2.1. CONOCIMIENTO MATEMÁTICO PARA LA ENSEÑANZA

El rol que juega el profesor en el proceso de enseñanza de la matemática es fundamental en el aprendizaje de sus estudiantes. En particular, un importante objeto de estudio en la educación matemática es el conocimiento que debería tener un profesor de matemática en su práctica docente (^{Almeida y Ribeiro, 2020}; ^{Ball et al., 2008}; ^{Baumert et al., 2010}; ^{Blömeke et al., 2014}; ^{Carrillo et al., 2018}; ^{Charalambous et al., 2020}; ^{Hill, 2010}; ^{Krauss et al., 2008}).

Uno de los primeros investigadores en conceptualizar el conocimiento del profesor para enseñar fue ^{Shulman (1986}), y propuso la distinción entre dos dominios: el conocimiento del contenido y el conocimiento pedagógico del contenido. Él señalaba que en el conocimiento del contenido:

No sólo es necesario comprender que algo es así; el maestro debe comprender además por qué es así, sobre qué bases se puede afirmar su justificación y bajo qué circunstancias nuestra creencia en su justificación puede debilitarse e incluso negarse. (p. 9)

Además, ^{Shulman (1987}) describió al conocimiento pedagógico del contenido como una “Amalgama especial de contenido y pedagogía que es únicamente competencia de los maestros, su propia forma especial de comprensión profesional” (p. 8). Aún más, ^{Ball et al. (2008}) argumentaron que los problemas identificados por Shulman (¹⁹⁸⁶, ¹⁹⁸⁷) son clave para la investigación sobre la enseñanza y la formación del profesorado. En este sentido, se han propuesto diversos modelos que abordan la caracterización del conocimiento que un profesor de matemática debería tener para favorecer el aprendizaje de sus estudiantes. Por ejemplo, el modelo Conocimiento Didáctico-Matemático propuesto por ^{Godino (2009}); el Conocimiento Especializado del Profesor de Matemática propuesto por ^{Carrillo et al. (2013}); Teoría de la Proficiencia propuesto por ^{Schoenfeld y Kilpatrick (2008}); Conocimiento Matemático para la Enseñanza propuesto por ^{Ball et al. (2008)}.

^{Ball et al. (2008}) se refieren al Conocimiento Matemático para la Enseñanza (CME) como el conocimiento necesario para llevar a cabo el trabajo de enseñar matemática; su propuesta ha sido una de las más empleadas en las investigaciones sobre el conocimiento matemático que debe tener un profesor para lograr una enseñanza eficaz (^{Buschang et al., 2012}; ^{Charalambous, 2016}; ^{Delaney, 2012}; ^{Hiebert et al., 2019}; ^{Hill et al., 2007}; ^{Krauss et al., 2008}). El modelo del CME consta de dos dominios: el conocimiento del contenido y el conocimiento pedagógico del contenido, que es similar a lo propuesto por ^{Shulman (1986}). Además, el modelo CME presenta tres subdominios para el conocimiento del contenido: Conocimiento Común del Contenido (CC), Conocimiento Especializado del Contenido (CE) y Conocimiento del Horizonte (CH); y el conocimiento pedagógico del contenido con otros tres subdominios: Conocimiento del Contenido y la Enseñanza (CCEns), Conocimiento del Contenido y los Estudiantes (CCE), y Conocimiento del Currículo (CCur) (ver Figura 1).

Figura 1 Dominios y Subdominios del Modelo CME. Nota: Imagen adaptada de “Content knowledge for teaching: What makes it special”, por D. ^{Ball, M. Thames y G. Phelps, 2008}, Journal of teacher Education 59(5), p. 403. 

2.2. FORMACIÓN INICIAL DOCENTE Y CURRÍCULUM NACIONAL EN EL ÁREA DE GEOMETRÍA

En las últimas décadas en Chile, se han implementado diversas iniciativas en pro de la mejora de la calidad de la educación. Entre las formuladas e implementadas para fortalecer la FID, podemos mencionar: la Beca Vocación de Profesor, los Convenios de Desempeño para las instituciones de Educación Superior, la Prueba INICIA (implementada del 2008 al 2015) y la elaboración de los Estándares Orientadores para Egresados de Carreras de Pedagogía en Educación Básica. Estos estándares, como su nombre lo indica, tienen el rol de orientar a las instituciones formadoras sobre lo que se espera que todo profesor debe saber y saber hacer en el aula, así como las actitudes profesionales que debe desarrollar desde su formación como profesor de Educación Básica (^{Mineduc, 2012b}). En dichos estándares, se encuentra el conocimiento pedagógico y disciplinar de las asignaturas: Lenguaje y Comunicación; Matemática; Historia, Geografía y Ciencias Sociales y Ciencias naturales, que deben manejar los egresados de Pedagogía en Educación Básica y que serán evaluados en la ENDFID.

Especial interés tiene la promoción de la calidad de las competencias docentes del área de matemática dado los bajos resultados obtenidos tanto en pruebas nacionales como internacionales, por estudiantes de enseñanza básica y media (^{Pincheira y Vázquez, 2018}). Los estándares relacionados con matemática se encuentran organizados en cinco ejes que conforman el currículum escolar, uniendo los de Geometría y Medición en uno solo denominado Geometría, de esta manera se compone de: Números, Geometría, Álgebra y, Datos y Probabilidades. Estos combinan las dimensiones disciplinaria y pedagógica. Los estándares pedagógicos involucran las competencias genéricas de la función docente implicados en el proceso de enseñanza. En cambio, los estándares disciplinarios involucran el conocimiento y habilidades que debe demostrar el docente del manejo de la disciplina que enseña (^{Pincheira y Vázquez, 2018}). El eje de Geometría contempla los siguientes cinco estándares:

Estándar 7. Es capaz de conducir el aprendizaje de las formas geométricas. Orientado a la visualización de cuerpos y figuras, reconocimiento, clasificación y estimación de sus dimensiones.

Estándar 8. Es capaz de conducir el aprendizaje de las figuras planas. Orientado al trabajo de figuras planas presentes en el currículo escolar, tales como, triángulos, paralelogramos y polígonos.

Estándar 9. Está preparado para conducir el aprendizaje de conceptos y aplicaciones de la medición. Se relaciona con las mediciones, orientadas al trabajo con peso, masa y volumen respecto de la forma de un objeto, mediante la utilización de unidades estandarizadas y no estandarizadas.

Estándar 10. Está preparado para conducir el aprendizaje de los conceptos de perímetro, área y volumen. Orientado a temas relacionados al cálculo de perímetro, área y volumen.

Estándar 11. Demuestra competencia disciplinaria en el eje de Geometría. Orientado a las habilidades disciplinarias que debiese demostrar el profesor para conducir el aprendizaje de este eje.

De los estándares medidos en la ENDFID en los años 2018 y 2019, los estudiantes de pedagogía de educación básica en Chile no alcanzan el 40% de respuestas correctas en el estándar 7, sobre la capacidad de conducir el aprendizaje de las formas geométricas, ni tampoco el 50% de respuestas correctas en el estándar 10 sobre la preparación para conducir el aprendizaje de los conceptos de perímetro, área y volumen (^{Mineduc, 2019}; ^{Mineduc, 2020}).

Los estándares del eje de geometría se encuentran estrechamente relacionados con los objetivos de aprendizaje (que involucran contenidos, habilidades y actitudes) presentes en las Bases Curriculares oficializadas de acuerdo con el Decreto Supremo de Educación N°433 y 439 del 2012 (^{Mineduc, 2012a}), documento que explicita el currículum nacional escolar y que establece los contenidos y objetivos mínimos obligatorios para toda la enseñanza básica. Dentro de los temas y conceptos que se abordan a nivel escolar en los ejes de geometría y medición, desde 1° a 8° básico, identificamos ocho tópicos los cuales describimos a continuación:

3.1. MUESTRA

La población de estudio corresponde a estudiantes de formación inicial de docentes en Educación Primaria, provenientes de dos universidades chilenas. La muestra inicial se compuso de 213 invitados. De los cuales, 60 no respondieron la prueba, 58 la respondieron parcialmente y 1 rechazó consentimiento. Por tanto, la muestra final se conformó por 94 estudiantes, quienes completaron la prueba.

3.2. PROCEDIMIENTO

La prueba se aplicó de manera remota en el año 2020². Se envió un enlace vía electrónica al correo institucional de cada estudiante, redirigiendo al cuestionario, indicando el propósito de investigación y relevancia del estudio. Se contestó de forma voluntaria y bajo el consentimiento de las personas encuestadas previo a su aplicación. La duración promedio de la aplicación fue de 50 minutos. La base de datos requerida para los análisis se conformó con las respuestas enviadas al finalizar el cuestionario.

3.3. ELABORACIÓN DEL INSTRUMENTO

Para desarrollar y construir el instrumento, primero se analizaron los programas de las asignaturas de Geometría o Enseñanza de la Geometría de las instituciones participantes. Usando la técnica de comparación constante de la teoría fundamentada (^{Strauss y Corbing, 2016}) se definieron los objetivos curriculares escolares que abordan las asignaturas. Luego se procedió a preguntar a 5 formadores de profesores de las mismas instituciones la relevancia de estos objetivos en sus asignaturas, llegando a saturar y a establecer la matriz de especificación, que luego del proceso de validación quedó reducida en la Tabla 1.

Tabla 1 Distribución de los ítems en la matriz de especificación considerando OA curriculares 2019 y dimensiones del conocimiento matemático para enseñar 

Nota: V_i = ítems del instrumento.

Luego, para la construcción de los ítems V_i, se optó por el formato de selección de respuesta, específicamente de selección múltiple con respuesta correcta única (^{Haladyna y Rodriguez, 2013}). Para el barrido de la matriz de especificación se consideró diseñar al menos un ítem por subdimensión del conocimiento matemático para enseñar.

3.4. ANÁLISIS DE DATOS

Los análisis se realizan en cinco etapas para ajustar y determinar los ítems finales del instrumento, lo que incluye la eliminación de los que no cumplen las condiciones de ajuste, y con ello establecer los perfiles de conocimiento. Primera etapa: validez de contenido por evaluación de expertos, esto para verificar la validez de relación entre los ítems y las dimensiones de conocimiento matemático para enseñar y los contenidos establecidos en el currículo escolar seleccionados y ajustados por la matriz de especificación. Segunda etapa: se emplea un análisis factorial exploratorio (AFE) para determinar si los indicadores propuestos en el instrumento comparten alguna estructura latente. Tercera etapa: luego de levantar los factores con AFE, se realiza un análisis factorial confirmatorio (AFC), que tiene por objetivo la búsqueda de combinaciones de variables observadas (ítems de la escala) en un número inferior de variables latentes. Cuarta etapa: se realiza un análisis de confiabilidad, determinando los coeficientes de consistencia interna para cada una de las variables no observadas. Los coeficientes de consistencia que se van a determinar son las cotas determinadas por ^{Guttman (1945}), entre las cuales se encuentra el coeficiente Alfa de Cronbach. Por último, en la quinta etapa, se realiza un análisis de clases latentes (ACL) para determinar los perfiles de desempeño por área disciplinar y por dimensión del marco de conocimiento para enseñar matemática.

Los índices estadísticos empleados para determinar el ajuste de los modelos AFE y AFC son el coeficiente Chi-Cuadrado (χ2), el índice relativo Tucker-Lewis (TLI), el índice comparativo de ajuste (CFI) y criterio de información bayesiano (BIC). Luego, se estimará el Error Cuadrático Medio de Aproximación (RMSEA). Para el ajuste de los modelos, se han considerado como aceptables valores TLI y CFI mayores a .90. Valores mayores .95 se han considerado como buenos (^{Hu y Bentler, 1999}). Por último, para RMSEA se han considerado valores menores a .05 como buen ajuste, y entre .05 y .08 como un ajuste regular (^{Schermelleh-Engel et al., 2003}).

4.1. ANÁLISIS FACTORIAL EXPLORATORIO

Los supuestos para realizar el AFE no cumplen lo requerido, pues el valor del índice Kaiser-Meyer-Olkin (KMO) de adecuación muestral son considerados muy bajos (KMO = .49 y Barlett χ ² (N = 94, gl = 990) = 1644.306, p < .00), por lo que se requiere eliminar más ítems. Al eliminar catorce ítems de baja correlación con la prueba (ver Tabla 2), los valores de KMO de adecuación muestral y los valores del test de esfericidad de Bartlett (significativos al 99%) para la muestra respetan los límites y permite realizar un análisis factorial (^{Tabachnick et al., 2007}).

En primer lugar, se ejecuta un AFE considerando el método de estimación de Máxima Verosimilitud (ML) y rotación Varimax. El número de factores a retener se determina considerando el análisis paralelo, arrojando tres factores (ver Figura 2). El modelo presenta buenos índices de ajustes tanto absolutos como relativos para la muestra.

Figura 2 . Análisis paralelo realizado sobre matriz de correlaciones. Nota: Índicesde ajuste del AFE χ ² (N = 94, gl = 403) = 415.64, p < .32; TLI = .939; RMSEA = .015. 

Al analizar las cargas factoriales de los ítems para el modelo de tres factores se obtienen cuatro con correlaciones bajo .3, los que fueron eliminados. Además, el ítem V30 presenta cargas similares en dos factores, etiquetados como MR1 y MR3, de .31 y .34, respectivamente. Por tanto, se procede a realizar el AFC para 3 modelos distintos que se establecen con: 27 ítems donde V30 está en MR3, 27 ítems con V30 en MR1 y MR3, y 26 ítems eliminando ítem V30.

4.2. ANÁLISIS FACTORIAL CONFIRMATORIO

Se realizaron estimaciones para los tres modelos descritos, usando el modelo de extracción Maximum Likelihood. En Tabla 3 se aprecia que el modelo 3 es el que posee los mejores niveles de ajustes relativos y absolutos.

Tabla 3 Resumen de estimaciones realizadas para la extracción de tres factores 

Así, la prueba finalmente se compone por 26 ítems con tres constructos latentes. Las cargas finales se muestran en ¡Error! La autoreferencia al marcador no es válida.. El agrupamiento disciplinar responde a relaciones entre los objetivos de aprendizaje. El primer grupo lo componen ítems que abordan principalmente contenidos referidos a ángulos, el segundo a definiciones conceptuales y, el tercero a procesos de medición y visualización en Geometría.

Tabla 4 Cargas factoriales de los ítems de modelo de tres factores 

4.3. CONSISTENCIA INTERNA

La prueba completa tiene una consistencia interna que varía entre .77 como subestimación y .89 como sobreestimación. Para la prueba completa, el Alpha de Cronbach alcanza a .80. La dimensión ANG tiene una confiabilidad que varía entre .68 y .82, siendo la más alta entre las dimensiones. La dimensión DEF tiene una confiabilidad que varía entre .60 y .79. Por último, la dimensión MED+VIS presenta una confiabilidad que varía entre .59 y .78, presentando la menor consistencia interna.

4.4. PERFILES DE DESEMPEÑO POR ÁREA DISCIPLINAR ESCOLAR

Del ACL a las respuestas correctas de los ítems que quedaron luego de la validación, el modelo con dos clases obtiene los mejores ajustes para los ítems del primer factor referido a Ángulos. La probabilidad de pertenecer a la clase 1 es igual a 32% y la de pertenecer a la segunda de 68%.

Tal como se observa en la Tabla 5, la primera clase se compone por aquellos estudiantes de pedagogía que presentan probabilidades mayores a .5 de responder correctamente todos los ítems del primer factor denominado Ángulos. Por su parte, la segunda clase la componen estudiantes de pedagogía que presentan probabilidades menores a .5 de responder de forma correcta estos ítems.

Tabla 5 Probabilidad de pertenencia a cada clase del factor “Ángulos” 

Nota. *p < .05, **p < .01, ***p < .001; Índices de ajuste para el modelo de dos clases BIC = 1064.95;

AIC = 1011.55; G² = 249.73; χ²(N = 94, gl = 73) = 2626.76.

Para el segundo grupo de ítems determinado por el segundo factor denominado “Definiciones”, el ACL determina que el modelo con dos clases obtiene los mejores ajustes. La probabilidad de pertenecer a la clase 1 es igual a 38% y la de pertenecer a la segunda de 62%.

A diferencia del primer grupo de ítems, en la primera clase los estudiantes de pedagogía tienen probabilidades mayores a .5 en los ítems V27 alusivo a las relaciones entre prisma y pirámide, V38 referido a la definición y procedimiento del cálculo de área y perímetro de una figura, V31 relativo a la comprensión de la definición y procedimiento del cálculo del área de un rectángulo, V43 concerniente a la comprensión de la definición y procedimiento del cálculo del área de un triángulo, y V92 relativo a la comprensión de las líneas de simetría en figuras geométricas. Por su parte la segunda clase, la componen estudiantes de pedagogía que tienen probabilidades mayores o iguales a .5 en los ítems V27 y V92, tal como se observa en la Tabla 6.

Para el tercer grupo de ítems determinado por el tercer factor y denominado “Medida y Visualización”, el ACL determina que el modelo con dos clases obtiene los mejores ajustes. La probabilidad de pertenecer a la clase 1 es igual a 89% y la de pertenecer a la segunda de 11%.

Tabla 6 Probabilidad de pertenencia a cada clase del factor “Definiciones” 

Nota. *p < .05, **p < .01, ***p < .001. Índices de ajuste para el modelo de dos clases BIC = 1053.73; AIC = 1005.40; G² = 222.15; χ2(N=94, gl = 75) = 566.94.

En la primera clase los estudiantes de pedagogía tienen probabilidades mayores a .5 en todos los ítems, excepto en el ítem V40 referido al cálculo del área de un cuadrado dispuesto en una grilla pero que ha sido rotado. Por su parte en la segunda clase, los estudiantes de pedagogía tienen probabilidades mayores .5 en el ítem V79 relacionado a la medición de la longitud de un segmento, tal como se observa en la Tabla 7.

Tabla 7 Probabilidad de pertenencia a cada clase del factor “Medida y Visualización” 

Nota. *p < .05, **p < .01, ***p < .001. Índices de ajuste para el modelo de dos clases BIC = 855.92; AIC = 812.69; G² = 120.40; χ²(N = 95, gl = 77) = 166.75.

4.5. PERFILES DE DESEMPEÑO RESPECTO DEL MARCO DE CONOCIMIENTO MATEMÁTICO PARA ENSEÑAR

Del ACL, el modelo con dos clases obtiene los mejores ajustes para los ítems de la primera dimensión del CME. La probabilidad de pertenecer a la primera clase es igual a 34% y a la segunda de 66%. La primera la componen estudiantes de pedagogía que tienen probabilidades menores .5 en sólo tres ítems de la dimensión de conocimiento común de la matemática escolar, tal como se observa en la Tabla 8. Los ítems son el V69 relativo al conocimiento de los elementos secundarios de un triángulo dispuesto en una circunferencia, el V21 referente al cálculo de superficies de paralelepípedos de igual altura y el V29 concerniente a la aplicación de la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero. En la dimensión del conocimiento especializado, en el ítem V87 los estudiantes de pedagogía de esta primera clase presentan probabilidades menores a .5, ítem que aborda el conocimiento relativo a la determinación inductiva de la fórmula para el cálculo del área de un círculo. En la segunda clase, predominante en los estudiantes de pedagogía, presentan probabilidades mayores a .5 los ítems V27 y V92 de la dimensión de conocimiento común; el ítem V27 responde al objetivo de aprendizaje de describir prismas y pirámides, y el V92 a identificar figuras simétricas 2D. En la dimensión de conocimiento especializado los estudiantes de pedagogía de esta clase presentan probabilidades mayores a .5 en el ítem V85 relativo al conocimiento para aproximar el perímetro de una circunferencia mediante las bases de triángulos congruentes inscritos en ella.

Tabla 8 Probabilidad de pertenencia a cada uno de perfiles de clase del CCM 

Nota. CCM=Conocimiento del Contenido Matemático; CC=Conocimiento Común; CE=Conocimiento Especializado;

Índices de ajuste para el modelo con dos clases BIC = 1707.29; AIC = 1628.45; G² = 723.40; χ²(N = 94, gl = 63) = 21322.97).

Para el segundo grupo de ítems determinado por el análisis de validez y referido al conocimiento pedagógico del contenido, el ACL determina que el modelo con tres clases obtiene los mejores ajustes nuevamente. La probabilidad de pertenecer a la primera es igual a 65%, la de pertenecer a la segunda es de un 26%, y la de pertenecer a la tercera es de un 9%.

A diferencia de las separaciones anteriores, en la dimensión de conocimiento pedagógico del contenido, las respuestas de los estudiantes de pedagogía se agrupan en tres clases. La primera, compuesta por el 65% de los participantes, muestra probabilidades mayores a .5 en dos ítems de la subdimensión conocimiento del contenido y los estudiantes, los ítems V60 y V64 relativos al conocimiento de obstáculos que provocan errores al visualizar características de cubos dispuestos en una colección. Y en cuatro ítems de la subdimensión conocimiento del contenido y la enseñanza, los ítems V53, V54, V79 y V80. Los dos primeros abordan el conocimiento relativo a las características necesarias que pueden orientar la construcción de redes en niños y niñas. Los dos últimos, se refieren a la identificación de la mejor orientación para llevar a estudiantes, que ya tienen una solución sobre la medición de un segmento, a reflexionar y justificar la forma que encontraron, tal como se observa en la Tabla 9. Por otra parte, la primera y tercera clase muestran probabilidades menores a .5 en dos ítems de la subdimensión CCE, los ítems V90 y V31 que se relacionan con el conocimiento sobre los errores comunes de los estudiantes o sus confusiones más frecuentes en la identificación de líneas perpendiculares y en la comprensión de los conceptos de área y perímetro de un rectángulo, respectivamente.

Entonces, se puede observar que, en la subdimensión del conocimiento de la geometría y los estudiantes, los estudiantes de pedagogía tienen una mayor probabilidad de identificar errores comunes relacionados con la visualización de cuerpos geométricos que de identificar errores relacionados con ángulos y comprensión de conceptos de área y perímetro. En la subcategoría CCEns cuatro de los ocho ítems tienen probabilidades menores a .5 en al menos 2 de las 3 clases. Estos ítems se relacionan con el conocimiento para seleccionar actividades o estrategias pedagógicas que favorecen la comprensión o profundización de los contenidos por parte de los estudiantes, o elegir actividades que se ajusten a objetivos curriculares. El ítem V70 relativo a la selección de una estrategia pedagógica que permite una mejor comprensión de los distintos tipos de ángulos, los ítems V81 y V82 relativos a la selección de una actividad que permita a los estudiantes profundizar en un problema de medición de longitudes, y V72 relativo a seleccionar una actividad que se ajuste al objetivo curricular de calcular volumen de paralelepípedos. Por último, y en relación a la subdimensión del Conocimiento Curricular (CCur), esta se compuso de sólo un ítem que tuvo probabilidad menor a .5 para las clases 1 y 3, y que se relaciona con el conocimiento previo que requieren los estudiantes para comprender que la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.

Tabla 9 Probabilidad de pertenencia a cada uno de perfiles de clase del CPC 

Nota. CPC=Conocimiento pedagógico del contenido; CCE=conocimiento del contenido y los estudiantes; CCEns=Conocimiento del contenido y la enseñanza; CCur=Conocimiento Curricular;

Índices de ajuste para el segundo grupo de ítems BIC = 1449.35; AIC = 1345.08; G² = 437.71; χ²(N = 94, gl = 53) = 4250.47.