Chelyabinsk, Chelyabinsk, Russian Federation
It is proved that the oval quadrics of rotation with a common focus are in imaginary double contact. It is shown, in particular, that rotation ellipsoids with the general focus not only are in double contact, but for them the conditions of Monge theorem are satisfied.
quadric, square-law involution, focal point, isotropic straight lines, imaginary tangent planes.
Даны овальные квадрики вращения Φ1, Φ2 с осями i1, i2, директориальными плоскостями Δ1, Δ2 и совпавшей парой фокусов F. Докажем, что данные квадрики имеют касание в двух точках.
В сечении квадрик общей плоскостью симметрии H = i1∩i2 получаем конические сечения k1, k2 с директрисами d1 = H∩Δ1, d2 = H∩Δ2 и общим фокусом F (рис. 1). Точке J = d1∩d2 соответствует в поляритетах k1, k2 одна и та же поляра j, инцидентная F и перпендикулярная прямой JF (прямые j и JF соответственны в ортогональной инволюции, установленной кониками k1, k2 в пучке F). Через точку J проходят прямые n = AB и m = UV, где A, B — пара действительных, а U, V — пара мнимых комплексно сопряженных точек пересечения кривых второго порядка k1, k2. Переходя к рассмотрению проективных соответствий в пространстве R3, предварительно докажем следующее вспомогательное утверждение.
Лемма. Пусть дана нелинейчатая квадрика вращения Φ (эллипсоид, параболоид или двуполостной гиперболоид) с фокусом F и директориальной плоскостью Δ. Тогда произвольная плоскость Σ связки F пересекает эту квадрику по кривой второго порядка с фокусом F и директрисой d = Δ∩Σ.
1. Peklich V.A. Mnimaya nachertatel'naya geometriya. - M.: Izdatel'stvo Assotsiatsii stroitel'nykh vuzov, 2007.
