Let $({\mathit{Z}}_{\mathit{n}})$ be a supercritical branching process in an independent and identically distributed random environment ξ. We deduce the exact decay rate of the probability $\mathbb{P}({\mathit{Z}}_{\mathit{n}}=\mathit{j}|{\mathit{Z}}_0=\mathit{k})$ as $\mathit{n}\to \infty$, for each $\mathit{j}\ge \mathit{k}$, assuming that $\mathbb{P}({\mathit{Z}}_1=0)=0$. We also study the existence of harmonic moments of the random variable $\mathit{W}={lim}_{\mathit{n}\to \infty }\frac{{\mathit{Z}}_{\mathit{n}}}{\mathbb{E}({\mathit{Z}}_{\mathit{n}}|\mathit{\xi })}$ under a simple moment condition.

Soit $({\mathit{Z}}_{\mathit{n}})$ un processus de branchement surcritique en environnement aléatoire ξ indépendant et identiquement distribué. Nous donnons un équivalent de la probabilité $\mathbb{P}({\mathit{Z}}_{\mathit{n}}=\mathit{j}|{\mathit{Z}}_0=\mathit{k})$ lorsque $\mathit{n}\to \infty$, pour tout $\mathit{j}\ge \mathit{k}$, sous la condition $\mathbb{P}({\mathit{Z}}_1=0)=0$. Nous étudions également l’existence des moments harmoniques de la variable aléatoire limite $\mathit{W}={lim}_{\mathit{n}\to \infty }\frac{{\mathit{Z}}_{\mathit{n}}}{\mathbb{E}({\mathit{Z}}_{\mathit{n}}|\mathit{\xi })}$, sous une hypothèse simple d’existence de moments.