We consider consistent diffusion dynamics, leaving the celebrated Hua–Pickrell measures, depending on a complex parameter $s$, invariant. These, give rise to Feller–Markov processes on the infinite dimensional boundary $\Omega $ of the “graph of spectra”, the continuum analogue of the Gelfand–Tsetlin graph, via the method of intertwiners of Borodin and Olshanski. In the particular case of $s=0$, this stochastic process is closely related to the $\mathsf{Sine_{2}}$ point process on $\mathbb{R}$ that describes the spectrum in the bulk of large random matrices. Equivalently, these coherent dynamics are associated to interlacing diffusions in Gelfand–Tsetlin patterns having certain Gibbs invariant measures. Moreover, under an application of the Cayley transform when $s=0$ we obtain processes on the circle leaving invariant the multilevel Circular Unitary Ensemble. We finally prove that the Feller processes on $\Omega $ corresponding to Dyson’s Brownian motion and its stationary analogue are given by explicit and very simple deterministic dynamical systems.

Nous considérons des dynamiques de diffusions cohérentes, laissant les fameuses mesures de Hua–Pickrell, dépendant d’un paramètre complexe $s$, invariantes. Celles-ci donnent lieu à des processus de Feller–Markov sur la frontière infini-dimensionnelle $\Omega $ du «graphe de spectres», l’analogue continu du graphe de Gelfand–Tsetlin, par la méthode des entrelacements de Borodin et Olshanski. Dans le cas particulier de $s=0$, ce processus stochastique est étroitement relié au processus ponctuel Sine2 sur R qui décrit l’intérieur du spectre des grandes matrices aléatoires. De manière équivalente, ces dynamiques cohérentes sont associées à des diffusions entrelacées dans des modèles de Gelfand–Tsetlin ayant certaines mesures invariantes de Gibbs. De plus, par une application de la transformation de Cayley lorsque $s=0$, nous obtenons des processus sur le cercle laissant invariant l’ensemble circulaire unitaire multiniveaux. Nous prouvons enfin que les processus de Feller sur $\Omega $ correspondant au mouvement brownien de Dyson et à son analogue stationnaire sont donnés par des systèmes dynamiques déterministes très simples et explicites.