1. 引言

在群与图研究领域中，1-正则图一直是一个主要研究对象。自1952年R. Frucht在文献 [1] 中给出第一个3度1-正则图的例子后，Marusic，Malnic等人在文献 [2] [3] 构造出了两类不同的4度1-正则图的无限族。而文献 [4] 中给出连通3度Cayley图是1-正则图的一个充要条件，并利用交错群 $A_n$ 分别构造了连通3度1-正则和2-正则Cayley图的无限族。而文献 [5] 则显示了3度1-正则图在地图上的一些重要应用。

本文主要尝试对于每一个奇素数p，分类无核的p度1-正则Cayley图。

具体的，设 $\Gamma =Cay\left(G,S\right)$ 为 $\left(X,1\right)$ -正则Cayley图，其中 $G\le X\le Aut\Gamma$。记 $H=X_1$。则H作用在S上正则且 $H\cong Z_{\text{p}}$。本文对G在X中是无核的情形做分类研究。

2. 引理

由文献 [6] (性质3.2)，有下面的命题：

命题2.1设p为奇素数， $\Gamma =Cay\left(G,S\right)$ 为p度 $\left(X,1\right)$ -正则Cayley图，其中 $G\le X\le Aut\Gamma$。设 $H=X_1$。则存在对合 $\tau$ 满足 $\tau \in \left(G\cap X\right)-N_X\left(H\right)$，使得 $\Gamma \cong Cos\left(X,H,\tau \right)$， $X=\langle H,\tau \rangle$， $S=G\cap H\tau H$。■

下面的引理给出，当X为奇素数级的本原置换群且H为其循环正则子群时，则X和H完全被确定。注意到 $\Gamma =Cay\left(G,S\right)$ 为p度 $\left(X,1\right)$ -正则Cayley图，由文献 [7] (推论1.2)，得到如下引理：

引理2。1设p为奇素数，若X为p级本原置换群且X包含循环正则子群H，则：

1) $\left(X,p\right)=\left(PSL\left(2,11\right),11\right),\left(M_{11},11\right),\left(M_{23},23\right)$ ；

2) $PGL\left(d,q\right)\le X\le P\Gamma L\left(d,q\right)$，且 $p=\left(q^d-1\right)\left(q-1\right)$ ；

3) $X=A_p$ 或者 $S_p$，其中 $p\ge 5$。

证明：由文献 [7] (推论1.2)，仅需排除 $\left(X,p\right)=\left(P\Sigma L\left(2,8\right),9\right)$ 和 $H\cong Z_p\le X\le AGL\left(1,p\right)$ 的情形。由于p为奇素数，所以前者不可能发生。若 $X\le AGL\left(1,p\right)$ 为仿射型本原置换群。由于 $AGL\left(1,p\right)\cong Z_p:Z_{p-1}$ 且 $X_1\cong Z_p$，我们有 $\left|G\right|=\left|X:X_1\right|\le \left|Z_{p-1}\right|$ 与 $\Gamma =Cay\left(G,S\right)$ 为 $\left(X,1\right)$ -正则Cayley图矛盾。■

下面的引理给出当X为 $A_p$ 或者 $S_p$ 时，其极大子群的分类。由文献 [8] 或者文献 [9]，容易得到下面的引理：

引理2.2设 $p\ge 5$ 为素数，若 $X=A_p$ 或者 $S_p$。令G为X的极大子群满足 $G\ne A_p$。则 $G\cong AGL\left(1,p\right)\cap X$ 或者G为几乎单型的本原置换群。■

令N为X的包含在G的极大正规子群，也就是， $N=Cor{e}_X\left(G\right)$。由文献 [6] (性质2.1)有下面的引理：

引理2.3设p为奇素数， $\Gamma =Cay\left(G,S\right)$ 为p度 $\left(X,1\right)$ -正则Cayley图，其中 $G\le X\le Aut\Gamma$。令 $N=Cor{e}_X\left(G\right)$。则：

1) 若 $G=N$，则 $X\le G:Aut\left(G,S\right)$ 且 $X_1\le Aut\left(G,S\right)$。

2) 若 $\left|G:N\right|=2$，则存在 $D\subseteq N$，其中 $1\in D$， $\langle D\rangle =N$ 且 $\Gamma \cong BiCay\left(N,D\right)$。

3) $\left|G:N\right|>2$ ； $\Gamma {}_N$ 为 $G/N$ 的无核 $\left(X/N,1\right)$ -正则Cayley图且 $\Gamma$ 为 $\Gamma {}_N$ 的正规覆盖。

此外， $G/N\le X/N\le Aut{\Gamma }_N$。■

3. 主要结论

定理3.1设 $\Gamma =Cay\left(G,S\right)$ 为p度1-正则Cayley图，其中p为奇素数。令 $A=Aut\Gamma$，若 $Cor{e}_A\left(G\right)=1$，则 $\Gamma$ 同构意义下为表1所列图之一。

注3.1在表1最后一行， $A=PSL\left(d,q\right)\cdot O$ 其中 $O\le P\Gamma L\left(d,q\right)/PSL\left(d,q\right)$ 且d为素数。 $P_1=\left[q^{d-1}\right]\cdot Z_{\left(q-1\right)/\left(q-1,d\right)}\cdot PSL\left(d-1,q\right)\cdot Z_{\left(q-1,d-1\right)}\cdot O$。此外，在表1的第四列中， $n\left(\Gamma \right)$ 表示互不同构图的个数。

证明：设 $\Gamma =Cay\left(G,S\right)$ 为p度 $\left(X,1\right)$ -正则Cayley图，其中p为奇素数， $G\le X\le Aut\Gamma$。设G在X中无核。注意到 $H=X_1\cong Z_p$。考虑X在集合 $\left[X:G\right]$ 上的右乘作用，则作用忠实传递。此时，X为p级传递置换群。在这个作用下，X本原且包含循环正则子群H。由引理2.1，我们有以下几个选择 $\left(X,p\right)=\left(PSL\left(2,11\right),11\right),\left(M_{11},11\right),\left(M_{23},23\right)$， $X=A_p$ 或者 $S_p$，或者， $PGL\left(d,q\right)\le X\le P\Gamma L\left(d,q\right)$，且 $p=\left(q^d-1\right)\left(q-1\right)$。我们首先判断图的存在性，由性质2.1，仅需考虑 $X-N_X\left(H\right)$ 中对合的存在性。

1) 设 $\left(X,p\right)=\left(PSL\left(2,11\right),11\right)$。则 $H=Z_{11}$ 且G在X中的指数为11。设M为X的极大子群满足 $N_X\left(H\right)\le M$。由文献 [10]，X的极大子群有： $A_5$， $Z_{11}:Z_5$， $D_{12}$。另一方面， $Z_{11}\cong H\le M$，所以 $M\cong Z_{11}:Z_5$。显然有 $M\le N_X\left(H\right)$，因而 $N_X\left(H\right)=M\cong Z_{11}:Z_5$。注意到 $2|\left|PSL\left(2,11\right)\right|$，2不整除 $\left|M\right|$，所以存在对合 $\tau \in X-N_X\left(H\right)=PSL\left(2,11\right)-Z_{11}:Z_5$。我们声称 $\langle H,\tau \rangle =X$ 若不然， $\langle H,\tau \rangle$ 包含在X的一个极大子群 $M^{\prime }$ 里，由于 $11|\left|M^{\prime }\right|$ 且X的所有极大子群为： $A_5$， $Z_{11}:Z_5$， $D_{12}$ 因而 $\langle H,\tau \rangle \le Z_{11}:Z_5$，这与 $\tau \notin M=Z_{11}:Z_5$ 矛盾。故， $\langle H,\tau \rangle =X$。另一方面， $\left|X:G\right|=\left|H\right|=11$，由 $X$ 的极大子群结构，我们有 $G\cong A_5$。下面我们考虑这种情形下，存在互不同构图的个数。令 $a1=\left(3\text{,}7\text{,}9\text{,}4\text{,}5\right)\left(6\text{,}8\text{,}12\text{,}10\text{,}11\right)$， $b1=\left(1,8,2\right)\left(3,4,7\right)\left(5,12,11\right)\left(6,9,10\right)$。为了方便证明，我们不妨设 $X=PSL\left(2,11\right)=\langle a1,b1\rangle$。令 $u1=a{1}^{-1}b1a{1}^{2}b1a{1}^{-1}=\left(1,11,10,2,6,5,3,4,7,9,12\right)$。则 $H=Z_{11}=\langle u1\rangle$。令 $v1=b{1}^{-1}a{1}^{2}b1=\left(2,6,9,11,5\right)\left(3,7,4,10,12\right)$。则 $N_X\left(H\right)=Z_{11}:Z_5=\langle u1,v1\rangle$。有文献 [10]，X的所有对合在 $N_X\left(H\right)$ 的共轭作用下仅有一个轨道，因而同构意义下，这种情况下只存在一个图。此时，我们可以设 $t1=a1{\left(a1b1\right)}^2=\left(1,11\right)\left(2,8\right)\left(3,5\right)\left(4,12\right)\left(6,9\right)\left(7,10\right)$。令 ${\Gamma }_1=Cos\left(X,H,t1\right)$。由MAGMA的计算，此时 ${\Gamma }_1\cong PGL\left(2,11\right)$。由于 $X=PSL\left(2,11\right)<Aut{\Gamma }_1$，因而在这种情形下不存在无核p度1-正则Cayley图。

2) 设 $\left(X,p\right)=\left(M_{11},11\right)$。设M为X中包含 $N_X\left(H\right)$ 的极大子群。由文献 [10]，X的极大子群有： $M_{10},PSL\left(2,11\right),M_9:Z_2,S_5^{},M_8:S_3$。由于 $H\le M$，也就是 $11|\left|M\right|$，因而 $M\cong PSL\left(2,11\right)$。由本定理1) 的证明我们有 $N_X\left(H\right)=Z_{11}:Z_5$。显然存在2阶元 $\tau \in X-N_X\left(H\right)=M_{11}-Z_{11}:Z_5$，进一步的我们可以在 $M_{11}-PSL\left(2,11\right)$ 里面取得 $\tau$。若不然， $PSL\left(2,11\right)$ 包含了 $M_{11}$ 的所有对合。设 $M_{11}$ 的所有对合生成的子群为P，此时 $P\le PSL\left(2,11\right)$ 且 $P⊲M_{11}$，与 $M_{11}$ 为单群矛盾。若 $\langle H,\tau \rangle <M_{11}$，则 $\langle H,\tau \rangle \le M^{\prime }$，其中 $M^{\prime }$ 为 $M_{11}$ 的极大子群。又 $H\le M^{\prime }$，故 $11|\left|M^{\prime }\right|$，因而 $M^{\prime }\cong PSL\left(2,11\right)$ 这与 $\tau \notin PSL\left(2,11\right)$ 矛盾。所以， $\langle H,\tau \rangle =M_{11}$。令 $a2=\left(1,10\right)\left(2,8\right)\left(3,11\right)\left(5,7\right)$， $b2=\left(1,4,7,6\right)\left(2,11,10,9\right)$。令 $X=M_{11}=\langle a2,b2\rangle$。令 $u2={\left(b{2}^{-1}a2\right)}^5=\left(1,10,9,4,2,7,8,5,11,6,3\right)$， $v2=b{2}^{-1}{\left(a2b2\right)}^4{\left(b2a2\right)}^{2}b2{\left(b2a2\right)}^2=\left(2,7,6,4,10\right)\left(3,5,8,9,11\right)$。则 $H=Z_{11}=\langle u2\rangle$， $N_X\left(H\right)=Z_{11}:Z_5=\langle u2,v2\rangle$。令

$m=b{2}^{-1}a2b2a2b{2}^{-1}{\left(a2b{2}^{2}a2b{2}^{-1}\right)}^2{\left(a2b2\right)}^2=\left(1,8\right)\left(4,10\right)\left(5,6\right)\left(7,11\right)$，

$n=b{2}^{-1}{\left(a2b2\right)}^2{\left(b2a2\right)}^{2}b{2}^{-1}=\left(1,9,11\right)\left(2,3,4\right)\left(6,10,8\right)$，

则X的包含 $N_X\left(H\right)$ 的极大子群 $M=PSL\left(2,11\right)=\langle m,n\rangle$。另一方面，对合 $\tau \in X-M=M_{11}-PSL\left(2,11\right)$，因此满足条件的 $\tau$ 共110个且在 $N_X\left(H\right)$ 的共轭作用下恰好为2个轨道。不妨设其代表元素为： $t2=a2,t3=b{2}^{2}a2b{2}^2=\left(1,5\right)\left(2,7\right)\left(3,9\right)\left(8,10\right)$。下面我们考虑图 ${\Gamma }_{2,1}=Cos\left(X,H,t2\right)$ 和 ${\Gamma }_{2,2}=Cos\left(X,H,t3\right)$。通过MAGMA的计算，我们有 $Aut{\Gamma }_{2,1}=M_{11}^{}$， $Aut{\Gamma }_{2,2}=M_{11}^{}$ 且 ${\Gamma }_{2,1}$ 与 ${\Gamma }_{2,2}$ 互不同构，因此在这种情形下存在两个互不同构的无核11度1-正则Cayley图。最后，由于G在X中的指数为11，从X的所有极大子群结构我们得到 $G\cong M_{10}$。

3) 设 $\left(X,p\right)=\left(M_{23},23\right)$ 此时， $H=Z_{23}$。另一方面 $M_{23}$ 的所有极大子群为(由 [10] )： $M_{22}$， $PSL\left(3,4\right):Z_2^{}$， $Z_2^4:A_7$， $A_8$， $M_{11}$， $Z_2^4:\left(Z_3\times A_5\right):Z_2$， $Z_{23}:Z_{11}$。设 $M$ 为 $M_{23}$ 中包含 $N_{M_{23}}\left(Z_{23}\right)$ 的极大子群。由于 $H=Z_{23}\le M$，也就是 $23|\left|M\right|$。通过计算 $M_{23}$ 极大子群的阶可以得到 $M\cong Z_{23}:Z_{11}$。显然 $Z_{23}:Z_{11}\le N_{M_{23}}\left(Z_{23}\right)$，所以 $Z_{23}:Z_{11}=N_{M_{23}}\left(Z_{23}\right)$。此时，与1) 类似的讨论，我们可以得到存在对合 $\tau \in M_{23}-N_{M_{23}}\left(Z_{23}\right)$ 使得 $\langle H,\tau \rangle =M_{23}$。注意到 $\left|X:G\right|=\left|H\right|=23$，通过计算 $M_{23}$ 极大子群在 $M_{23}$ 中的指数得到 $G\cong M_{22}$。另一方面，由MAGMA的计算， $M_{23}$ 中所有对合在 $N_{M_{23}}\left(Z_{23}\right)$ 的共轭作用下恰好产生15个轨道。因此，在这种情形下我们得到互不同构图的个数 $n\left(\Gamma \right)\le 15$。

4) 设 $PGL\left(d,q\right)\le X\le P\Gamma L\left(d,q\right)$，且 $p=\left(q^d-1\right)\left(q-1\right)$。此时 $H=Z_p$ 且 $X\le PSL\left(d,q\right)\cdot O$，其中 $O\le P\Sigma L\left(d,q\right)/PSL\left(d,q\right)$。此时，由文献 [11]，我们可以得到 $G\cong \left[q^{d-1}\right]\cdot Z_{(q-1)/(q-1,d)}\cdot PSL\left(d-1,q\right)\cdot Z_{(q-1,d-1)}\cdot O$。下面设M为 $PSL\left(d,q\right)$ 中包含 $N_X\left(Z_p\right)$ 的极大子群。则存在2-元素 $\tau \in X-M$。若不然，M包含了 $PSL\left(d,q\right)$ 的所以Sylow2-子群。设 $P_1,P_2,\cdots ,P_i$ 为 $PSL\left(d,q\right)$ 的所有Sylow2-子群。则显然有 $\langle P_1,P_2,\cdots ,P_i\rangle \le M$ 且 $\langle P_1,P_2,\cdots ,P_i\rangle ⊲PSL\left(d,q\right)$。故 $M=PSL\left(d,q\right)$，这与M为 $PSL\left(d,q\right)$ 的极大子群矛盾。另一方面，由M的极大性及 $\tau \notin M$，有 $\langle H,\tau \rangle =X$。此外，由文献 [12] (注10.11)，有d必为素数。

5) 设 $X=S_p$ 其中 $p\ge 5$ 为素数。由于 $H=Z_p$ 且 $\left|X:G\right|=\left|H\right|=p$，因而 $G=S_{p-1}$。也就是 $\left(X,G\right)=\left(S_p,S_{p-1}\right)$。设M为X的极大子群满足 $N_X\left(H\right)\le M$。如果 $M=A_p$。则显然存在奇置换的2阶元 $\tau \in S_p-A_p$ (此时 $\tau \notin N_X\left(H\right)$ )使得 $\langle H,\tau \rangle =X$。因此，陪集图 $Cos\left(X,H,\tau \right)$ 即为满足我们条件的Cayley图。下面我们假设 $M\ne A_p$。由引理2.2， $M\cong AGL\left(1,p\right)\cap X$ 或者M为作用在 $\left[X:G\right]$ 的几乎单型本原置换群。我们先假设 $M\cong AGL\left(1,p\right)\cap X$。注意到 $AGL\left(1,p\right)\cong Z_p:Z_{p-1}$，因而 $M\cong \left(Z_p:Z_{p-1}\right)\cap X$。此时显然有 $M\le N_X\left(H\right)$，所以 $N_X\left(H\right)=M\cong \left(Z_p:Z_{p-1}\right)\cap X$。因为M为X的极大子群，因而存在对合 $\tau \in X-N_X\left(H\right)=X-\left(Z_p:Z_{p-1}\right)\cap X$ 满足 $\langle H,\tau \rangle =X$。下面我们假设M为几乎单型本原置换群。此时亦存在对合 $\tau \in X-M$ 使得 $\langle H,\tau \rangle =X$。若不然，M包含了X的所以2阶元。设X的所以2阶元生成的子群为P，则 $P\le M$ 且 $P⊲X$。另一方面， $X=S_p$ 的所有非单位元群正规子群为： $S_p$， $A_p$。这使得 $P=M\cong A_p$，与M为X的极大子群且 $M\ne A_p$ 矛盾。

6) 我们最后设 $X=A_p$，其中 $p\ge 5$ 为素数。由于在X中指数为p的子群同构于 $A_{p-1}$，所以 $G\cong A_{p-1}$。设M为X中包含 $N_X\left(H\right)$ 的极大子群。由引理2.2，我们有 $M\cong AGL\left(1,p\right)\cap X=\left(Z_p:Z_{p-1}\right)\cap X$。显然存在对合 $\tau \in X-M$ 使得 $\langle H,\tau \rangle =X$。若不然， $\langle H,\tau \rangle \le M^{\prime }$ 其中 $M^{\prime }$ 为X的极大子群。而 $p\ge 5$ 为素数，引理2.2显示 $M^{\prime }$ 只能为 $\left(Z_p:Z_{p-1}\right)\cap X$，也就是 $M^{\prime }=M$ 这与 $\tau \notin M$ 矛盾。因而， $Cos\left(X,H,\tau \right)$ 即为满足我们条件的Cayley图。■

基金项目

国家自然科学基金项目(12061089，11701503)；云南省教育厅科学研究基金项目(2017ZZX086)。

参考文献