Topological aspects of maps between surfaces

Born, Janis Sebastian; Kobbelt, Leif; Ovsjanikov, Maks

doi:HT021491675

Topological aspects of maps between surfaces

Born, Janis Sebastian^RWTH*

2022

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Janis Born, M.Sc. RWTH

ImpressumAachen : RWTH Aachen University 2022

Umfang1 Online-Ressource : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2022

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Kobbelt, Leif (Thesis advisor)^RWTH* ; Ovsjanikov, Maks (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2022-03-29

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2022-09094
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/853840/files/853840.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
computer graphics (frei) ; geometry processing (frei) ; surface maps (frei) ; topology (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 004

Kurzfassung
Die Erzeugung von Abbildungen zwischen Oberflächen von 3D-Objekten ist eine wiederkehrende Aufgabe in der Geometrieverarbeitung. Dabei liegt ein besonderes Augenmerk auf hochqualitativen Abbildungen, die besonderen Korrektheitsanforderungen hinsichtlich Stetigkeit oder Bijektivität genügen. Solche Homöomorphismen definieren nicht nur eine geometrische Korrespondenz zwischen allen Oberflächenpunkten, sondern auch eine topologische Zuordnung globaler Oberflächenmerkmale wie Löcher, Henkel oder Tunnel. Die Konstruktion eines natürlichen, verzerrungsarmen Homöomorphismus zwischen zwei gegebenen Oberflächen ist daher eine äußerst filigrane Aufgabe, welche die Berücksichtigung sowohl kombinatorischer (topologischer), als auch kontinuierlicher (geometrischer) Freiheitsgrade erfordert. Es gibt zwar automatische Methoden zur Optimierung von bereits existierenden Homöomorphismen, jedoch beschränken sich diese auf rein kontinuierliche geometrische Verbesserungen und erlauben keine topologischen Korrekturen. Es mag daher überraschen, dass viele bisherige Algorithmen zur Initialisierung von Homöomorphismen sich wenig darum bemühen, die korrekte Abbildungs-Topologie zu finden: Diese wichtige Aufgabe wird entweder bloß durch (unzuverlässige) Heuristiken gesteuert oder gänzlich der Eingabe der Nutzer:in überlassen. Bislang steht dieser Mangel an topologisch robusten Initialisierungsmethoden einer vollständigen Automatisierung der Erzeugung von Oberflächenabbildungen im Weg. Ziel dieser Arbeit ist daher die Beschreibung neuer Algorithmen, welche sich explizit der topologischen Schwierigkeiten in der Konstruktion von Homöomorphismen annehmen, um diese Automatisierungslücke zu schließen. Theoretische Grundlage dafür ist die Betrachtung der Abbildungsklassengruppe (mapping class group) von Oberflächen, welche eine systematische Beschreibung aller möglichen Abbildungs-Topologien erlaubt. Ausgehend von verschiedenen Repräsentationen dieser Gruppe wählen wir zwei unterschiedliche Herangehensweisen: Wir präsentieren einerseits einen robusten Algorithmus zur Konstruktion von Abbildungen aus vorgegebenen Punkt-Korrespondenzen, basierend auf Einbettungen eines gemeinsamen Zellkomplexes. Unsere Methode sucht systematisch nach natürlichen, möglichst kurzen Einbettungen und vermeidet so die typischen sporadisch auftretenden Initialisierungsfehler vorheriger Methoden, welche bloß heuristisch vorgehen. Daneben beschreiben wir ein neues Verfahren zur Erstellung rein topologischer Beschreibungen von bereits gegebenen Oberflächenabbildungen. Solche rein abstrakten Beschreibungen können dann zur Festlegung der topologischen Freiheitsgrade neuer Abbildungen herangezogen werden. Unser Analyseverfahren unterstützt eine Reihe gängiger, insbesondere nicht-homöomorpher Abbildungsdarstellungen und verarbeitet selbst fehler- oder lückenhafte Eingabedaten. Dies ermöglicht erstmals die Nutzung spezialisierter Shape-Matching-Verfahren zur vollautomatischen Bestimmung semantischer Korrespondenzen, deren topologische Struktur schließlich durch unser Verfahren zur Herstellung von Homöomorphismen nutzbar gemacht wird. Diese Neuerungen bieten somit zuverlässige und automatische Alternativen zu bisherigen Erzeugungsmethoden von Oberflächenabbildungen. Sie erfordern ein wesentlich geringeres Maß an menschlicher Interaktion und Beaufsichtigung und machen gleichzeitig die Ergebnisse vollautomatischer Korrespondenzverfahren für topologische Konstruktionen nutzbar.

The generation of high-quality maps between surfaces of 3D shapes is a fundamental task with countless applications in geometry processing. There is a particular demand for maps that offer strict validity properties such as continuity and bijectivity, i.e. surface homeomorphisms. Such maps not only define a geometric one-to-one correspondence between surface points, but also a matching of topological features: an identification of handles and tunnels and how the map wraps around them. Finding a natural, low-distortion surface homeomorphism between a given pair of shapes is a challenging design task that involves both combinatorial (topological) and continuous (geometric) degrees of freedom. However, while powerful methods exist to improve existing homeomorphisms through continuous modifications, these are limited to merely geometric updates, and hence cannot alter map topology. In this light, it is quite surprising that most existing techniques for the initial construction of homeomorphisms do not systematically deal with questions of map topology and instead relegate these issues to user input or ad-hoc solutions. Unfortunately, this lack of reliable and automatic methods for the critically important topological initialization has so far prevented a further automation of homeomorphic surface map generation. In this thesis, we aim to close this practical gap by devising new algorithms that specifically address the map-topological issues underlying the construction of surface homeomorphisms. Our theoretical foundation is the study of the mapping class group, an algebraic structure which characterizes the entire topological design space. We approach the task of map topology generation from two different angles, based on different mapping class representations: We propose a robust method for the construction of maps from sparse landmark correspondences, based on compatible layout embeddings. Our robust embedding strategy systematically searches for short, natural embeddings and therefore reliably avoids a range of sporadic topological initialization errors which can occur with previous heuristic approaches. Additionally, we introduce a novel algorithm to extract topological map descriptions from approximate, non-homeomorphic input maps. Such a purely abstract description of map topology may then be used to guide the construction of a proper homeomorphism. As our inference method is highly robust to a wide range of map defects and imperfect map representations, this effectively allows to delegate the difficult task of finding a natural map topology to specialized shape matching methods, which have grown increasingly capable. These advancements promote the further automation of map generation techniques in two regards: They vastly reduce the need for human supervision, and make the results of automatic shape matching methods accessible for topological initialization.

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