Multilevel preconditioning of stabilized unfitted finite element discretizations

Ludescher, Thomas; Lehrenfeld, Christoph; Reusken, Arnold

doi:10.18154/RWTH-2020-07305

Multilevel preconditioning of stabilized unfitted finite element discretizations

Ludescher, Thomas^RWTH*

2020

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Thomas Ludescher, M.Sc.

ImpressumAachen 2020

Umfang1 Online-Ressource (xii, 141 Seiten) : Illustrationen, Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Reusken, Arnold (Thesis advisor)^RWTH* ; Lehrenfeld, Christoph (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2020-05-27

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2020-07305
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/793970/files/793970.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Nitsche (frei) ; Stokes (frei) ; multigrid (frei) ; numerical analysis (frei) ; unfitted FEM (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In der vorliegenden Arbeit werden neue Methoden zur iterativen Lösung von Interface-Problemen vorgestellt. Es werden zwei Problemklassen betrachtet: das Poisson-Interface-Problem und das Stokes-Interface-Problem. Dies sind Modellprobleme für den Massentransport und die Hydrodynamik in einem Zweiphasen-System. Für realistische Simulationen dieser Systeme hat man typischerweise mit einer bewegten Phasengrenze zu tun. In dieser Arbeit betrachten wir nur quasi-stationäre Probleme mit einer \emph{stationären} Phasengrenze. Um die Bedingungen eines realistischen Problems nachzuahmen, verwenden wir die Level-Set-Methode zur Beschreibung der Phasengrenze. In diesem Rahmen ist das Gitter \emph{nicht} an die Phasengrenze angepasst. Zusätzlich weisen die Modellprobleme Unstetigkeiten in der Lösung an der Phasengrenze auf, sofern die Materialkoeffizienten unstetig sind oder (im Falle des Stokes-Problems) Oberflächenspannungskräfte aufgeprägt werden. Bei der Anwendung eines iterativen Lösers auf diese Modellprobleme sind die Gitterweite, die Lage der Phasengrenze, sowie ein hoher Kontrast in den Materialkoeffizienten kritische Parameter. \\ \noindent Eine stabile Diskretisierung ist eine wesentliche Grundlage für den Entwurf eines robusten iterativen Lösers. Zur Approximation von Unstetigkeiten, die innerhalb von Gitterelementen auftreten, verwenden wir eine nicht-angepasste Finite-Elemente-Methode. Die Bedingungen an der Phasegrenze sind jedoch nicht Teil des Lösungsraumes und werden daher mit einer Nitsche-Technik schwach aufgeprägt. Innerhalb der Nitsche-Methode hat man eine gewisse Freiheit bei der Wahl der Mittelungsgewichte. Diese Gewichte werden so gewählt, dass wir Robustheit für hohe Kontraste in den Materialparametern erhalten. Um Robustheit in Bezug auf die Lage der Phasengrenze sicherzustellen wird eine Ghost-Penalty-Stabilisierung verwendet. Im Falle des Stokes-Problems hängt die Stabilität der Methode außerdem von der Wahl der Finite-Elemente-Räume für Geschwindigkeit und Druck ab. Hierfür verwenden wir ein $\cP_2$--$\cP_1$ Taylor-Hood-Paar, welches für angepasste Finite-Elemente-Methoden stabil ist, und fügen einen zusätzlichen Ghost-Penalty-Term für den Druck hinzu, um Robustheit für den nicht-angepassten Fall zu erhalten. Typischerweise wird bei der Diskretisierung die Approximationsgenauigkeit durch eine stückweise lineare Approximation der Phasengrenze limitiert. Um eine Geometrieapproximation höherer Ordnung zu erhalten, und damit auch eine Approximationsgenauigkeit von höherer Ordnung zu ermöglichen, verwenden wir eine isoparametrische Abbildung. Wir analysieren die Stabilitätseigenschaften der Diskretisierungen für beide Modellprobleme und bestätigen diese durch numerische Experimente. Darüber hinaus leiten wir obere Schranken für den Diskretisierungsfehler des Poisson-Interface-Problems her und geben eine explizite Abhängigkeit von den Materialkoeffizienten an. Numerische Experimente bestätigen die theoretischen Ergebnisse und zeigen eine optimale Konvergenzordnung für beide Probleme. \\\noindentFür das Poisson-Interface-Problem entwickeln wir eine neue Mehrgitter-Methode. Es werden Transferoperatoren für die nicht-angepassten Finite-Element-Räume auf verschiedenen Stufen entworfen, welche robust hinsichtlich der Lage der Phasengrenze sind. Darüber hinaus wird ein Interface-Glätter entwickelt, um Robustheit bezüglich unstetiger Materialkoeffizienten zu erhalten. Wir stellen eine Konvergenzanalyse für diese Methode vor, die eine von der Gitterweite und der Lage der Phasengrenze unabhängige Schranke liefert. Numerische Experimente weisen eine Robustheit der Methode in Bezug auf die Gitterweite, die Lage der Phasengrenze, sowie den Kontrast in Materialkoeffizienten auf. Die Methode wird mit Hilfe eines Zwei-Gitter-Ansatzes auf Diskretisierungen höherer Ordnung erweitert. \\\noindentFür das Stokes-Interface-Problem verwenden wir einen Cahout-Chabard-artigen Schur-komplement-Vorkonditionierer, welcher aus der Lösung eines skalierten Massen- und Poisson-Problems auf dem Druckraum besteht. Für den Poisson-Teil können wir die zuvor eingeführte koeffizientenrobuste Diskretisierung verwenden und daher kann die neue Mehrgitter-Methode angewendet werden. Geeignete Randbedingungen für den Vorkonditionierer werden ebenfalls diskutiert. Die Diskretisierung des Geschwindigkeitsblocks ist so gestaltet, dass sie die gleiche Struktur wie ein vektorwertiges Poisson-Interface-Problem hat und daher kann die Mehrgitter-Methode höherer Ordnung angewendet werden. Numerische Experimente veranschaulichen die Robustheit des vorgeschlagenen Vorkonditionierers in Bezug auf die Gitterweite, die Lage der Phasengrenze, sowie den Kontrast in den Materialkoeffizienten. \\\noindentDie oben genannten Methoden sind teilweise im Softwarepaket \texttt{DROPS}, sowie im \texttt{ngsxfem} Paket, einer Erweiterung zum Softwarepaket \texttt{ngsolve}, implementiert worden.

In this thesis new methods for the iterative solution of interface problems are presented. Two problem classes are considered: the Poisson interface problem and the Stokes interface problem. These are model problems for mass transport and hydrodynamics in a two-phase flow system. For realistic simulations of these systems one typically has to deal with an evolving interface. In this work we only consider quasi-stationary problems with a \emph{stationary} interface. To mimic the setting of a realistic problem we use the level set method for the interface description. In that setting the mesh is \emph{not} aligned to the interface. Additionally, the model problems exhibit discontinuities in the solution across the interface, when the material coefficients are discontinuous or (for the Stokes case) a surface tension force is applied. When applying an iterative solver to these model problems, critical parameters are the mesh size, location of the interface and large contrast in material coefficients. \\ \noindentA stable and accurate discretization is an essential basis for designing a robust iterative solver. To approximate discontinuities within mesh elements we use an unfitted finite element method. The interface conditions, however, are not part of the solution space. Therefore, we use a Nitsche technique to weakly impose those conditions. Within Nitsche's method one has some freedom in the choice of averaging weights. We choose those weights such that we obtain robustness with respect to large contrast in material parameters. To obtain robustness with respect to the location of the interface, we use a ghost penalty stabilization technique. In case of the Stokes problem, the stability of the method depends on the pair of spaces used for velocity and pressure. We use a $\cP_2$--$\cP_1$ Taylor-Hood pair, which is stable for fitted finite element methods, and apply an additional ghost penalty term for the pressure to obtain robustness in the unfitted case. Typically, a higher order accuracy of the discretization is limited by a piecewise linear approximation of the interface. To gain a higher order geometry approximation we use an isoparametric mapping. We analyze the stability properties of the discretizations for both model problems and demonstrate these by numerical experiments. Furthermore, we provide discretization error bounds for the Poisson interface problem and study their dependence on material coefficients. Numerical experiments confirm the theoretical findings and show optimal order convergence for both model problems. \\\noindentFor the Poisson interface problem, we develop a new multigrid method. Transfer operators for the unfitted finite element spaces on different levels are designed, which are robust with respect to the location of the interface. Furthermore, an interface smoother is developed to yield robustness with respect to discontinuous material coefficients. We present a convergence analysis for this method, which provides a bound that is independent of the mesh size and the location of the interface. Numerical experiments show robustness of the method with respect to mesh size, location of the interface and contrast in material coefficients. The method is extended to higher order discretizations using a two-grid approach. \\\noindentFor the Stokes interface problem we use a Cahout-Chabard-type Schur complement preconditioner, which consists of the solution of a scaled mass and Poisson problem on the pressure space. For preconditioning of the Poisson part we can use the coefficient robust discretization introduced previously, for which the new multigrid method can be applied. Also appropriate boundary conditions for the preconditioner are discussed. The velocity block discretization is designed such that it has the same structure as a vector valued Poisson interface problem and therefore the higher order multigrid method can be applied. Numerical experiments illustrate the robustness of the proposed preconditioner with respect to mesh size, location of the interface and contrast in material coefficients. \\\noindentThe aforementioned methods have been implemented partially in the \texttt{DROPS} software package, as well as in the \texttt{ngsxfem} package as an add-on to the \texttt{ngsolve} software package.

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