We provide the exact large-time behavior of the tail distribution of the extinction time of a self-similar fragmentation process with a negative index of self-similarity, improving thus a previous result on the logarithmic asymptotic behavior of this tail. Two factors influence this behavior: the distribution of the largest fragment at the time of a dislocation and the index of self-similarity. As an application we obtain the asymptotic behavior of all positive moments of the largest fragment and compare it to the behavior of the positive moments of a tagged fragment, whose decrease is in general significantly slower. We illustrate our results on several examples, including fragmentations related to random real trees – for which we thus obtain the asymptotic behavior of the tail distribution of the height – such as the stable Lévy trees of Duquesne, Le Gall and Le Jan (including the Brownian tree of Aldous), the alpha-model of Ford and the beta-splitting model of Aldous.

Nous décrivons le comportement en temps grand de la queue de distribution du temps d’extinction d’un processus de fragmentation auto-similaire avec un indice d’auto-similarité négatif, améliorant significativement ainsi un résultat précédent sur le comportement logarithmique de cette queue. Deux facteurs influencent ce comportement : la distribution du plus gros fragment lors d’une dislocation et l’indice d’auto-similarité. Comme conséquence, nous obtenons le comportement asymptotique des moments positifs du plus grand fragment et le comparons au comportement des moments positifs d’un fragment marqué, dont la décroissance est en général significativement plus lente. Nous illustrons nos résultats avec plusieurs exemples, dont des fragmentations liées à des arbres réels aléatoires – pour lesquels nous obtenons ainsi le comportement asymptotique de la queue de distribution de la hauteur – tels que les arbres de Lévy stables de Duquesne, Le Gall et Le Jan (y compris l’arbre brownien d’Aldous), le modèle alpha de Ford et le modèle dit “beta-splitting” d’Aldous.