In this thesis, we present results from the investigation of two problems, one related to the phase transition of long-range Ising models and the other one associated with the characterization of equilibrium states in quantum spin systems. Due to the long-range nature of the interactions, J|x-y|^-a, estimates using contours usually found in the literature have restrictions on the range of interactions ( a> d + 1 in Ginibre, Grossmann, and Ruelle in 1966 and Park in 1988 for discrete spin systems and possibly non-symmetric situations but with the restrictions a > 3d+1). We were able to extend the phase transition argument for long-range Ising-type models to the entire region a> d using the multi-scale arguments presented in the articles by Fröhlich and Spencer. In quantum statistical mechanics, the KMS condition is used as a characterization for the equilibrium states of the system. Widely studied today, it is known to be equivalent to other equilibrium notions such as satisfying the variational principles. We present another possible characterization of equilibrium states in quantum spin systems by generalizing the DLR equations to the quantum context using Poisson point process representations. We also discuss the relationship of these quantum DLR equations with the KMS states of a subclass of interactions that contains the Ising model with a transverse field.

Nesta tese, apresentamos resultados advindos da investigação de dois problemas: um deles, relacionado a transição de fase de modelos de Ising de longo-alcance e o outro, está relacionado com a caracterização de estados de equilíbrio em sistemas de spin quântico. Devido ao caráter longo-alcance das interações do tipo J|x-y|^-a, estimativas usando contornos usualmente encontrados na literatura apresentam restrições no alcance das interações ( a> d+1 em Ginibre, Grossmann e Ruelle em 1966 e subsequentemente Park em 1988 para sistemas com spin discreto possivelmente não simétricos porém a> 3d + 1). Conseguimos estender o argumento de transição de fase para modelos tipo Ising de longo-alcance ferromagnéticos para toda região a> d utilizando os argumentos multiescala apresentados nos artigos de Fröhlich e Spencer. Em mecânica estatística quântica, a condição KMS é utilizada como caracterização dos estados de equilibrio do sistema. Amplamente estudada hoje em dia, sabe-se que esta condição é equivalente a outras noções de equilíbrio tal como a de satisfazer o princípio variacional para sistemas invariantes por translação. Apresentamos uma outra possível caracterização de estados de equilíbrio para sistemas de spin quântico através de uma generalização das equações DLR para o contexto quântico utilizando representações com processos de Poisson. Também discutimos a relação destas equações DLR quânticas com os estados KMS de uma subclasse de interações que contém o modelo de Ising quântico com campo transversal.