The study of infinite graphs consists in a singular area from graph theory. In general, its problems cannot be approached by counting principles or optimizing algorithms, typical tools from finite combinatorics. In fact, a sort of arguments that support proofs in infinite graph theory are inherited from other branches of mathematics, mainly those in which the notion of infinite itself is a matter of study. Regarding that, this work lies in the intersection between graph theory, set theory and topology, where some problems from first area will be analysed under a viewpoint of the others. With some special depth, we will study the unfriendly partition conjecture and its state of art, as well as the notion of ends in infinite graphs and their applications. Incidentally, besides revisiting the literature concerning these discussions, this dissertation contributes original results.

O estudo de grafos infinitos configura a uma área singular da teoria de grafos. Em geral, seus problemas não podem ser abordados por meio de princípios de contagem ou algoritmos otimizadores, ferramentas típicas da combinatória finita. De fato, uma gama de argumentos que sustentam demonstrações na teoria de grafos infinitos são provenientes de outros campos da matemática, principalmente daqueles em que a própria noção de infinito é um objeto de estudo. Nesta direção, este trabalho se insere na intersecção entre teoria dos grafos, teoria dos conjuntos e topologia, em que certos problemas da primeira área serão analisados sob uma ótica das duas últimas. Com especial profundidade, estudaremos a conjectura da partição não-amigável e seu estado da arte, bem como as noções de extremidades em grafos infinitos e suas aplicações. Inclusive, além de revisitar a literatura pertinente a estas discussões, esta dissertação contribui com resultados originais.