We consider a one dimensional Kac model with conservation of energy and an exclusion rule. Fix a number of particles n, and an energy $\mathit{E}>0$. Let each of the particles have an energy ${\mathit{x}}_{\mathit{j}}\ge 0$, with ${\sum }_{\mathit{j}=1}^{\mathit{n}}{\mathit{x}}_{\mathit{j}}=\mathit{E}$. For ϵ positive, the allowed configurations $({\mathit{x}}_1,\dots ,{\mathit{x}}_{\mathit{n}})$ are those that satisfy $|{\mathit{x}}_{\mathit{i}}-{\mathit{x}}_{\mathit{j}}|\ge \mathit{ϵ}$ for all $\mathit{i}\ne \mathit{j}$. At each step of the process, a pair $(\mathit{i},\mathit{j})$ of particles is selected uniformly at random, and then they “collide”, and there is a repartition of their total energy ${\mathit{x}}_{\mathit{i}}+{\mathit{x}}_{\mathit{j}}$ between them producing new energies ${\mathit{x}}_{\mathit{i}}^{\ast }$ and ${\mathit{x}}_{\mathit{j}}^{\ast }$ with ${\mathit{x}}_{\mathit{i}}^{\ast }+{\mathit{x}}_{\mathit{j}}^{\ast }={\mathit{x}}_{\mathit{i}}+{\mathit{x}}_{\mathit{j}}$, but with the restriction that exclusion rule is still observed for the new pair of energies. This process bears some resemblance to Kac models for Fermions in which the exclusion represents the effects of the Pauli exclusion principle. However, the “non-quantized” exclusion rule here, with only a lower bound on the gaps, introduces interesting novel features, and a detailed notion of Kac’s chaos is required to derive an evolution equation for the rescaled empirical measures for the process, as we show here.

Nous considerons un modèle de Kac unidimensionnel avec conservation de l’énergie et une règle d’exclusion. Pour un nombre de particules n, et une énergie $\mathit{E}>0$ fixes, soit ${\mathit{x}}_{\mathit{j}}\ge 0$ l’énergie de la particule j avec ${\sum }_{\mathit{j}=1}^{\mathit{n}}{\mathit{x}}_{\mathit{j}}=\mathit{E}$. Pour $\mathit{ϵ}>0$ les configurations admises de $({\mathit{x}}_1,\dots ,{\mathit{x}}_{\mathit{n}})$ sont celles qui satisfont $|{\mathit{x}}_{\mathit{i}}-{\mathit{x}}_{\mathit{j}}|\ge \mathit{ϵ}$, pour tout $\mathit{i}\ne \mathit{j}$. À chaque pas du processus, une paire $(\mathit{i},\mathit{j})$ de particules est sélectionnée uniformément au hasard, puis les particules « collisionnent ». Leur énergie totale ${\mathit{x}}_{\mathit{i}}+{\mathit{x}}_{\mathit{j}}$ est ensuite redistribuée produisant de nouvelles énergies ${\mathit{x}}_{\mathit{i}}^{\ast }$ et ${\mathit{x}}_{\mathit{j}}^{\ast }$ avec ${\mathit{x}}_{\mathit{i}}^{\ast }+{\mathit{x}}_{\mathit{j}}^{\ast }={\mathit{x}}_{\mathit{i}}+{\mathit{x}}_{\mathit{j}}$, de telle sorte que la règle d’exclusion soit toujours observée pour la nouvelle paire. Ce processus présente des ressamblances avec modèles de Kac pour Fermions dans lesquels l’exclusion représente les effets du principe d’exclusion de Pauli. Cependant, la règle d’exclusion « non quantifié » ici, avec seulement une borne inférieure sur les écarts, introduit des nouveautées intéressantes, et une notion détaillée du chaos de Kac nécessaire pour dériver une équation d’évolution pour des mesures empiriques réćhelonnée pour la processus, comme nous le montrons ici.