Reproducing subgroups of affine Weyl-Heisenberg group

Rashidi, Narjes; Wittich, Olaf; Führ, Hartmut

doi:10.18154/RWTH-2020-10669

Reproducing subgroups of affine Weyl-Heisenberg group

Rashidi, Narjes

2020

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von M.Sc. Narjes Rashidi

ImpressumAachen 2020

Umfang1 Online-Ressource (x, 94 Seiten)

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Führ, Hartmut (Thesis advisor)^RWTH* ; Wittich, Olaf (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2020-08-20

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2020-10669
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/805010/files/805010.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
admissibility condition (frei) ; admissible vector (frei) ; dual action (frei) ; ergodicity (frei) ; invariant subspaces (frei) ; orbit space (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In dieser Arbeit untersuchen wir eine Klasse von Untergruppen der affinen Weyl-Heisenberg-Gruppe $ G_{aWH} $vom Typ $ \mathbb {T} \times \mathbb {R} ^ n \times V \rtimes H $, wobei $ V $ ein nicht trivialer Unterraum des euklidischen Raums und $ H$ eine nicht triviale Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe ist. Der Hauptzweck ist die Charakterisierung reproduzierender Untergruppen von $ G_{aWH} $ der genannten Form. Diese Klasse von Untergruppen enthält Standard-Wavelet-Transformationen sowie Fenster-Wavelet-Transformationen der Weyl-Heisenberg-Gruppe. Wir betrachten die Konstruktion der kontinuierlichen Wavelet-Transformationen in diesen Untergruppen mit der einheitlichen Darstellung $ \pi (x, \xi, h, z) = z T_x M_ \xi D_h $. Wir geben dann ein scharfes Zulässigkeitskriterium für ein Paar $ (V, H) $ an, das einen zulässigen Vektor hat. Darüber hinaus untersuchen wir invariante Teilräume, indem wir uns auf die doppelte Wirkung von $ V \rtimes H $ auf den euklidischen Raum konzentrieren, um die Quadratintegrierbarkeit zu erreichen. Schließlich bieten wir eine neue Klasse von Beispielen für die Reproduktion von Untergruppen vom Typ $ \mathbb {T} \times \mathbb {R} ^ n \times V \rtimes H $ in Dimension zwei und drei. Wir skizzieren auch die allgemeine Struktur zulässiger Untergruppen in höheren Dimensionen.

In this thesis we study a class of subgroups of the affine Weyl-Heisenberg group $G_{aWH}$of the type $\mathbb{T}\times \mathbb{R}^n\times V \rtimes H$, where $V$ is a non-trivial subspace of Euclidean space and $H$ is a non-trivial subgroup of the general linear group. The main purpose of this is to characterize reproducing subgroups of $G_{aWH}$ of the mentioned form. This class of subgroups contains standard wavelet transforms as well as windowed wavelet transforms, of the Weyl-Heisenberg group. We consider the construction of the continuous wavelet transforms on these subgroups, with the unitary representation $\pi(x,\xi,h,z) = z T_x M_\xi D_h $. We then give sharp admissibility criteria for a pair $(V,H)$ that have an admissible vector. Furthermore, we study invariant subspaces by focusing on the dual action of $V\rtimes H$ on Euclidean space, to approach square-integrability. Finally, we provide a new class of examples of reproducing subgroups of the type $\mathbb{T}\times \mathbb{R}^n\times V \rtimes H$ in dimension two and three. We also sketch the general structure of admissible subgroups in higher dimension.

OpenAccess:
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