). Хорошо известно, что если $n\geqslant1$ и $X\subseteq 2^\omega$, то

Теорема 15.3 (в $\mathbf{L}$). Пусть . Существует последовательность , удовлетворяющая следующим требованиям:

(i) последовательность принадлежит классу определимости ;

(ii) ;

(iii) если и $W\subseteq\overrightarrow{\mathbf{MF}}$ есть $\mathbf{\Sigma}_{\mathbf{n}-3}(\mathrm{HC})$-множество, то существует такой ординал $\gamma<\omega_1$, что последовательность блокирует $W$;

(iv) существует такое замкнутое неограниченное множество , что каждый ординал является критическим для в смысле определения 14.3.

Утверждение. Если , то множество принадлежит .

Общее соглашение 15.4 (в $\mathbf{L}$). С этого момента фиксируем число как в теореме 1.2. Также фиксируем последовательность , удовлетворяющую (i)–(iv) теоремы 15.3 для этого . Мы называем эту фиксированную ключевой последовательностью.

Лемма 15.5. Если и $W\subseteq\overrightarrow{\mathbf{MF}}$ есть $\mathbf{\Sigma}_{\mathbf{n}-3}(\mathrm{HC})$-множество, плотное в $\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, то существует такой ординал $\gamma<\omega_1$, что .

Определение 16.1 (в $\mathbf{L}$). Определим мультифорсинги

Zoom inZoom out

Zoom inZoom out

Следствие 16.2 (в $\mathbf{L}$, согласно 15.3, (ii)). есть регулярный мультифорсинг и , следовательно, (с конечной базой).

Следствие 16.3 (в $\mathbf{L}$). Последовательность ординалов $\langle{\alpha(\xi)}\rangle_{\xi<\omega_1}$ и последовательность форсингов имеют класс .

Следствие 16.4 (в $\mathbf{L}$, из леммы 5.2, (iv)). Если $\xi<\omega_1$ и $\alpha(\xi)\leqslant\alpha<\omega_1$, то множество предплотно в и в .

Следствие 16.5 (в $\mathbf{L}$, из 16.2). Множество замкнуто и неограничено в $\omega_1$.

Лемма 16.6 (в $\mathbf{L}$). Если $X\subseteq\mathrm{HC}=\mathbf{L}_{\omega_1}$, то множество $\mathscr O_X$ всех таких ординалов $\gamma<\omega_1$, что $\langle \mathbf{L}_\gamma; X\cap\mathbf{L}_\gamma\rangle$ есть элементарная подмодель $\langle\mathbf{L}_{\omega_1};X\rangle$ и – стационарно, поэтому неограничено в $\omega_1$.

Вообще, если $X_n\subseteq\mathrm{HC}$ для всех $n$, то множество $\mathscr O$ всех таких $\gamma\,{<}\,\omega_1$, что $\langle\mathbf{L}_\gamma;\langle {X_n\cap\mathbf{L}_\gamma}\rangle_{n<\omega}\rangle$ есть элементарная подмодель $\langle\mathbf{L}_{\omega_1};\langle{X_n}\rangle_{n<\omega}\rangle$ и , стационарно и неограничено в $\omega_1$.

Пусть $C\subseteq\omega_1$ – замкнутое неограниченное множество. Пусть $M$ – счетная элементарная подмодель $\mathbf{L}_{\omega_2}$, содержащая $C$, $\omega_1$, $X$, , и такая, что $M\,{\cap}\,\mathbf{L}_{\omega_1}$ транзитивно. Рассмотрим коллапс по Мостовскому $\phi\colon M\xrightarrow{\text{на}}\mathbf{L}_\lambda$; пусть $\gamma=\phi(\omega_1)$. Тогда

Zoom inZoom out

по выбору $M$. Отсюда следует, что – элементарная подмодель , таким образом, $\gamma\in\mathscr O_X$. Более того, $\gamma$ несчетен в $\mathbf{L}_\lambda$, значит, . (См. определение 14.3 о моделях $\mathfrak{L}(\vec{\boldsymbol\pi})\models\mathbf{ZFL}^-$.) Мы заключаем, что поскольку $X\cap\mathbf{L}_\gamma\in\mathbf{L}_\lambda$ по построению. С другой стороны, $C\cap\gamma$ неограничено в $\gamma$ по элементарности, следовательно, $\gamma\in C$, что и требовалось.

Второе, более общее утверждение мало чем отличается.

Лемма доказана.

Следствие 16.7 (в $\mathbf{L}$). Форсинг удовлетворяет CCC. Следовательно, -генерические расширения $\mathbf{L}$ сохраняют кардиналы.

Пусть – максимальная антицепь. По 15.4 и теореме 15.3, (iv) существует замкнутое неограниченное множество , каждый ординал в котором – критический для . По лемме 16.6 имеется такой ординал , что – максимальная антицепь в и . Тогда множество открыто-плотно в .

Но $\gamma$ – критический ординал для , так что по лемме 14.4, (iii), (b) как множество $D(A')$, так и само $A'$ остаются предплотными в самом множестве . Отсюда следует, что $A=A'$ – счетное множество. Следствие доказано.

Следствие 16.8 (в $\mathbf{L}$). Если множество предплотно в , то найдется такой ординал $\gamma<\omega_1$, что уже предплотно в .

Замечание 17.1. С этого момента мы будем обычно рассуждать в $\mathbf{L}$ и генерических расширениях $\mathbf{L}$, сохраняющих по крайней мере $\omega_1^{\mathbf{L}}$ (сюда относятся и -генерические расширения по следствию 16.7), так что всегда будет $\omega_1^{\mathbf{L}}=\omega_1$. Это позволит нам предполагать, что (а не $\omega_1^{\mathbf{L}}$).

Определение 17.2. Пусть множество является генерическим над конструктивным универсумом $\mathbf{L}$. Если $\xi<\omega_1$, то следуя замечанию 4.5, мы

– определяем ;

– через $x_{\xi}=x_{\xi}[G]\in 2^\omega$ обозначаем единственную точку в $\bigcap_{T\in G(\xi)}[T]$;

– полагаем $\boldsymbol{X}=\boldsymbol{X}[G]=\langle{x_{\xi}[G]}\rangle_{\xi<\omega_1} =\{\langle\xi,x_{\xi}[G]\rangle\colon\xi<\omega_1\}$.

Итак, присоединяет массив $\boldsymbol{X}[G]$ точек $ 2^\omega$ к $\mathbf{L}$, где каждая $x_{\xi}[G]\in 2^\omega\cap\mathbf{L}[G]$ является -генерической точкой над $\mathbf{L}$, и $\mathbf{L}[G]=\mathbf{L}[\boldsymbol{X}[G]]$.

Если $\Delta\subseteq\omega_1$, то пусть .

Лемма 17.3. Пусть $\Delta\in\mathbf{L}$, $\Delta\subseteq\omega_1$. Тогда тождественно произведению , где $\Delta'=\omega_1\setminus\Delta$. Если генерическое над $\mathbf{L}$, то множество $G\upharpoonright\Delta=\{\boldsymbol{p}\in G\colon|\boldsymbol{p}|\subseteq\Delta\}$ является -генерическим над $\mathbf{L}$. Если $\xi<\omega_1$, $\xi\notin\Delta$, то $x_{\xi}[G]\notin \mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta]$.

Теорема 18.1. Допустим, что множество -генерическое над $\mathbf{L}$, $\xi<\omega_1$, и $x\in\mathbf{L}[G]\cap 2^\omega$. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1) $x=x_{\xi}[G]$;

(2) точка $x$ является -генерической над $\mathbf{L}$;

(3) .

Следствие 18.2. Пусть является -генерическим над $\mathbf{L}$, a $M$ – генерическое расширение $\mathbf{L}$, удовлетворяющее $ 2^\omega\cap M\subseteq\mathbf{L}[G]$. Тогда $\boldsymbol{X}[G]\cap M$ есть множество типа в $M$.

Следствие 8.3. Если является -генерическим над $\mathbf{L}$, то в $\mathbf{L}[G]$ существует “хорошее” полное -упорядочение $2^\omega$ длины $\omega_1$.

Лемма 19.1. остается CCC в любом -генерическом расширении $\mathbf{L}[H]$ класса $\mathbf{L}$, так что сохраняет кардиналы над $\mathbf{L}$.

Лемма 19.2. Пусть множество $G\times H$ – -генерическое над $\mathbf{L}$. Тогда

(i) $ 2^\omega\cap\mathbf{L}[G,H]\subseteq\mathbf{L}[G]$, поэтому $\omega_1^{\mathbf{L}}=\omega_1^{\mathbf{L}[G]}=\omega_1^{\mathbf{L}[G,H]}$;

(ii) если $\Delta\in\mathbf{L}$, $\Delta\subseteq\omega_1^{\mathbf{L}}$, то $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta,H]\cap 2^\omega\subseteq\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta]$;

(iii) если $\Delta\in\mathbf{L}[H]$, $\Delta\subseteq\omega_1^{\mathbf{L}}$, и $\xi<\omega_1^{\mathbf{L}}$, то $x_{\xi}[G]\in\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta]$ равносильно $\xi\in\Delta$.

Множество необязательно остается счетно полным в $\mathbf{L}[G]$, так что наиболее простой метод доказательства (ii) не работает. Однако рассмотрим $\mathbf{L}[G,H]$ как -генерическое расширение $\mathbf{L}[H][G]$ модели $\mathbf{L}[H]$. Пусть $x\in 2^\omega\cap\mathbf{L}[H][G]$. Раз есть CCC форсинг в $\mathbf{L}[H]$ по лемме 19.1, лемма 12.1 дает малое -полное имя точки $\mathbf{c}\in\mathbf{L}[H]$, для которого и $x=\mathbf{c}[G]$. Благодаря малости, $\mathbf{c}$ эффективно кодируется точкой $ 2^\omega$, так что $\mathbf{c}\in\mathbf{L}$, поскольку $\mathbf{L}[H]\cap 2^\omega=\mathbf{L}\cap 2^\omega$. Поэтому $x=\mathbf{c}[G]\in\mathbf{L}[G]$.

Доказательство (ii) аналогично.

(iii) В нетривиальном направлении, пусть $\xi\notin\Delta$. Рассмотрим множество $\Delta'=\omega_1^{\mathbf{L}}\setminus\{\xi\}\in\mathbf{L}$. Ясно, что $G\upharpoonright\Delta\in\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta',H]$, и потому любая точка в $2^\omega\cap\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta]$ принадлежит $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta']$ согласно (ii). Но $x_{\xi}[G]\notin \mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta']$ по лемме 17.3.

Лемма доказана.

Определение 19.3. Если $H\colon \omega_1^{\mathbf{L}}\to\{1,2,3\}$, то определим множества

Zoom inZoom out

Zoom inZoom out

Теорема 20.1. Пусть множество является -генерическим над $\mathbf{L}$, а $H\colon \omega_1^{\mathbf{L}}\to\{1,2,3\}$ – функцией -генерической над $\mathbf{L}[G]$. Тогда в $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]$ истинно следующее:

(i) , – дизъюнктные множества класса , неотделимые дизъюнктными $\mathbf{\Sigma}_{\mathbf{n}-1}(\mathrm{HC})$-множествами;

(ii) , – дизъюнктные множества класса неотделимые дизъюнктными $\mathbf{\Pi}_{\mathbf{n}-1}(\mathrm{HC})$-множествами.

Теорема 20.2 (будет доказана в § 26). Пусть множество $X\in\mathbf{L}$, $X\subseteq\omega_1^{\mathbf{L}}$ неограничено в $\omega_1^{\mathbf{L}}$, а множество является -генерическим над $\mathbf{L}$. Тогда $\mathbf{L}[G\upharpoonright X]\cap 2^\omega$ – элементарная подмодель $\mathbf{L}[G]\cap 2^\omega$ по отношению ко всем -формулам с параметрами из $2^\omega\cap\mathbf{L}[G\upharpoonright X]$.

Следствие 20.3. В предположениях теоремы 20.1 $\mathrm{HC}^{\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]}$ есть элементарная подмодель $\mathrm{HC}^{\mathbf{L}[G]}$ по отношению ко всем -формулам.

Имеем $\omega_1^{\mathbf{L}}=\omega_1^{\mathbf{L}[G]} =\omega_1^{\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]}$ и $\Delta_H\cap\lambda\in\mathbf{L}$ для всех $\lambda<\omega_1^{\mathbf{L}}$ по лемме 19.2. Остается сослаться на теорему 20.2, с учетом того, что -определимость соответствует -определимости.

Следствие доказано.

(i) Чтобы проверить, к примеру, что является -множеством в $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]$, достаточно доказать равенство

Zoom inZoom out

в $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]$, где $\boldsymbol{X}=\boldsymbol{X}[G]\cap\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]$ есть -множество в $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]$ согласно следствию 18.2. (Для было бы $\langle 4\nu,x\rangle\in\boldsymbol{X}$ в выделенной формуле.)

Сначала предположим, что $\nu<\omega_1^{\mathbf{L}}$, $\xi=4\nu+1$, $x\in\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]\cap 2^\omega$, и $\langle\xi,x\rangle\in\boldsymbol{X}$; проверим, что . По определению $x=x_{\xi}[G]$, и $\xi\in\Delta_H$ по лемме 19.2, (iii). Но тогда , так что , что и требовалось.

Обратно, пусть , так что . Тогда $\xi=4\nu+1\in\Delta_H$, поэтому $x=x_{\xi}\in\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]$ и $\langle\xi,x\rangle=\langle 4\nu+1,x\rangle\in \boldsymbol{X}$, что и требовалось.

Для доказательства неотделимости предположим, что, напротив, множества , отделимы дизъюнктными $\mathbf{\Sigma}_{\mathbf{n}-1}(\mathrm{HC})$-множествами $A,B\subseteq\omega_1=\omega_1^{\mathbf{L}}$ в $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]$. Множества $A$, $B$ определены, в $\mathrm{HC}^{\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]}$, -формулами $\varphi(a,\xi),\psi(a,\xi)$ соответственно, с точкой $a\in\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]\cap 2^\omega$ в роли параметра, так что, $a\in\mathbf{L}[G]$ по лемме 19.2. Пусть $\lambda<\omega_1^{\mathbf{L}}$ – такой предельный ординал, что $a\in\mathbf{L}[G\upharpoonright \Delta_{H\lambda}]$, где $\Delta_{H\lambda}=\Delta_H\cap\lambda\in\mathbf{L}$.

Если $K\colon \omega_1^{\mathbf{L}}\to\{1,2,3\}$ (например, $K=H$), то положим

• $(\unicode{8224})$ если $K\colon \omega_1^{\mathbf{L}}\to\{1,2,3\}$ является -генерической функцией над $\mathbf{L}[G]$, совместимой с $q_0$, то , , и $ A^\ast_K\cap B^\ast_K=\varnothing$.

Можно предполагать, что $\operatorname{dom}{q_0}\subseteq\lambda$, иначе просто увеличим $\lambda$.

Берем любой ординал $\nu_0$, $\lambda\leqslant\nu_0<\omega_1$. Рассмотрим функции $H_1, H_2, H_{3}$: $\omega_1^{\mathbf{L}}\to\{1,2,3\}$, генерические над $\mathbf{L}[G]$, совместные с $q_0$, и удовлетворяющие ${H_i}(2\nu_0)=i$, $i=1,2,3$, и ${H_1}(\alpha)={H_2}(\alpha)={H_{3}}(\alpha)$ для всех $\alpha\ne 2\nu_0$. Имеем $\Delta_{H_{3}}=\Delta_{H_1}\cup\{4\nu_0+1\}$ по определению 19.3, значит, $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_{H_1}]\subseteq\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_{H_3}]$. Отсюда $ A^\ast_{H_1}\subseteq A^\ast_{H_{3}}$ по следствию 20.3. Значит, согласно ($\unicode{8224}$). Мы получаем $2\nu_0\in A^\ast_{H_{3}}$, поскольку по выбору $H_1$.

Мы выводим $2\nu_0\in B^\ast_{H_{3}}$ аналогичным рассуждением (с $H_2$). Итак, $A^\ast_{H_{3}}\cap B^\ast_{H_{3}}\ne\varnothing$, что противоречит ($\unicode{8224}$). Противоречие завершает доказательство (i).

Доказательство п. (ii) строится совершенно аналогично.

Вывод теоремы 20.1 из теоремы 20.2 закончен.

(i) Рассуждаем в условиях теоремы 20.1. Для построения неотделимой пары -множеств в $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]$, рассмотрим $\varPi^1_1$-множество кодов счетных ординалов $\mathbf{WO}\subseteq 2^\omega$, и для $w\in\mathbf{WO}$ пусть $|w|<\omega_1$ – кодируемый ординал. Раз $\omega_1^{\mathbf{L}}=\omega_1$ согласно 16.7, для любого $\xi<\omega_1$ имеется код $w\in\mathbf{WO}\cap\mathbf{L}$ с $|w|=\xi$. Через $w_\xi$ обозначим $\leqslant_{\mathbf{L}}$-наименьший из них, и пусть и .

Множества $X,Y\subseteq\mathbf{WO}\cap\mathbf{L}$ принадлежат в $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]$ вместе с , , следовательно, , и $X\cap Y=\varnothing$. Пусть, напротив, в $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]$, $X',Y'\subseteq 2^\omega$ являются дизъюнктными множествами в , следовательно, в $\mathbf{\Sigma}_{\mathbf{n}-1}(\mathrm{HC})$, и при этом $X\subseteq X'$ и $Y\subseteq Y'$. Тогда, в $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]$,

Доказательство п. (ii) строится совершенно аналогично.

Вывод теоремы 1.2 из теоремы 20.2 закончен.

Общее соглашение 22.1. Предполагаем, что , ибо если , то теорема 20.2 следует из абсолютности по Шенфилду.

Замечание 22.2. Условие “$\boldsymbol{p}_0$ $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta)$-вынуждает $\varphi[\underline{G}]$ над $\mathfrak{M}$” в $1^\circ$ не зависит от выбора CTM $\mathfrak{M}$, содержащей $\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta$ и $\varphi$, поскольку если $\varphi$ есть $\mathscr{L}(\varSigma\varPi)^1_1$-формула, то все транзитивные модели согласованы по отношению к формуле $\varphi[G]$ по теореме абсолютности Мостовского [20; теорема 25.4].

Лемма 22.3. Пусть последовательности принадлежат $\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, $\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}$, $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$, $\varphi$ есть $\mathscr{L}$-формула. Тогда $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$ влечет .

Пусть $\varphi$ есть $\mathscr{L}(\varSigma\varPi)^1_1$-формула, и $\mathfrak{M}$, $\vartheta$, $\boldsymbol{p}_0$, как в $1^\circ$, обеспечивают $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$. Тогда те же $\mathfrak{M}$, $\vartheta$, $\boldsymbol{p}_0$ обеспечивают .

Индуктивный шаг $\exists$, как в $2^\circ$, достаточно элементарен.

Теперь индуктивный шаг $\forall$, как в $3^\circ$. Пусть $\varphi$ – замкнутая $\mathscr{L}\varPi^1_n$-формула, $n\geqslant2$, и $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$. Допустим, что не выполнено, т. е. согласно $3^\circ$ имеются: последовательность и мультидерево , удовлетворяющие , $\boldsymbol{q}'\leqslant\boldsymbol{q}$ и . Но тогда и $\boldsymbol{q}'\leqslant\boldsymbol{p}$, так что и $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$ не может иметь места по $3^\circ$. Лемма 22.3 доказана.

Определение 22.4. Если $K$ – один из классов $\mathscr{L}(\varSigma\varPi)^1_1$, $\mathscr{L}\varSigma^1_n$, $\mathscr{L}\varPi^1_n$ ($n\,{\geqslant}\,2$), то $\mathbf{FORC}[K]$ есть множество всех таких троек $\langle\vec{\boldsymbol\pi},\boldsymbol{p},\varphi\rangle$, что $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$.

Лемма 22.5 (определимость, в $\mathbf{L}$). $\mathbf{FORC}[\mathscr{L}(\varSigma\varPi)^1_1]\in\varDelta^{\mathrm{HC}}_1$. Если $n\geqslant2$, то $\mathbf{FORC}[\mathscr{L}\varSigma^1_n]$ принадлежит $\varSigma^{\mathrm{HC}}_{n-1}$, а $\mathbf{FORC}[\mathscr{L}\varPi^1_n]$ принадлежит $\varPi^{\mathrm{HC}}_{n-1}$.

Индуктивный шаг $2^\circ$ достаточно элементарен.

Теперь индуктивный шаг $3^\circ$. Пусть $n\geqslant2$, и $\mathbf{FORC}[\mathscr{L}\varSigma^1_n]\in\varSigma^{\mathrm{HC}}_{n-1}$ уже установлено. Однако $\langle\vec{\boldsymbol\pi},\boldsymbol{p},\varphi\rangle\in\mathbf{FORC}[\mathscr{L}\varPi^1_n]$, когда $\vec{\boldsymbol\pi}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}$, $\varphi$ – замкнутая $\mathscr{L}\varPi^1_n$-формула, и согласно $3^\circ$ нет ни одной такой тройки $\langle\vec{\boldsymbol\tau},\boldsymbol{p}',\psi\rangle \in\mathbf{FORC}[\mathscr{L}\varSigma^1_n]$, что $\vec{\boldsymbol\tau}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, $\vec{\boldsymbol\pi}\subseteq\vec{\boldsymbol\tau}$, $\boldsymbol{p}'\in\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\tau})$, $\boldsymbol{p}'\leqslant\boldsymbol{p}$ и $\psi$ есть $\varphi^-$. Отсюда легко следует требуемая $\varPi^{\mathrm{HC}}_{n-1}$-оценка для $\mathbf{FORC}[\mathscr{L}\varPi^1_n]$. Лемма 22.5 доказана.

Лемма 22.6 (в $\mathbf{L}$). Пусть $\vec{\boldsymbol\pi}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi})$, $\varphi$ есть $\mathscr{L}(\varSigma\varPi)^1_1$-формула.

(i) Если , ТМ $\mathfrak{N}\models\mathbf{ZFL}^-$ содержит и $\varphi$, и $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$, то $\boldsymbol{p}$ -вынуждает $\varphi[\underline{G}]$ над $\mathfrak{N}$ в обычном смысле.

(ii) Если ТМ $\mathfrak{N}\models\mathbf{ZFL}^-$ содержит $\vec{\boldsymbol\pi}$, каждое имя $\mathbf{c}$ в $\varphi$ принадлежит $\mathfrak{N}$ и является $\vec{\boldsymbol\pi}$-полным, и $\boldsymbol{p}$ -вынуждает $\varphi[\underline{G}]$ над $\mathfrak{N}$, то найдется такая , что и .

Пусть множество является -генерическим над $\mathfrak{N}$ и $\boldsymbol{p}\in G$ – тогда также $\boldsymbol{p}_0\in G$. Нужно доказать, что $\varphi[G]$ истинно в $\mathfrak{N}[G]$.

Утверждается, что множество $G'=G\cap\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta)$ – $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta)$-генерическое над $\mathfrak{M}$. Действительно, пусть $\boldsymbol{D}\in\mathfrak{M}$, $\boldsymbol{D}\subseteq\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta)$ открыто-плотно в $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta)$. Однако , поэтому $\boldsymbol{D}$ предплотно в согласно лемме 14.4, (iii), (b), так что $G\cap\boldsymbol{D}\ne\varnothing$ по выбору $G$. Следовательно, $G'\cap\boldsymbol{D}\ne\varnothing$.

Теперь, если $\mathbf{c}$ – имя в $\varphi$, то $\mathbf{c}\in\mathfrak{M}$ и $\mathbf{c}$ является $\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta$-полным. Значит, согласно доказанному $\mathbf{c}[G']\in 2^\omega$ определено. Следовательно, $\mathbf{c}[G]=\mathbf{c}[G']$, так как $G'\subseteq G$. Поэтому $\varphi[G]$ тождественно $\varphi[G']$. Заметим также, что $\boldsymbol{p}_0\in G'$. Мы заключаем, что $\varphi[G']$ истинно в $\mathfrak{M}[G']$, так как $\boldsymbol{p}_0$ вынуждает $\varphi[\underline{G}]$ над $\mathfrak{M}$. Та же формула $\varphi[G]$ тогда истинна и в $\mathfrak{N}[G]$ по абсолютности Мостовского.

(ii) Лемма 14.4, (ii) дает , для которой .

Лемма 22.6 доказана.

Лемма 22.7 (в $\mathbf{L}$). Пусть $\vec{\boldsymbol\pi}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi})$, $\varphi$ – формула из $\mathscr{L}(\varSigma\varPi)^1_1$ или $\mathscr{L}\varSigma^1_n$, $n\geqslant2$. Тогда $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$ и $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi^-$ не выполняются вместе.

Теорема 23.1. Пусть – последовательности в $\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, , , $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}$, $n\geqslant2$ и $\varphi$ есть формула из $\mathscr{L}\varPi^1_n\cup\mathscr{L}\varSigma^1_{n+1}$. Тогда $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$ равносильно .

Часть 1. Случай $\mathscr{L}\varPi^1_2$. Рассмотрим $\mathscr{L}\varSigma^1_1$-формулу $\psi(x)$. Допустим, что не имеет места, т. е. существуют такие и мультидерево , что , $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$ и . Можно предполагать, что . По определению $2^\circ$ (§ 22) имеется малое имя точки $\mathbf{c}$, для которого . По определению $1^\circ$ найдется такой ординал , что каждое имя $\mathbf{c}'$ в формуле $\psi^-(\mathbf{c})$, включая $\mathbf{c}'=\mathbf{c}$, -полно, значит, и -полно по лемме 14.2.

Определим последовательность $\vec{\boldsymbol\pi}'$ так, что $\operatorname{dom}{\vec{\boldsymbol\pi}'}=\lambda'$, $\vec{\boldsymbol\pi}\subseteq\vec{\boldsymbol\pi}'$ и . Тогда , значит, $\boldsymbol{q} \in\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}'{\upharpoonright_{\geqslant\gamma}})\subseteq\mathbf{MT} (\vec{\boldsymbol\pi}')$.

Рассмотрим любую CTM $\mathfrak{N}\models\mathbf{ZFL}^-$, содержащую $\psi$, $\mathbf{c}$, $\vec{\boldsymbol\pi}'$, . Тогда $\boldsymbol{q}$ -вынуждает $\psi^-(\mathbf{c})[\underline{G}]$ над $\mathfrak{N}$ по лемме 22.6. Однако форсинги $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}')$, включают одно и то же плотное множество . Следовательно, каждое имя $\mathbf{c}'$ в формуле $\psi^-(\mathbf{c})$, включая $\mathbf{c}'=\mathbf{c}$, $\vec{\boldsymbol\pi}'$-полно, поскольку оно -полно, и $\boldsymbol{q}$ также $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}')$-вынуждает $\psi^-(\mathbf{c})[\underline{G}]$ над $\mathfrak{N}$. Значит, по лемме 22.6, (ii) найдется такая последовательность $\vec{\boldsymbol\tau}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, что $\vec{\boldsymbol\pi}'\subseteq\vec{\boldsymbol\tau}$ и $\boldsymbol{q}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\tau}}\psi^-(\mathbf{c})$. Но тогда $\boldsymbol{q}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\tau}}\exists\, x\,\psi^-(x)$, поэтому не имеет места $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\forall\, x\,\psi(x)$, что и требовалось.

Часть 2. Шаг $\mathscr{L}\varPi^1_n\to\mathscr{L}\varSigma^1_{n+1}$, $n\geqslant2$. Рассмотрим $\mathscr{L}\varPi^1_n$-формулу $\varphi(x)$. Пусть $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\exists\, x\,\varphi(x)$. По определению (см. $2^\circ$ в § 22) существует малое имя точки $\mathbf{c}$, для которого $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi(\mathbf{c})$. Тогда мы имеем по индуктивному предположению, так что .

Часть 3. Шаг $\mathscr{L}\varSigma^1_n\to\mathscr{L}\varPi^1_n$, $n\geqslant3$. Пусть $\varphi$ есть $\mathscr{L}\varPi^1_n$-формула, и не имеет места. По определению $3^\circ$ (§ 22) найдутся последовательность и мультидерево , для которых , $\boldsymbol{p}'\leqslant\boldsymbol{p}$ и . По лемме 14.4, (ii), (a) имеется мультидерево , $\boldsymbol{r}\leqslant\boldsymbol{p}'$. Тогда $\boldsymbol{r}\leqslant\boldsymbol{p}$ и . Зададим последовательность $\vec{\boldsymbol\pi}'\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$ соотношениями , $\vec{\boldsymbol\pi}\subseteq\vec{\boldsymbol\pi}'$ и . Тогда $\boldsymbol{r}\in\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}'{\upharpoonright_{\geqslant\gamma}})$, $\boldsymbol{r}\leqslant\boldsymbol{p}$ и также $\boldsymbol{r}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}'}\varphi^-$ по индуктивному предположению. Мы заключаем, что и $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$ не имеет места.

Теорема 23.1 доказана.

Теорема 24.1. Пусть $\vec{\boldsymbol\pi}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi})$, $\boldsymbol{h}\in\mathrm{PERM}$, $n\geqslant2$ и $\varphi$ принадлежит $\mathscr{L}\varPi^1_n\cup\mathscr{L}\varSigma^1_{n+1}$. Тогда $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$ равносильно $(\boldsymbol{h}\boldsymbol{p}) \operatorname{forc}_{\boldsymbol{h}\vec{\boldsymbol\pi}}(\boldsymbol{h}\varphi)$.

Пусть , $\boldsymbol{q}=\boldsymbol{h}\boldsymbol{p}$.

Часть 1. Случай $\mathscr{L}\varPi^1_2$. Пусть $\varphi(x)$ есть $\mathscr{L}\varSigma^1_1$ формула, $\psi(x):=\boldsymbol{h}\varphi(x)$, и не выполнено. По определению ($1^\circ$, $2^\circ$ в § 22) имеются последовательность , мультидерево и малое имя точки $\mathbf{d}$, для которых , $\boldsymbol{q}'\leqslant\boldsymbol{q}$, и . Тогда последовательность удовлетворяет $\vec{\boldsymbol\pi}\subset\vec{\boldsymbol\pi}'$, мультидерево $\boldsymbol{p}'=\boldsymbol{h}\boldsymbol{q}'$ принадлежит $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}')$, $\boldsymbol{p}'\leqslant\boldsymbol{p}$, а $\mathbf{c}=\boldsymbol{h}{\mathbf{d}}$ есть малое имя точки. Но здесь нельзя сразу утверждать, что $\boldsymbol{p}'\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}'}\varphi^-(\mathbf{c})$, ибо существование $\mathfrak{M}$ и $\vartheta$, как в $1^\circ$ § 22, необязательно сохраняется действием $\boldsymbol{h}^{-1}$ или $\boldsymbol{h}$.

Чтобы обойти эту трудность, пусть $\mathfrak{M}\models\mathbf{ZFL}^-$ есть любая CTM, содержащая $\vec{\boldsymbol\pi}'$, , $\boldsymbol{h}$, $\mathbf{c}$, $\mathbf{d}$ и (все имена в) $\varphi$, $\psi$. Тогда $\boldsymbol{q}'$ -вынуждает $\psi^-(\mathbf{d})[\underline{G}]$ над $\mathfrak{M}$ по лемме 22.6, (i). Но тогда $\boldsymbol{p}'$ $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}')$-вынуждает $\varphi^-(\mathbf{c})[\underline{G}]$ над $\mathfrak{M}$ по стандартным теоремам форсинга. Лемма 22.6, (ii) дает такую последовательность $\vec{\boldsymbol\tau}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$ с $\vec{\boldsymbol\pi}'\subset \vec{\boldsymbol\tau}$, что $\boldsymbol{p}'\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\tau}}\varphi^-(\mathbf{c})$, и потому $\boldsymbol{p}'\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\tau}}\exists\, x\,\varphi^-(x)$ согласно $2^\circ$. Но $\vec{\boldsymbol\pi}\subset\vec{\boldsymbol\pi}'\subset\vec{\boldsymbol\tau}$ и $\boldsymbol{p}'\leqslant\boldsymbol{p}$, значит, $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\forall\, x\,\varphi(x)$ не выполнено по $3^\circ$, что и требовалось.

Часть 2. Шаг $\mathscr{L}\varPi^1_n\to\mathscr{L}\varSigma^1_{n+1}$, $n\geqslant2$. Пусть $\varphi(x)$ есть $\mathscr{L}\varPi^1_n$-формула, и $\psi(x):=\boldsymbol{h}\varphi(x)$. Допустим, что $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\exists\, x\,\varphi(x)$. По определению, см. $2^\circ$ в § 22, существует малое имя точки $\mathbf{c}$, удовлетворяющее $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi(\mathbf{c})$. Тогда мы имеем по индуктивному предположению, где $\mathbf{d}=\boldsymbol{h}\mathbf{c}$ само есть малое имя точки. Значит, .

Часть 3. Шаг $\mathscr{L}\varSigma^1_n\to\mathscr{L}\varPi^1_n$, $n\geqslant3$. Пусть $\varphi(x)$ есть $\mathscr{L}\varPi^1_n$-формула, и не выполнено, где $\boldsymbol{q}=\boldsymbol{h}\boldsymbol{p}$, , а $\psi$ есть $\boldsymbol{h}\varphi$, как и выше. Согласно $3^\circ$ имеются такие последовательность и мультидерево , что , $\boldsymbol{q}'\leqslant\boldsymbol{q}$, и . Теперь пусть $\boldsymbol{p}'=\boldsymbol{h}^{-1}\boldsymbol{q}'$ и , так что $\boldsymbol{p}'\leqslant\boldsymbol{p}$ и $\vec{\boldsymbol\pi}\subseteq\vec{\boldsymbol\pi}'$. Имеем $\boldsymbol{p}'\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}'}\varphi^-$ по индуктивному предположению. Значит, $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$ не выполнено, что и требовалось.

Теорема 24.1 доказана.

Определение 25.1. Для краткости пишем $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\alpha\varphi}$ вместо . Пусть $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}\varphi$ означает: $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\alpha\varphi}$ для какого-то $\alpha<\omega_1$.

Лемма 25.2 (в $\mathbf{L}$). Пусть , $\alpha<\omega_1$ и $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\alpha\varphi}$. Тогда

(i) если $\alpha\leqslant\beta<\omega_1$, и $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$, то $\boldsymbol{q}\operatorname{forc}_{\beta\varphi}$;

(ii) если , $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$, то $\boldsymbol{q}\operatorname{forc}_{\beta\varphi}$ для некоторого $\beta$, $\alpha\leqslant\beta<\omega_1$;

(iii) если и $\boldsymbol{q}\operatorname{forc}\varphi^-$, то $\boldsymbol{p}$, $\boldsymbol{q}$ являются гпд;

(iv) следовательно, во-первых, если , $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$ и $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}\varphi$, то $\boldsymbol{q}\operatorname{forc}\varphi$, и во-вторых, $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}\varphi$, $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}\varphi^-$ не выполняются вместе.

Теорема 25.3. Если $\varphi$ – замкнутая $\mathscr{L}$-формула в

Через $\Vdash$ обозначим обычное -вынуждение над $\mathbf{L}$.

Часть 1. $\varphi$ – формула из $\mathscr{L}(\varSigma\varPi)^1_1$. Если $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}\varphi$, то для какого-то $\gamma<\omega_1$, и тогда $\boldsymbol{p}\Vdash\varphi[\underline{G}]$ по лемме 22.6, (i) с и $\mathfrak{N}=\mathbf{L}$.

Пусть теперь $\boldsymbol{p}\Vdash\varphi[\underline{G}]$. Существует такой ординал $\gamma_0<\omega_1$, что и $\varphi$ (т. е. все имена в $\varphi$) принадлежит . (См. определение 14.3 о моделях $\mathfrak{L}(x)\models\mathbf{ZFL}^-$.) Множество $U$ всех таких последовательностей $\vec{\boldsymbol\pi}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, что $\gamma_0<\operatorname{dom}\vec{\boldsymbol\pi}$ и найдется ординал $\vartheta$, $\gamma_0<\vartheta<\operatorname{dom}\vec{\boldsymbol\pi}$, для которого $\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta \subset_{\mathfrak{L}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta)}\vec{\boldsymbol\pi}$, плотно в $\overrightarrow{\mathbf{MF}}$ по лемме 14.4, (ii), и принадлежит $\mathbf{\Delta}_1(\mathrm{HC})$. Поэтому по следствию 15.5 имеется такой ординал $\gamma<\omega_1$, что . Пусть $\vartheta$ – соответствующий ординал, т. е. $\gamma_0<\vartheta<\gamma=\operatorname{dom}\vec{\boldsymbol\pi}$ и $\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta \subset_{\mathfrak{L}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta)}\vec{\boldsymbol\pi}$. Утверждается, что $\boldsymbol{p}$ $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta)$-вынуждает $\varphi[\underline{G}]$ над $\mathfrak{L}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta)$ в обычном смысле – тогда по определению $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$, что и требовалось.

Для доказательства утверждения предположим противное. Тогда имеется мультидерево , $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$, $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta)$-вынуждающее $\neg\,\varphi[\underline{G}]$ над $\mathfrak{L}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta)$. Отсюда по определению (см. $1^\circ$ в § 22) следует $\boldsymbol{q}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\neg\,\varphi$, т. е. $\boldsymbol{q}\operatorname{forc}\neg\,\varphi$, далее, $\boldsymbol{q}\Vdash\neg\,\varphi[\underline{G}]$ (см. выше), с противоречием к $\boldsymbol{p}\Vdash\varphi[\underline{G}]$.

Часть 2. Шаг $\mathscr{L}\varPi^1_n\to\mathscr{L}\varSigma^1_{n+1}$ ($n\geqslant1$). Рассмотрим любую $\mathscr{L}\varPi^1_n$-формулу $\varphi(x)$. Пусть $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}\exists\, x\,\varphi(x)$. По определению существует малое имя точки $\mathbf{c}$, для которого $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}\varphi(\mathbf{c})$. По индуктивному предположению $\boldsymbol{p}\Vdash\varphi(c)[\underline{G}]$, откуда $\boldsymbol{p}\Vdash\exists\, x\,\varphi(x)[\underline{G}]$. Обратно, пусть $\boldsymbol{p}\Vdash\exists\, x\,\varphi(x)[\underline{G}]$. Раз есть CCC форсинг, найдется малое имя точки $\mathbf{c}$ (в $\mathbf{L}$), для которого $\boldsymbol{p}\Vdash\varphi(\mathbf{c})[\underline{G}]$. Тогда $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}\varphi(\mathbf{c})$ по индуктивному предположению, значит, $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}\exists\, x\,\varphi(x)$.

Часть 3. Шаг $\mathscr{L}\varSigma^1_n\to\mathscr{L}\varPi^1_n$ (). Пусть $\varphi$ – замкнутая $\mathscr{L}\varSigma^1_n$-формула, и $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}\varphi^-$. По лемме 25.2, (iv) нет таких мультидеревьев , $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$, что $\boldsymbol{q}\operatorname{forc}\varphi$. Отсюда $\boldsymbol{p}\Vdash\varphi^-$ по индуктивному предположению.

Обратно, пусть $\boldsymbol{p}\Vdash\varphi^-$. Найдется такой ординал $\gamma_0<\omega_1$, что и $\varphi$ принадлежит модели . Рассмотрим множество $U$ всех таких последовательностей $\vec{\boldsymbol\pi}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, что $\operatorname{dom}\vec{\boldsymbol\pi}>\gamma_0$ и существует мультидерево $\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi})$, удовлетворяющее $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$ и $\boldsymbol{q}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$. Имеем $U\in\mathbf{\Sigma}_{n-1}(\mathrm{HC})$ (с параметрами $\varphi$, $\boldsymbol{p}_0$) по лемме 22.5, значит, $U\in\mathbf{\Sigma}_{\mathbf{n}-3}(\mathrm{HC})$, где согласно общему соглашению 22.1. Следовательно, согласно общему соглашению 15.4 (и п. (iii) теоремы 15.3) найдется такой ординал $\gamma<\omega_1$, что блокирует $U$.

Случай 1. . Пусть $\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi})$ – соответствующее мультидерево, т. е. в частности $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$ и $\gamma>\gamma_0$. Имеем , $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$ и , так что $\boldsymbol{q}\Vdash\varphi[\underline{G}]$ по индуктивному предположению, что противоречит выбору $\boldsymbol{p}$. Значит, случай 1 невозможен.

Случай 2. Ни одна последовательность в $U$ не продолжает . Можно предполагать, что $\gamma>\gamma_0$. (Если нет, то заменим $\gamma$ на $\gamma_0+1$.) Утверждается, что $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\gamma}\varphi^-$. В самом деле, иначе согласно $3^\circ$ найдутся такие последовательность $\vec{\boldsymbol\pi}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$ и мультидерево $\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi})$, что , $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$ и . Но тогда $\vec{\boldsymbol\pi}$ принадлежит $U$. Однако , что противоречит предположению случая 2. Таким образом, $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}\varphi^-$, что и требовалось.

Теорема 25.3 доказана.

Предположим противное. Тогда существует такая -формула $\varphi(r,x)$, с единственным параметром $r\in 2^\omega\cap\mathbf{L}[G\upharpoonright X]$ и точка $x_0\in 2^\omega\cap\mathbf{L}[G]$, что $\varphi(r,x_0)$ истинно в $\mathbf{L}[G]$, но нет таких $x\in 2^\omega\cap\mathbf{L}[G\,{\upharpoonright}\,X]$, что $\varphi(r,x)$ истинно в $\mathbf{L}[G]$. Согласно подходящему варианту леммы 12.1, мы имеем $r=\mathbf{c}_0[G]$, где – малое -полное имя точки. (Обозначения см. § 17.) Также имеется малое -полное имя точки , для которого $x_0=\mathbf{c}[\underline{G}]$.

По теореме 25.3 найдется такое мультидерево $\boldsymbol{p}_0\in G$, что

(1) $\boldsymbol{p}_0$ -вынуждает “$\varphi(\mathbf{c}_0[\underline{G}],\mathbf{c}[\underline{G}])\,\land\, \neg\,\exists\, x\in \mathbf{L}[\underline{G}\upharpoonright X]\,\varphi(\mathbf{c}_0[\underline{G}],x)$” над $\mathbf{L}$;

(2) $\boldsymbol{p}_0\operatorname{forc} \varphi(\mathbf{c}_0,\mathbf{c})$, т. е. , где $\gamma_0<\omega_1$ – и можно предполагать, что также выполнено .

Коль скоро $\mathbf{c}$, $\mathbf{c}_0$ – малые имена, найдется ординал $\delta<\omega_1$, для которого

(3) $|\mathbf{c}_0|\subseteq \delta\cap X$, $|\mathbf{c}|\subseteq\delta$ и $|\boldsymbol{p}_0|\subseteq\delta$.

Поскольку согласно следствию 16.2, мы можем увеличить $\gamma_0$, если потребуется, чтобы выполнялось

(4) , т. е. если $\eta<\delta$, то для какого-то $\alpha'=\alpha'(\eta)<\gamma_0$.

Отсюда мы будем выводить противоречие. Положим $D=\delta\setminus X$.

Рассмотрим множество $U$ всех таких последовательностей $\vec{\boldsymbol\pi}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, что , откуда $\boldsymbol{p}_0\in\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi})$ по (2), и существуют $\zeta<\operatorname{dom}\vec{\boldsymbol\pi}$ и $\boldsymbol{h}\in \mathrm{PERM}$, для которых

(A) $\mathbf{NID}(\boldsymbol{h})\cap(\delta\cap X)=\varnothing$, и $\boldsymbol{h}$ отображает $D$ на множество $R\subseteq X\setminus\delta$;

(B) $\gamma_0\leqslant\zeta<\operatorname{dom}\vec{\boldsymbol\pi}$ и $(\boldsymbol{h}\vec{\boldsymbol\pi}){\upharpoonright_{\geqslant\zeta}} =\vec{\boldsymbol\pi}{\upharpoonright_{\geqslant\zeta}}$, так что $\boldsymbol{h}(\vec{\boldsymbol\pi}(\alpha))=\vec{\boldsymbol\pi}(\alpha)$ при $\zeta\leqslant\alpha<\operatorname{dom}\vec{\boldsymbol\pi}$.

Рутинная оценка показывает, что $U$ является $\mathbf{\Sigma}_1(\mathrm{HC})$-множеством (параметры , $\delta$), следовательно, $\mathbf{\Sigma}_{\mathbf{n}-3}(\mathrm{HC})$-множеством, так как согласно общему соглашению 22.1. Значит, согласно 15.4, имеется такой ординал $\gamma<\omega_1$, что блокирует $U$.

Случай 1. , так что (A), (B) выполнены для , при помощи каких-то $\zeta\in[\gamma_0,\gamma)$ и $\boldsymbol{h}\in\mathrm{PERM}$. В частности, по (B), при $\zeta\leqslant\alpha<\gamma$. Имеем согласно (2) и лемме 22.3. Пусть $\mathbf{c}'=\boldsymbol{h}\mathbf{c}$, $\boldsymbol{p}_0'=\boldsymbol{h}\boldsymbol{p}_0$. Тогда $\boldsymbol{h}\mathbf{c}_0=\mathbf{c}_0$, так как $|\mathbf{c}_0|\cap\mathbf{NID}(\boldsymbol{h})=\varnothing$ по (A). Теорема 24.1 дает . Значит, согласно (B) и теореме 23.1. Но общая область $|\boldsymbol{p}_0|\cap|\boldsymbol{p}_0'|$ не пересекает $\mathbf{NID}(\boldsymbol{h})$ по (A), ибо $|\boldsymbol{p}_0|\subseteq\delta$. Значит, $\boldsymbol{p}_0$, $\boldsymbol{p}_0'$ совместны, так что $\boldsymbol{p}=\boldsymbol{p}_0\cup\boldsymbol{p}_0'\in\mathbf{MT}$ (необязательно ) и $\boldsymbol{p}\leqslant\boldsymbol{p}_0'$, поэтому .

К сожалению, здесь нельзя сразу применить теорему 25.3 для вывода, что $\boldsymbol{p}$ -вынуждает $\varphi(\mathbf{c}_0[\underline{G}],\mathbf{c}'[\underline{G}])$ над $\mathbf{L}$, просто по той причине, что $\boldsymbol{p}$ необязательно принадлежит . Требуется дополнительное рассуждение. Напомним, что , поэтому . Поскольку $\zeta>\gamma_0$, найдется мультидерево , удовлетворяющее $|\boldsymbol{q}_0|=|\boldsymbol{p}_0'|$ и $\boldsymbol{q}_0\leqslant\boldsymbol{p}_0'$. Тогда (так как ), и , поскольку . Итак, . Сверх того, $\boldsymbol{q}_0$ совместно с $\boldsymbol{p}_0$ в , поскольку $|\boldsymbol{q}_0|=|\boldsymbol{p}_0'|$ и $\boldsymbol{q}_0\leqslant\boldsymbol{p}_0'$, и $\boldsymbol{p}_0'$ совпадает с $\boldsymbol{p}_0$ на общей области $|\boldsymbol{p}_0|\cap|\boldsymbol{p}_0'|=\delta\cap X$. Поэтому найдется такое , что $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}_0$, $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{q}_0$. Тогда , и мы заключаем, что

(5) $\boldsymbol{q}$ -вынуждает $\varphi(\mathbf{c}_0[\underline{G}],\mathbf{c}'[\underline{G}])$ над $\mathbf{L}$

по теореме 25.3. Однако по построению $|\mathbf{c}'|\subseteq (\delta\cap X)\cup R\subseteq X$, так что вынуждается $\mathbf{c}'[\underline{G}]\in \mathbf{L}[\underline{G}\upharpoonright X]$. Значит, $\boldsymbol{q}$ -вынуждает $\exists\, x\in \mathbf{L}[\underline{G}\upharpoonright X]\,\varphi(\mathbf{c}_0[\underline{G}],x)$ над $\mathbf{L}$ по (5), что противоречит (1). Противоречие закрывает случай 1.

Случай 2. Ни одна последовательность в $U$ не продолжает . Можно предполагать, что $\gamma>\gamma_0$. (Иначе заменим $\gamma$ на $\gamma_0+1$.) Выберем любое множество $R\subseteq X\setminus\delta$, удовлетворяющее

Zoom inZoom out

Берем любой ординал $\lambda$, $\gamma<\lambda<\omega_1$. Наш план состоит в том, чтобы несколько изменить , чтобы также было выполнено (B) для $\zeta=\gamma$. Изменение заменит $R$-часть последовательности над $\gamma$ $\boldsymbol{h}$-копией ее $D$-части. Чтобы выполнить это в деталях, напомним, что , где каждое – малый особый мультифорсинг со счетной областью . Если $\alpha<\gamma$, то положим . Теперь пусть $\gamma\leqslant\alpha<\lambda$. Тогда по (4). На основе , определим новый мультифорсинг $\boldsymbol\pi_\alpha$ так, что

(a) $|\boldsymbol\pi_\alpha|=d_\alpha\cup R$ – заметим, что в этом случае, так как по (4) (поскольку $\gamma_0\leqslant\gamma$);

(b) если $\xi\in d_\alpha\setminus R$, то ;

(c) если $\xi\in D$, т. е. $\boldsymbol{h}(\xi)=\eta\in R$, то .

Мы утверждаем, что $\vec{\boldsymbol\pi}=\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}_{\alpha<\lambda}\rangle \in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, т. е. если $\alpha<\beta<\lambda$, то $\boldsymbol\pi_\alpha\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}\boldsymbol\pi_\beta$. Другими словами, если $\eta\in |\boldsymbol\pi_\alpha|$, то $\boldsymbol\pi_\alpha(\eta)\sqsubset\boldsymbol\pi_\beta(\eta)$.

Если $\eta\notin R$, то по построению. Осталось проверить, что $\boldsymbol\pi_\alpha(\eta)\sqsubset\boldsymbol\pi_\beta(\eta)$ выполнено при условии, что $\alpha<\beta<\lambda$, $\eta=\boldsymbol{h}(\xi)\in R\cap |\boldsymbol\pi_\alpha|$ и $\xi\in D$. Если при этом $\alpha<\gamma$, то $R\cap |\boldsymbol\pi_\alpha|=\varnothing$ по выбору $R$, так что осталось рассмотреть случай $\gamma\leqslant\alpha$. Тогда $\xi,\eta\in |\boldsymbol\pi_\alpha|$ по построению, и мы имеем и . Поэтому $\boldsymbol\pi_\alpha(\xi)\sqsubset\boldsymbol\pi_\beta(\xi)$, что и требовалось.

Мы утверждаем, что последовательность $\vec{\boldsymbol\pi}=\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}_{\alpha<\lambda}\rangle$ удовлетворяет и (A), (B). В самом деле, , так как $\gamma\geqslant\gamma_0$. (A) выполнено по построению. Утверждается, что (B) выполнено для $\zeta=\gamma$, т. е. если $\gamma\leqslant\alpha<\lambda$, то $\boldsymbol{h}\cdot\boldsymbol\pi_\alpha=\boldsymbol\pi_\alpha$. Действительно, $D\cup R\subseteq |\boldsymbol\pi_\alpha|$ по (a), так что $\boldsymbol{h}\cdot\boldsymbol\pi_\alpha=\boldsymbol\pi_\alpha$ следует из (b), (c). Итак, $\vec{\boldsymbol\pi}\in U$ и . Но это противоречит гипотезе случая 2.

Каждый из двух случаев привел к противоречию, что и завершает доказательство теоремы 20.2. Таким образом, теорема 1.2 также доказана.