PDF полного текста (1396 kB) PDF английской версии (1066 kB) Список цитирования (125)

DOI: https://doi.org/10.4213/rm2121

Аннотация: Спектры операторов Шрёдингера и Дирака с периодическим потенциалом на прямой $\mathbb R$ имеют зонную структуру, т.е. интервалы непрерывного спектра перемежаются спектральными лакунами, или зонами неустойчивости. Размеры этих зон убывают, и скорость этого убывания зависит от гладкости потенциала. Можно идти и в другую сторону и делать заключение о гладкости потенциала на основании того, как быстро убывают зоны неустойчивости. На уровне бесконечно-дифференцируемых или аналитических функций это явление в случае операторов Шрёдингера было понято в 60-е и 70-е годы. Однако только недавно соотношение между гладкостью потенциала и скоростью убывания зон неустойчивости в полном объеме было понято и проанализировано

• в широком диапазоне классов дифференцируемых функций,
• для операторoв Дирака, а не только для операторов Шрёдингера–Хилла,
• как в самосопряженном, так и в несамосопряженном случае.

Обзору этих результатов, часто с полными доказательствами, основанными на развитой авторами методологии, и посвящена эта статья.
Библиография: 84 названия.

Поступила в редакцию: 23.04.2006

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2006, Volume 61, Issue 4, Pages 663–766
DOI: https://doi.org/10.1070/RM2006v061n04ABEH004343

Реферативные базы данных:

Образец цитирования: П. Б. Джаков, Б. С. Митягин, “Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрёдингера и Дирака”, УМН, 61:4(370) (2006), 77–182; Russian Math. Surveys, 61:4 (2006), 663–766

Цитирование в формате AMSBIB

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/rm2121

https://doi.org/10.4213/rm2121

https://www.mathnet.ru/rus/rm/v61/i4/p77

Эта публикация цитируется в следующих статьяx:

1. Sakhnovich A., “Skew-self-adjoint discrete and continuous Dirac-type systems: inverse problems and Borg-Marchenko theorems”, Inverse Problems, 22:6 (2006), 2083–2101              
2. Kuchment P., Post O., “On the spectra of carbon nano-structures”, Commun. Math. Phys., 275:3 (2007), 805–826            
3. V. A. Mikhailets, V. M. Molyboga, “Singularly perturbed periodic and semiperiodic differential operators”, Ukr Math J, 59:6 (2007), 858  
4. Plamen Djakov, Boris Mityagin, “Asymptotics of instability zones of the Hill operator with a two term potential”, Journal of Functional Analysis, 242:1 (2007), 157  
5. Kuksin S.B., Piatnitski A.L., “Khasminskii-Whitham averaging for randomly perturbed KdV equation”, J. Math. Pures Appl. (9), 89:4 (2008), 400–428            
6. Ю. В. Покорный, М. Б. Зверева, С. А. Шабров, “Осцилляционная теория Штурма–Лиувилля для импульсных задач”, УМН, 63:1(379) (2008), 111–154          ; Yu. V. Pokornyi, M. B. Zvereva, S. A. Shabrov, “Sturm–Liouville oscillation theory for impulsive problems”, Russian Math. Surveys, 63:1 (2008), 109–153      
7. Pöschel J., “Spectral gaps of potentials in weighted Sobolev spaces”, Hamiltonian dynamical systems and applications, NATO Sci. Peace Secur. Ser. B Phys. Biophys., Springer, Dordrecht, 2008, 421–430        
8. О. А. Велиев, А. А. Шкаликов, “О базисности Рисса собственных и присоединенных функций периодической и антипериодической задач Штурма–Лиувилля”, Матем. заметки, 85:5 (2009), 671–686        ; O. A. Veliev, A. A. Shkalikov, “On the Riesz Basis Property of the Eigen- and Associated Functions of Periodic and Antiperiodic Sturm–Liouville Problems”, Math. Notes, 85:6 (2009), 647–660      
9. Hassi S., Oridoroga L., “Theorem of completeness for a Dirac-type operator with generalized $\lambda$-depending boundary conditions”, Integral Equations Operator Theory, 64:3 (2009), 357–379          
10. Djakov P., Mityagin B., “Spectral gaps of Schrodinger operators with periodic singular potentials”, Dyn. Partial Differ. Equ., 6:2 (2009), 95–165          
11. Kappeler T., Pöschel J., “On the periodic KdV equation in weighted Sobolev spaces”, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 26:3 (2009), 841–853            
12. Gesztesy F., Tkachenko V., “A criterion for Hill operators to be spectral operators of scalar type”, J. Anal. Math., 107 (2009), 287–353            
13. Kappeler T., Serier F., Topalov P., “On the characterization of the smoothness of skew-adjoint potentials in periodic Dirac operators”, J. Funct. Anal., 256:7 (2009), 2069–2112          
14. Djakov P., Mityagin B., “Spectral gap asymptotics of one-dimensional Schrodinger operators with singular periodic potentials”, Integral Transforms Spec. Funct., 20:3-4 (2009), 265–273            
15. Маламуд M.M., Оридорога Л.Л., “О полноте системы корневых векторов для систем первого порядка”, Докл. РАН, 435:3 (2010), 298–304      ; Malamud M.M., Oridoroga L.L., “On the completeness of the root vectors of first-order systems”, Dokl. Math., 82:3 (2010), 899–904          
16. Щербаков А.О., “Метод подобных операторов и регуляризованный след одномерного несамосопряженного оператора Дирака”, Вестн. Воронежского гос. ун-та. Сер.: Физ. Матем., 2010, № 1, 180–189  
17. Korotyaev E.L., Kargaev P., “Estimates for periodic Zakharov-Shabat operators”, J. Differential Equations, 249:1 (2010), 76–93            
18. Djakov P., Mityagin B., “Bari-Markus property for Riesz projections of 1D periodic Dirac operators”, Math. Nachr., 283:3 (2010), 443–462            
19. А. М. Савчук, А. А. Шкаликов, “Обратные задачи для оператора Штурма–Лиувилля с потенциалами из пространств Соболева. Равномерная устойчивость”, Функц. анализ и его прил., 44:4 (2010), 34–53        ; A. M. Savchuk, A. A. Shkalikov, “Inverse Problems for Sturm–Liouville Operators with Potentials in Sobolev Spaces: Uniform Stability”, Funct. Anal. Appl., 44:4 (2010), 270–285    
20. Djakov P., Mityagin B., “Fourier method for one-dimensional Schrödinger operators with singular periodic potentials”, Topics in operator theory. Volume 2. Systems and mathematical physics, Oper. Theory Adv. Appl., 203, Birkhäuser Verlag, Basel, 2010, 195–236    
21. Plamen Djakov, Boris Mityagin, Topics in Operator Theory, 2010, 195  
22. Veliev O.A., “On the basis property of the root functions of differential operators with matrix coefficients”, Cent. Eur. J. Math., 9:3 (2011), 657–672            
23. Джаков П.Б., Митягин Б.С., “Сходимость спектральных разложений операторов Хилла с тригонометрическими многочленами как потенциалы”, Докл. РАН, 436:1 (2011), 11–13    ; Djakov P.B., Mityagin B.S., “Convergence of spectral decompositions of Hill operators with trigonometric polynomial potentials”, Dokl. Math., 83:1 (2011), 5–7          
24. Poeschel J., “Hill's potentials in weighted Sobolev spaces and their spectral gaps”, Math. Ann., 349:2 (2011), 433–458          
25. А. Г. Баскаков, А. В. Дербушев, А. О. Щербаков, “Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом”, Изв. РАН. Сер. матем., 75:3 (2011), 3–28            ; A. G. Baskakov, A. V. Derbushev, A. O. Shcherbakov, “The method of similar operators in the spectral analysis of non-self-adjoint Dirac operators with non-smooth potentials”, Izv. Math., 75:3 (2011), 445–469      
26. Djakov P., Mityagin B., “Convergence of spectral decompositions of Hill operators with trigonometric polynomial potentials”, Math. Ann., 351:3 (2011), 509–540          
27. Bronski J.C., Rapti Z., “Counting defect modes in periodic eigenvalue problems”, SIAM J. Math. Anal., 43:2 (2011), 803–827          
28. Бурлуцкая М.Ш., “Асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций функционально-дифференциального оператора с инволюцией”, Вестн. Воронежского гос. ун-та. Сер. Физ. Матем., 2011, № 2, 64–72    
29. Kerimov N.B., Kaya U., “Spectral properties of some regular boundary value problems for fourth order differential operators”, Centr. Eur. J. Math., 2012        
30. Gesztesy F., Tkachenko V., “A Schauder and Riesz basis criterion for non-self-adjoint Schrödinger operators with periodic and antiperiodic boundary conditions”, Journal of Differential Equations, 2012        
31. Бурлуцкая М.Ш., Курдюмов В.П., Хромов А.П., “Уточненные асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций системы дирака”, Доклады академии наук, 443:4 (2012), 414–414      ; M. Sh. Burlutskaya, V. P. Kurdyumov, A. P. Khromov, “Refined asymptotic formulas for eigenvalues and eigenfunctions of the Dirac system”, Dokl. Math, 85:2 (2012), 240            
32. Mark M. Malamud, Leonid L. Oridoroga, “On the completeness of root subspaces of boundary value problems for first order systems of ordinary differential equations”, Journal of Functional Analysis, 2012        
33. М. Ш. Бурлуцкая, В. П. Курдюмов, А. П. Хромов, “Уточненные асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций системы Дирака с недифференцируемым потенциалом”, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика, 12:3 (2012), 22–30      
34. М. Ш. Бурлуцкая, В. В. Корнев, А. П. Хромов, “Система Дирака с недифференцируемым потенциалом и периодическими краевыми условиями”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 52:9 (2012), 1621–1632  
35. Anahtarci B., Djakov P., “Refined Asymptotics of the Spectral Gap for the Mathieu Operator”, J. Math. Anal. Appl., 396:1 (2012), 243–255          
36. Djakov P., Mityagin B., “Criteria for Existence of Riesz Bases Consisting of Root Functions of Hill and 1D Dirac Operators”, J. Funct. Anal., 263:8 (2012), 2300–2332            
37. Djakov P., Mityagin B., “Equiconvergence of Spectral Decompositions of 1D Dirac Operators with Regular Boundary Conditions”, J. Approx. Theory, 164:7 (2012), 879–927            
38. Джаков П.Б., Митягин Б.С., “Равносходимость спектральных разложений операторов Хилла”, Доклады академии наук, 445:5 (2012), 498–498    ; P. B. Djakov, B. S. Mityagin, “Equiconvergence of spectral decompositions of Hill operators”, Dokl. Math, 86:1 (2012), 542            
39. Djakov P., Mityagin B., “Unconditional Convergence of Spectral Decompositions of 1D Dirac Operators with Regular Boundary Conditions”, Indiana Univ. Math. J., 61:1 (2012), 359–398            
40. Vladimir Mikhailets, Volodymyr Molyboga, Spectral Theory, Mathematical System Theory, Evolution Equations, Differential and Difference Equations, 2012, 469  
41. O.A.. Veliev, “Asymptotic analysis of non-self-adjoint Hill operators”, centr.eur.j.math, 2013        
42. В. В. Корнев, А. П. Хромов, “Система Дирака с недифференцируемым потенциалом и антипериодическими краевыми условиями”, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика, 13:3 (2013), 28–35    
43. Batal A., “Characterization of Potential Smoothness and the Riesz Basis Property of the Hill-Schrodinger Operator in Terms of Periodic, Antiperiodic and Neumann Spectra”, J. Math. Anal. Appl., 405:2 (2013), 453–465          
44. Djakov P., Mityagin B., “Divergence of Spectral Decompositions of Hill Operators with Two Exponential Term Potentials”, J. Funct. Anal., 265:4 (2013), 660–685            
45. Djakov P., Mityagin B., “Equiconvergence of Spectral Decompositions of Hill-Schrodinger Operators”, J. Differ. Equ., 255:10 (2013), 3233–3283            
46. Djakov P., Mityagin B., “Riesz Bases Consisting of Root Functions of 1D Dirac Operators”, Proc. Amer. Math. Soc., 141:4 (2013), 1361–1375            
47. Kerimov N.B., “On a Boundary Value Problem of N. I. Ionkin Type”, Differ. Equ., 49:10 (2013), 1233–1245          
48. N.B.. Kerimov, Ufuk Kaya, “Some problems of spectral theory of fourth-order differential operators with regular boundary conditions”, Arab J Math, 3:1 (2014), 49      
49. Cemile Nur, O.A. Veliev, “On the basis property of the root functions of some class of non-self-adjoint Sturm-Liouville operators”, Bound Value Probl, 2014:1 (2014), 57          
50. M. Sh. Burlutskaya, A. P. Khromov, “Functional differential operators with involution and Dirac operators with periodic boundary conditions”, Dokl. Math, 89:1 (2014), 8          
51. J.-C. Molnar, “New Estimates of the Nonlinear Fourier Transform for the Defocusing NLS Equation”, International Mathematics Research Notices, 2014        
52. A. D. Baev, M. B. Zvereva, S. A. Shabrov, “Stieltjes differential in nonlinear momentum problems”, Dokl. Math, 90:2 (2014), 613          
53. P. Djakov, B. Mityagin, “Riesz basis property of Hill operators with potentials in weighted spaces”, Тр. ММО, 75, № 2, МЦНМО, М., 2014, 181–204    ; Trans. Moscow Math. Soc., 75 (2014), 151–172  
54. Е. Ю. Романова, “Спектральный анализ дифференциального оператора с инволюцией”, Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ., 14:4 (2014), 64–78  ; E. Yu. Romanova, “Spectral Analysis of Differential Operator with Involution”, J. Math. Sci., 213:6 (2016), 897–909  
55. Kerimov N.B., Kaya U., “Spectral Asymptotics and Basis Properties of Fourth Order Differential Operators With Regular Boundary Conditions”, Math. Meth. Appl. Sci., 37:5 (2014), 698–710          
56. A.A.rslan K{\i}raç, “On the Riesz Basisness of Systems Composed of Root Functions of Periodic Boundary Value Problems”, Abstract and Applied Analysis, 2015 (2015), 1    
57. Д. М. Поляков, “Спектральный анализ несамосопряженного оператора четвертого порядка с негладкими коэффициентами”, Сиб. матем. журн., 56:1 (2015), 165–184      ; D. M. Polyakov, “Spectral analysis of a fourth-order nonselfadjoint operator with nonsmooth coefficients”, Siberian Math. J., 56:1 (2015), 138–154      
58. Anahtarci B., Djakov P., “Asymptotics of Spectral Gaps of 1D Dirac Operator Whose Potential Is a Linear Combination of Two Exponential Terms”, Asymptotic Anal., 92:1-2 (2015), 141–160          
59. А. О. Щербаков, “Регуляризованный след оператора Дирака”, Матем. заметки, 98:1 (2015), 134–146        ; A. O. Shcherbakov, “Regularized Trace of the Dirac Operator”, Math. Notes, 98:1 (2015), 168–179    
60. Д. М. Поляков, “Спектральный анализ дифференциального оператора четвертого порядка с периодическими и антипериодическими краевыми условиями”, Алгебра и анализ, 27:5 (2015), 117–152      ; D. M. Polyakov, “Spectral analysis of a fourth order differential operator with periodic and antiperiodic boundary conditions”, St. Petersburg Math. J., 27:5 (2016), 789–811    
61. Cemile Nur, O. A. Veliev, “On the basis property of the root functions of Sturm–Liouville operators with general regular boundary conditions”, Mosc. Math. J., 15:3 (2015), 511–526      
62. Mityagin B.S., “the Spectrum of a Harmonic Oscillator Operator Perturbed By Point Interactions”, 54, no. 11, 2015, 4068–4085          
63. Gunes H., Kerimov N.B., Kaya U., “Spectral Properties of Fourth Order Differential Operators With Periodic and Antiperiodic Boundary Conditions”, 68, no. 3-4, 2015, 501–518          
64. А. Г. Баскаков, Д. М. Поляков, “Спектральные свойства оператора Хилла”, Матем. заметки, 99:4 (2016), 613–617        ; A. G. Baskakov, D. M. Polyakov, “Spectral Properties of the Hill Operator”, Math. Notes, 99:4 (2016), 598–602    
65. А. М. Савчук, “Восстановление потенциала оператора Штурма–Лиувилля по конечному набору собственных значений и нормировочных чисел”, Матем. заметки, 99:5 (2016), 715–731        ; A. M. Savchuk, “Reconstruction of the Potential of the Sturm–Liouville Operator from a Finite Set of Eigenvalues and Normalizing Constants”, Math. Notes, 99:5 (2016), 715–728    
66. М. Ш. Бурлуцкая, “Смешанная задача для системы дифференциальных уравнений первого порядка с непрерывным потенциалом”, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика, 16:2 (2016), 145–151        
67. А. А. Шкаликов, “Возмущения самосопряженных и нормальных операторов с дискретным спектром”, УМН, 71:5(431) (2016), 113–174            ; A. A. Shkalikov, “Perturbations of self-adjoint and normal operators with discrete spectrum”, Russian Math. Surveys, 71:5 (2016), 907–964    
68. Kappeler T., Maspero A., Molnar J., Topalov P., “On the Convexity of the KdV Hamiltonian”, Commun. Math. Phys., 346:1 (2016), 191–236          
69. Konotop V.V., Yang J., Zezyulin D.A., Rev. Mod. Phys., 88:3 (2016), 035002        
70. Kuchment P., “An overview of periodic elliptic operators”, Bull. Amer. Math. Soc., 53:3 (2016), 343–414            
71. Molnar J.-C., “On two-sided estimates for the nonlinear Fourier transform of KdV”, Discret. Contin. Dyn. Syst., 36:6 (2016), 3339–3356            
72. Mityagin B.S., “The Spectrum of a Harmonic Oscillator Operator Perturbed by
    $${\delta}$$
    δ -Interactions”, Integr. Equ. Oper. Theory, 85:4 (2016), 451–495          
73. А. Г. Баскаков, Д. М. Поляков, “Метод подобных операторов в спектральном анализе оператора Хилла с негладким потенциалом”, Матем. сб., 208:1 (2017), 3–47          ; A. G. Baskakov, D. M. Polyakov, “The method of similar operators in the spectral analysis of the Hill operator with nonsmooth potential”, Sb. Math., 208:1 (2017), 1–43    
74. Arslan I., “Characterization of the potential smoothness of one-dimensional Dirac operator subject to general boundary conditions and its Riesz basis property”, J. Math. Anal. Appl., 447:1 (2017), 84–108            
75. Kappeler T., Molnar J., “On the Wellposedness of the KdV Equation on the Space of Pseudomeasures”, Sel. Math.-New Ser., 24:2 (2018), 1479–1526          
76. М. Ш. Бурлуцкая, А. П. Хромов, “Оператор Дирака с потенциалом специального вида и периодическими краевыми условиями”, Дифференц. уравнения, 54:5 (2018), 592–601      ; M. Sh. Burlutskaya, A. P. Khromov, “Dirac operator with a potential of special form and with the periodic boundary conditions”, Differ. Equ., 54:5 (2018), 586–595          
77. Д. М. Поляков, “Одномерный оператор Шрёдингера с квадратично суммируемым потенциалом”, Сиб. матем. журн., 59:3 (2018), 596–615    ; D. M. Polyakov, “A one-dimensional Schrödinger operator with square-integrable potential”, Siberian Math. J., 59:3 (2018), 470–485      
78. Kappeler T., Schaad B., Topalov P., “Asymptotics of Spectral Quantities of Zakharov-Shabat Operators”, J. Differ. Equ., 265:11 (2018), 5604–5653          
79. Thomas Kappeler, Yannick Widmer, “On spectral properties of the $L$ operator in the Lax pair of the sine-Gordon equation”, Журн. матем. физ., анал., геом., 14:4 (2018), 452–509    
80. V.A. Mikhailets, V.M. Molyboga, “On spectral gaps of the Hill—Schrödinger operator with singular potential”, Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2018, no. 10, 3  
81. П. Г. Гриневич, П. М. Сантини, “Конечнозонный подход в периодической задаче Коши для аномальных волн в нелинейном уравнении Шрёдингера при наличии нескольких неустойчивых мод”, УМН, 74:2(446) (2019), 27–80            ; P. G. Grinevich, P. M. Santini, “The finite-gap method and the periodic NLS Cauchy problem of anomalous waves for a finite number of unstable modes”, Russian Math. Surveys, 74:2 (2019), 211–263    
82. А. Б. Хасанов, М. М. Хасанов, “Интегрирование нелинейного уравнения Шредингера с дополнительным членом в классе периодических функций”, ТМФ, 199:1 (2019), 60–68          ; A. B. Hasanov, M. M. Hasanov, “Integration of the nonlinear Schrödinger equation with an additional term in the class of periodic functions”, Theoret. and Math. Phys., 199:1 (2019), 525–532    
83. Н. Б. Ускова, “Матричный анализ спектральных проекторов возмущенных самосопряженных операторов”, Сиб. электрон. матем. изв., 16 (2019), 369–405      
84. А. М. Савчук, И. В. Садовничая, “О существовании операторной группы, порождённой одномерной системой Дирака”, Тр. ММО, 80, № 2, МЦНМО, М., 2019, 275–294  ; A. M. Savchuk, I. V. Sadovnichaya, “On the existence of an operator group generated by the one-dimensional Dirac system”, Trans. Moscow Math. Soc., 80 (2019), 235–250    
85. Uskova N.B., “Spectral Properties of the Dirac Operator With a Nonsmooth Potential of the General Form and Operator Groups”, Differ. Equ., 55:8 (2019), 1120–1124      
86. Cabri O., “on the Riesz Basis Property of the Root Functions of a Discontinuous Boundary Problem”, Math. Meth. Appl. Sci., 42:18 (2019), 6733–6740      
87. М. Ш. Бурлуцкая, “Классическое и обобщенное решения смешанной задачи для системы уравнений первого порядка с непрерывным потенциалом”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 59:3 (2019), 380–390      ; M. Sh. Burlutskaya, “Classical and generalized solutions of a mixed problem for a system of first-order equations with a continuous potential”, Comput. Math. Math. Phys., 59:3 (2019), 355–365    
88. Kaya U., Kuzu E.K., “Basis Properties of Root Functions of a Regular Fourth Order Boundary Value Problem”, Hacet. J. Math. Stat., 49:1 (2020), 338–351      
89. П. Б. Джаков, Б. С. Митягин, “Спектральные треугольники несамосопряженных операторов Хилла и Дирака”, УМН, 75:4(454) (2020), 3–44          ; P. B. Djakov, B. S. Mityagin, “Spectral triangles of non-selfadjoint Hill and Dirac operators”, Russian Math. Surveys, 75:4 (2020), 587–626      
90. А. М. Савчук, И. В. Садовничая, “Спектральный анализ одномерной системы Дирака с суммируемым потенциалом и оператора Штурма—Лиувилля с коэффициентами-распределениями”, Спектральный анализ, СМФН, 66, № 3, Российский университет дружбы народов, М., 2020, 373–530    
91. Л. И. Маммадова, И. М. Набиев, “Спектральные свойства оператора Штурма–Лиувилля со спектральным параметром, квадратично входящим в граничное условие”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 30:2 (2020), 237–248    
92. А. С. Макин, “О регулярных краевых задачах для оператора Дирака”, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 492 (2020), 49–53        ; A. S. Makin, “Regular boundary value problems for the Dirac operator”, Dokl. Math., 101:3 (2020), 214–217  
93. Cabri O., Mamedov K.R., “On the Riesz Basisness of Root Functions of a Sturm-Liouville Operator With Conjugate Conditions”, Lobachevskii J. Math., 41:9, SI (2020), 1784–1790      
94. Cabri O., Mamedov K.R., “Riesz Basisness of Root Functions of a Sturm-Liouville Operator With Conjugate Conditions”, Lobachevskii J. Math., 41:1, SI (2020), 1–6      
95. Polyakov D.M., “Estimates of Spectral Gap Lengths For Schrodinger and Dirac Operators”, Differ. Equ., 56:5 (2020), 585–594      
96. А. Д. Баев, Д. А. Чечин, М. Б. Зверева, С. А. Шабров, “Дифференциал Стилтьеса в импульсных нелинейных задачах”, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 490 (2020), 9–12        ; A. D. Baev, D. A. Chechin, M. B. Zvereva, S. A. Shabrov, “Stieltjes differential in impulse nonlinear problems”, Dokl. Math., 101:1 (2020), 5–8  
97. Lenells J., Quirchmayr R., “On the Spectral Problem Associated With the Time-Periodic Nonlinear Schrodinger Equation”, Math. Ann., 377:3-4 (2020), 1193–1264      
98. Baskakov A.G., Garkavenko V G., Glazkova M.Yu., Uskova N.B., Applied Mathematics, Computational Science and Mechanics: Current Problems, Journal of Physics Conference Series, 1479, IOP Publishing Ltd, 2020      
99. М. Ш. Бурлуцкая, “Некоторые свойства функционально-дифференциальных операторов с инволюцией $\nu(x)=1-x $ и их приложения”, Изв. вузов. Матем., 2021, № 5, 89–97    ; M. Sh. Burlutskaya, “Some properties of functional-differential operators with involution $\nu(x)=1-x$ and their applications”, Russian Math. (Iz. VUZ), 65:5 (2021), 69–76    
100. Д. А. Чечин, А. Д. Баев, С. А. Шабров, “Об одной граничной задаче с разрывными решениями и сильной нелинейностью”, Материалы Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения–XXX». Воронеж, 3–9 мая 2019 г. Часть 4, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 193, ВИНИТИ РАН, М., 2021, 153–157      
101. А. С. Макин, “О двухточечных краевых задачах для операторов Штурма—Лиувилля и Дирака”, Материалы Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения–XXX». Воронеж, 3–9 мая 2019 г. Часть 5, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 194, ВИНИТИ РАН, М., 2021, 144–154    
102. Baskakov A.G., Krishtal I.A., Uskova N.B., “Spectral Properties of Classical Dirac Operators and Operators With Involution in Homogeneous Function Spaces”, Differ. Equ., 57:10 (2021), 1273–1278      
103. Baskakov A.G., Krishtal I.A., Uskova N.B., “Spectral Properties of the Dirac Operator on the Real Line”, Differ. Equ., 57:2 (2021), 139–147      
104. Zhang Y., Chen Zh., Wu B., Busch T., Konotop V.V., “Asymmetric Loop Spectra and Unbroken Phase Protection Due to Nonlinearities in Pt -Symmetric Periodic Potentials”, Phys. Rev. Lett., 127:2 (2021), 034101      
105. A. B. Khasanov, T. Zh. Allanazarova, “Про модифіковане рівняння Кортевега – де Фріза з навантаженим членом”, Ukr. Mat. Zhurn., 73:11 (2021), 1541  
106. Oktay Veliev, Non-self-adjoint Schrödinger Operator with a Periodic Potential, 2021, 15  
107. Makin A., “On Convergence of Spectral Expansions of Dirac Operators With Regular Boundary Conditions”, Math. Nachr., 295:1 (2022), 189–210      
108. У. Б. Муминов, А. Б. Хасанов, “Интегрирование дефокусирующего нелинейного уравнения Шредингера с дополнительными членами”, ТМФ, 211:1 (2022), 84–104        ; U. B. Muminov, A. B. Khasanov, “Integration of a defocusing nonlinear Schrödinger equation with additional terms”, Theoret. and Math. Phys., 211:1 (2022), 514–531  
109. У. Б. Муминов, А. Б. Хасанов, “Задача Коши для дефокусирующего нелинейного уравнения Шредингера с нагруженным членом”, Матем. тр., 25:1 (2022), 102–133    
110. A. B. Khasanov, T. Zh. Allanazarova, “On the Modified Korteweg–De-Vries Equation with Loaded Term”, Ukr Math J, 73:11 (2022), 1783  
111. U. B. Muminov, A. B. Khasanov, “The Cauchy Problem for the Defocusing Nonlinear Schrödinger Equation with a Loaded Term”, Sib. Adv. Math., 32:4 (2022), 277  
112. Г. А. Маннонов, А. Б. Хасанов, “Задача Коши для нелинейного уравнения Хироты в классе периодических бесконечнозонных функций”, Алгебра и анализ, 34:5 (2022), 139–172  ; G. A. Mannonov, A. B. Khasanov, “The Cauchy problem for a nonlinear Hirota equation in the class of periodic infinite-zone functions”, St. Petersburg Math. J., 34:5 (2023), 821–845  
113. Olgun CABRİ, “Asymptotic Expressions of Fourth Order Sturm-Liouville Operator with Conjugate Conditions”, Iğd{\i}r Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, 12:4 (2022), 2416  
114. А. Б. Хасанов, Х. Н. Нормуродов, У. О. Худаёров, “Интегрирование модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза–синус-Гордона в классе периодических бесконечнозонных функций”, ТМФ, 214:2 (2023), 198–210        ; A. B. Khasanov, Kh. N. Normurodov, U. O. Hudayerov, “Integrating the modified Korteweg–de Vries–sine-Gordon equation in the class of periodic infinite-gap functions”, Theoret. and Math. Phys., 214:2 (2023), 170–182  
115. Г. У. Уразбоев, А. Б. Яхшимуратов, М. М. Хасанов, “Интегрирование модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза отрицательного порядка в классе периодических функций”, ТМФ, 217:2 (2023), 317–328        ; G. U. Urazboev, A. B. Yakhshimuratov, M. M. Khasanov, “Integration of negative-order modified Korteweg–de Vries equation in a class of periodic functions”, Theoret. and Math. Phys., 217:2 (2023), 1689–1699  
116. А. Б. Хасанов, У. О. Худаёров, “Интегрирование модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза–Лиувилля в классе периодических бесконечнозонных функций”, Матем. заметки, 114:6 (2023), 894–908    ; A. B. Khasanov, U. O. Xudayorov, “Integration of the Modified Korteweg–de Vries–Liouville Equation in the Class of Periodic Infinite-Gap Functions”, Math. Notes, 114:6 (2023), 1247–1259  
117. Акназар Хасанов, Хожимурод Нормуродов, Улугбек Худаёров, “Задача Коши для нелинейного уравнения типа синус-Гордона в классе периодических функций”, ВОГУМФТ, 2023, № 1 (2), 210  
118. A. B Khasanov, Kh. N Normurodov, U. O Khudaerov, “Cauchy Problem for the Nonlinear Liouville Equation in the Class of Periodic Infinite-Gap Functions”, Differencialʹnye uravneniâ, 59:10 (2023), 1412  
119. N. B Kerimov, “O spektral'nykh svoystvakh differentsial'nykh operatorov vysokogo poryadka s periodicheskimi kraevymi usloviyami”, Differencialʹnye uravneniâ, 59:3 (2023), 314  
120. Gino Biondini, Xu-Dan Luo, Jeffrey Oregero, Alexander Tovbis, “Elliptic finite-band potentials of a non-self-adjoint Dirac operator”, Advances in Mathematics, 429 (2023), 109188  
121. A. Khasanov, R. Eshbekov, Kh. Normurodov, “Integration of a Nonlinear Hirota Type Equation with Finite Density in the Class of Periodic Functions”, Lobachevskii J Math, 44:10 (2023), 4329  
122. N. B. Kerimov, “On the Spectral Properties of High-Order Differential Operators with Periodic Boundary Conditions”, Diff Equat, 59:3 (2023), 312  
123. A. B. Khasanov, Kh. N. Normurodov, U. O. Khudayorov, “Cauchy Problem for the Nonlinear Liouville Equation in the Class of Periodic Infinite-Gap Functions”, Diff Equat, 59:10 (2023), 1413  
124. А. Б. Хасанов, Х. Н. Нормуродов, “Интегрирование уравнения типа синус-Гордона с дополнительным членом в классе периодических бесконечнозонных функций”, Изв. вузов. Матем., 2024, № 3, 70–83    
125. Г. У. Уразбоев, М. М. Хасанов, О. Б. Исмоилов, “Интегрирование модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза отрицательного порядка с интегральным источником”, Изв. ИМИ УдГУ, 63 (2024), 80–90    

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles