Введение

При оценке качества зубчатых передач одним из главных критериев считаются наибольшая кинематическая погрешность и мертвый ход передачи. Очевидно, что эти показатели точности носят функциональный характер. Конкретное их значение в каждый момент времени различно. Мёртвый ход зависит от угла поворота ведущего колеса φ1 , т.е. от момента реверсирования передачи. ГОСТ 1643-81 [1] нормирует наибольшую кинематическую погрешность, а также минимальный и максимальный боковой зазор в передаче. Минимальный боковой зазор и класс отклонений межосевого расстояния в зависимости от вида сопряжения определяется таблицей по ГОСТ.  Для каждого межосевого расстояния aw  находят конкретное значение минимального осевого зазора jn min ,  мкм. Что же касается jn max , то его задают косвенно по следующей формуле:

jn max=jn min+Tjn.

Причем значение допуска на боковой зазор непосредственно не нормируется.  Допуск на боковой зазор Tjn  определяется нормированием дополнительного смещения исходного контура Ен, отклонением средней длины общей нормали EWm , отклонением толщины зуба Ec , либо отклонением измерительного межосевого расстояния ±fa , в зависимости от вида сопряжения и степени точности по нормам плавности работы [2, 3].

Рассмотрим показатель бокового зазора с точки зрения обеспечения качественной работы передачи. Ведь боковой зазор должен обеспечить целый ряд условий, среди которых главными являются отсутствие заклинивания и обеспечение оптимальной работы смазки. Здесь имеется ввиду не только и не столько скорость выхода смазки из впадины, но и, главным образом, «срабатывание» смазки при проходе в малых зазорах.

Зазор должен обеспечить компенсацию погрешностей изготовления зубчатых колес и других деталей передачи (в том числе корпуса, в приборостроении плат), погрешностей монтажа и деформаций под нагрузкой.

Что касается предотвращения заклинивания, в ГОСТе 1643-81 [1] указано, что сопряжения вида «В» обеспечивает минимальную величину бокового зазора, при котором исключается возможность заклинивания стальной или чугунной передачи от нагрева при разности температур зубчатых колес и корпуса в 25 °С. ГОСТ не содержит указаний для других видов сопряжения, других разностей температур или других материалов.

В работе [4] принято что, что jn min  не гарантирует отсутствие заклинивания и поэтому необходимо обеспечивать дополнительное смещение исходного контура сверх обусловленного получения jn min .

Подобные подходы к нормированию бокового зазора кажутся нам утопичными, ибо предполагают, в частности, знание таких условий, как температурный режим, вязкость смазочного масла и т.д. Такие подробности стандарт не должен и не может предусматривать.

ГОСТ [1, 3] предусматривает компенсацию Tjn  погрешностей изготовления зубчатых и не зубчатых элементов передачи и погрешностей монтажа, т.е.

                                                  jn max=jn min+kj,                                                     1

где kj=(2fasinα)2+2fpb2+2Fβ2+(fxsinα)2+(fycosα)2,                                      2

Суммирование под корнем квадратным предполагает нормальное распределение всех слагаемых kjn .

Предположим отсутствие заранее определенных видов распределения случайных величин в формуле (2).

Тогда

 jn max=jn min+2fasinα+fycosα+fxsinα+Fr1sinα+fpb1+Fβ1cosα+Fr2sinα+fpb2+Fβ2cosα,                                                                                                       3

где fa  – предельное отклонение межосевого расстояния; fPb  – предельное отклонение шага зацепления; Fr  – допуск на радиальное биение зубчатого венца; Fβ  – допуск на погрешность направления зуба; fx , fy  – допуск на непараллельность и перекос осей.

Рассчитаем jn max  по формуле (3) по методу максимума-минимума. В качестве примера здесь и в дальнейшем рассмотрим передачи с u = 1 ÷ 8 (целое число), m = 5 мм; степень точности 7C. Для определения максимального значения зазора будем считать, что все слагаемые в формуле (2) имеют знак плюс.

В работе [4] приведена другая трактовка формулы (2):

jnк=2fasinα+fycosα+fxsinα+Fr1sinα+fpb1+Fβ1cosα+Fr2sinα+

+ fpb2+Fβ2cosα,                                                                                   4

т.е. в jnк  (в ГОСТ1643-81 обозначение kj ) учтено радикальное биение колес Fr , хотя согласно ГОСТа выбор допуска на смещение исходного контура TH  производится с учетом допуска на радикальное биение зубчатого венца Fr .

Поэтому возможна следующая трактовка jn max :

jn max=jn min+jnк=jn min+2fasinα+fycosα+fxsinα+fpb1+Fβ1cosα+fpb2 ++Fβ2cosα,                                                                                      5

По мнению авторов использование формулы (5) оправдано, ибо при выборе, например, допуска на смещение исходного контура Тн исходим из значения допуска на радиальное смещение зубчатого колеса F_r.

Результаты расчета максимального значения jn max  по разным методикам приведены в табл. 1.

1. Результаты расчета максимального значения jn max  по разным методикам

Проведем те же расчеты, предполагая, что входящие в формулу для j_nk слагаемые распределены равновероятно в интервале минимального и максимального значений, определенных в работе [1]. Расчёт проведём методом статических испытаний (Монте Карло) [5].

Результаты математического эксперимента представлены в табл. 2.

2. Результаты математического эксперимента 1

Гистограмма распределения jn по математическому эксперименту 1, представлена на рис. 1.

Рис. 1

Проведем те же расчеты, предполагая нормальное распределение для всех слагаемых в формуле для j_nк. Результаты математического эксперимента представлены в табл. 3.

3. Результаты математического эксперимента 2

Гистограмма распределения jn  по математическому эксперименту 2 представлена на рис. 2.

Рис. 2

Распределение суммы j_nк в обоих случаях нормальное, что обусловлено выполнением условий центральной предельной теоремы теории вероятностей: число слагаемых велико и они равномерно мало влияют на сумму. Приведенные числовые характеристики определяют существенное расхождение в величинах jn max . При нормальном распределении слагаемых значений jn max  получается существенно меньшими и такое распределение подтверждается практикой [6].

Перейдем к сугубо практическому подходу к определению экстремальных значений j_n. Пусть критерием будет дополнительное смещение исходного контура.

jn=(-ЕНs1-ЕНs2±2fa)2sinα,                                 (6)

jn min=-ЕНs1-ЕНs2-2fa2sinα,                            (7)

jn max=-ЕНs1-ЕНs2+TН1+TН2+2fa2sinα,    (8)

Определим значение jn  по методу максимума-минимума (табл. 4).

4. Значение jn  по методу максимума-минимума

Далее произведем математический эксперимент, считая, что слагаемые в формулах (5), (6) распределены равновероятно (табл. 5):

5. Результаты математического эксперимента 3

Гистограмма на рис. 3 подтверждает нормальное распределение jn .

Рис. 3

Допустим, что слагаемые в формулах (7) и (8) распределены по нормальному закону (табл. 6).

6. Результаты математического эксперимента 4

Гистограмма распределения по математическому эксперименту с нормальным распределением слагаемых представлена на рис. 4.

Рис. 4

Расчет по формулам (7), (8) дает значения jn  существенно выше, чем по формулам (1), (3), (5). Это объясняется тем, что EHs  определяется из суммы (jn min+kj) , т.е. jn max  по формулам (1), (3), (5) сравнимы с jn min  по формулам (7), (8).

Это вполне объяснимо, так как формула (2) приведенная из работы [2] без изменений уже предлагает нормальное распределение всех слагаемых в формуле для kj . Коэффициенты, описывающие третий и четвертый центральные моменты числовых характеристик распределения jn , полностью объясняют особенности гистограмм на рис. 1 ‒ 4.

Заключение

Рассмотрены метод максимума-минимума и вероятностный метод расчета бокового зазора зубчатой передачи. При вероятностном методе расчета может быть получено меньшее значение бокового зазора зубчатой передачи, чем при методе максимума, что более полно учитывает специфику реального производства зубчатых передач. Важно отметить, что расчет не по допускам погрешностей из таблиц ГОСТ, а по эмпирическим законам распределения данных погрешностей, числовые характеристики которых определяются на конкретном производстве, обеспечивают лучшую сходимость расчетных и экспериментальных данных.

При расчете параметров точности зубчатой передачи вероятностным методом необходимо знать границы зоны рассеяния погрешностей и законы их распределения внутри зоны. Установление границ и законов распределения (либо числовых характеристик, когда законы не определены) необходимо осуществлять в налаженном производстве при стабильных числовых характеристиках распределения и достаточно большом количестве измеряемых деталей в выборке.

Проведённая работа актуальна для современной промышленности, поскольку позволяет более точно оценивать точность передачи на основании распределения характеристик погрешностей передачи.

1. RSS 1643-81. Basic Standards for Interchangeability. Cylindrical Gearings. Tolerances. - M.: IPK Standards Publishing House, 2003. - pp. 45.

2. Methodical Directions on Introduction of RSS 1643-70. Cylindrical Gearings. Tolerances. M.: Standards Publishing House, 1975. pp. 110.

3. RSS 21098-82. Kinematic Chains. Methods for Accuracy Computation. - M.: Standards Publishing House, 1982. - pp. 26.

4. Kutsokon, V.A. Accuracy of Device Kinematic Chains. - L.: Mechanical Engineering. 1980. - pp. 221.

5. Sobol, I.M. Monte-Carlo Method. - M.: Science, 1978. - pp. 64.

6. Naumov, V.A., Markova, L.V. Statistical Methods of Hydrology in Mathcad Environment. - M.: Publishers: RSAU-Timiryazev AA of Moscow. 2012.