In this paper we introduce a framework to prove the tightness of a sequence of discrete Gibbsian line ensembles ${\mathcal{L}}^{\mathit{N}}=\{{\mathcal{L}}_{\mathit{k}}^1(\mathit{u}),{\mathcal{L}}_{\mathit{k}}^2(\mathit{u}),\dots \}$, a countable collection of random curves. The sequence of discrete line ensembles ${\mathcal{L}}^{\mathit{N}}$ we consider enjoys a resampling invariance property, which we call $({\mathbf{H}}^{\mathit{N}},{\mathrm{H}}^{\mathrm{RW},\mathit{N}})$-Gibbs property. We assume that ${\mathcal{L}}^{\mathit{N}}$ satisfies technical Assumptions A1–A4 on $({\mathbf{H}}^{\mathit{N}},{\mathrm{H}}^{\mathrm{RW},\mathit{N}})$ and that the lowest labeled curve with a parabolic shift, ${\mathcal{L}}_1^{\mathit{N}}(\mathit{u})\mathbf{+}{\mathit{u}}^2/2$, converges weakly to a stationary process in the topology of uniform convergence on compact sets. Under these assumptions, we prove our main result Theorem 2.18 that ${\mathcal{L}}^{\mathit{N}}$ is tight and the H-Brownian Gibbs property holds for all subsequential limit line ensembles with $\mathbf{H}(\mathit{x})={\mathit{e}}^{\mathit{x}}$. Together with the characterization result in Dimitrov (2021), this proves the convergence to the KPZ line ensemble. As an application of Theorem 2.18, under the weak noise scaling, we show that the scaled log-gamma line ensemble ${\bar{\mathcal{L}}}^{\mathit{N}}$ converge to the KPZ line ensemble.

Dans cet article, nous introduisons un cadre de travail pour prouver la tension d’une suite d’ensembles discrets de droites gibbsiennes ${\mathcal{L}}^{\mathit{N}}=\{{\mathcal{L}}_{\mathit{k}}^1(\mathit{u}),{\mathcal{L}}_{\mathit{k}}^2(\mathit{u}),\dots \}$, une collection dénombrable de courbes aléatoires. La suite d’ensembles de lignes discrètes ${\mathcal{L}}^{\mathit{N}}$ que nous considérons jouit d’une propriété d’invariance par rééchantillonnage, que nous appelons propriété $({\mathbf{H}}^{\mathit{N}},{\mathrm{H}}^{\mathrm{RW},\mathit{N}})$-Gibbs. Nous supposons que ${\mathcal{L}}^{\mathit{N}}$ satisfait les hypothèses techniques A1–A4 sur $({\mathbf{H}}^{\mathit{N}},{\mathrm{H}}^{\mathrm{RW},\mathit{N}})$ et que la courbe étiquetée la plus basse avec un décalage parabolique, ${\mathcal{L}}_1^{\mathit{N}}(\mathit{u})\mathbf{+}{\mathit{u}}^2/2$, converge faiblement vers un processus stationnaire dans la topologie de la convergence uniforme sur les ensembles compacts. Sous ces hypothèses, nous prouvons notre résultat principal, Theorem 2.18, que ${\mathcal{L}}^{\mathit{N}}$ est tendu et que la propriété H-Brownienne de Gibbs est vraie pour toutes les limites de sous-suites des ensembles de lignes avec $\mathbf{H}(\mathit{x})={\mathit{e}}^{\mathit{x}}$. Avec le résultat de la caractérisation dans Dimitrov (2021), cela prouve la convergence vers l’ensemble de lignes KPZ. En application du théorème 2.18 nous montrons que, dans la limite de bruit faible, l’ensemble de lignes log-gamma mis à l’échelle ${\bar{\mathcal{L}}}^{\mathit{N}}$ converge vers l’ensemble de lignes KPZ.