We study the problem of the non-parametric estimation for the density π of the stationary distribution of a stochastic two-dimensional damping Hamiltonian system ${({\mathit{Z}}_{\mathit{t}})}_{\mathit{t}\in [0,\mathit{T}]}={({\mathit{X}}_{\mathit{t}},{\mathit{Y}}_{\mathit{t}})}_{\mathit{t}\in [0,\mathit{T}]}$. From the continuous observation of the sampling path on $[0,\mathit{T}]$, we study the rate of estimation for $\mathit{\pi }({\mathit{x}}_{\star },{\mathit{y}}_{\star })$ as $\mathit{T}\to \infty$ where $({\mathit{x}}_{\star },{\mathit{y}}_{\star })\in {\mathbb{R}}^2$. We show that kernel based estimators can achieve the rate ${\mathit{T}}^{\mathit{v}}$ for some explicit exponent $\mathit{v}\in (0,1/2)$. One finding is that the rate of estimation depends on the smoothness of π and is completely different with the rate appearing in the standard i.i.d. setting or in the case of two-dimensional non–degenerate diffusion processes. Especially, this rate depends also on ${\mathit{y}}_{\star }$. Moreover, we obtain a minimax lower bound on the ${\mathit{L}}^2$-risk for pointwise estimation, with the same rate ${\mathit{T}}^{\mathit{v}}$, up to $ln(\mathit{T})$ terms.

Nous étudions le problème de l’estimation non paramétrique pour la densité π de la distribution stationnaire d’une équation différentielle stochastique bi-dimensionnelle correspondant à un système Hamiltonien amorti ${({\mathit{Z}}_{\mathit{t}})}_{\mathit{t}\in [0,\mathit{T}]}={({\mathit{X}}_{\mathit{t}},{\mathit{Y}}_{\mathit{t}})}_{\mathit{t}\in [0,\mathit{T}]}$. Depuis l’observation continue d’une trajectoire sur $[0,\mathit{T}]$, nous étudions la vitesse d’estimation pour $\mathit{\pi }({\mathit{x}}_{\star },{\mathit{y}}_{\star })$ quand $\mathit{T}\to \infty$ et $({\mathit{x}}_{\star },{\mathit{y}}_{\star })\in {\mathbb{R}}^2$. Nous montrons que des estimateurs à noyau atteignent la vitesse ${\mathit{T}}^{\mathit{v}}$ pour un exposant explicite $\mathit{v}\in (0,1/2)$. Nous trouvons que la vitesse d’estimation dépend de la régularité de π et est complètement différente des vitesses apparaissant dans le cadre classique des variables i.i.d. ou dans celui d’une diffusion bi-dimensionnelle non dégénérée. En particulier, cette vitesse dépend aussi de ${\mathit{y}}_{\star }$. De plus, nous obtenons une minoration du risque minimax ${\mathit{L}}^2$ pour l’estimation ponctuelle, avec la même vitesse ${\mathit{T}}^{\mathit{v}}$, à des facteurs $ln(\mathit{T})$ près.