On the well-posedness of Galbrun's equation

Abstract

Galbrun's equation, which is a second order partial differential equation describing the evolution of a so-called Lagrangian displacement vector field, can be used to study acoustics in background flows as well as perturbations of astrophysical flows. Our starting point for deriving Galbrun's equation is linearized Euler's equations, which is a first order system of partial differential equations that describe the evolution of the so-called Eulerian flow perturbations. Given a solution to linearized Euler's equations, we introduce the Lagrangian displacement as the solution to a linear first order partial differential equation, where the Eulerian perturbation of the fluid velocity acts as a source term. Our Lagrangian displacement solves Galbrun's equation, provided it is regular enough and that the so-called no-resonance assumption holds. In the case that the background flow is steady and tangential to the domain boundary, we prove existence, uniqueness, and continuous dependence on data of solutions to an initial–boundary-value problem for linearized Euler's equations. For such background flows, we demonstrate that the Lagrangian displacement is well-defined, that the initial datum of the Lagrangian displacement can be chosen in order to fulfill the no-resonance assumption, and derive a classical energy estimate for (sufficiently regular solutions to) Galbrun's equation. Due to the presence of zeroth order terms of indefinite signs in the equations, the energy estimate allows solutions that grow exponentially with time.

Résumé

L'équation de Galbrun, est une équation aux dérivées partielles du second ordre qui décrit l'évolution d'un champ de vecteurs déplacements, dit Lagrangien. Elle peut être utilisée pour étudier l'acoustique des écoulements à grande échelle, ainsi que les perturbations des écoulements astrophysiques. Notre point de départ, pour dériver l'équation de Galbrun, est l'équation d'Euler linéarisée, qui est un système d'équations aux dérivées partielles du premier ordre décrivant l'évolution des perturbations de l'écoulement. Une solution des équations d'Euler linéarisées étant donnée, nous introduisons le déplacement Lagrangien comme étant la solution d'une équation aux dérivées partielles linéaire du premier ordre, dont le second membre est la perturbation Eulérienne de la vitesse du fluide. Ce déplacement Lagrangien est solution de l'équation de Galbrun, à condition qu'il soit suffisamment régulier et que l'hypothèse dite de non-résonance soit satisfaite. Dans le cas où l'écoulement à grande échelle est stationnaire et tangent à la frontière du domaine, nous démontrons des résultats d'existence, d'unicité et de dépendance continue par rapport aux données, pour les solutions d'un problème aux limites avec condition initiale, pour les équations d'Euler linéarisées. Pour de tels écoulements, nous démontrons que le déplacement Lagrangien est bien défini, que la donnée initiale du déplacement Lagrangien peut être choisie afin de satisfaire à l'hypothèse de non-résonance et nous dérivons une estimation classique de l'énergie pour les solutions suffisamment régulières de l'équation de Galbrun. En raison de la présence de termes d'ordre zéro de signes indéfinis dans les équations, l'estimation de l'énergie autorise des solutions qui croissent exponentiellement avec le temps.