Gradient Ricci solitons with vanishing conditions on Weyl

https://doi.org/10.1016/j.matpur.2016.10.007Get rights and content
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Abstract

We classify complete gradient Ricci solitons satisfying a fourth-order vanishing condition on the Weyl tensor, improving previously known results. More precisely, we show that any n-dimensional (n4) gradient shrinking Ricci soliton with fourth order divergence-free Weyl tensor is either Einstein, or a finite quotient of Nnk×Rk, (k>0), the product of a Einstein manifold Nnk with the Gaussian shrinking soliton Rk. The technique applies also to the steady and expanding cases in all dimensions. In particular, we prove that a three dimensional gradient steady soliton with third order divergence-free Cotton tensor, i.e. with vanishing double divergence of the Bach tensor, is either flat or isometric to the Bryant soliton.

Résumé

On classe les solitons de Ricci de type gradient satisfaisant à une condition d'annulation d'ordre 4 sur le tenseur de Weyl, en améliorant des résultats précédents connus. Plus précisément, on montre que tout soliton contractant de Ricci de type gradient de dimension n (n4) est soit Einstein, soit un quotient fini de Nnk×Rk, (k>0), ce dernier étant le produit d'une variété d'Einstein Nnk avec le soliton contractant de Gauss Rk. Cette technique s'applique également au cas stationnaire et expansif en toute dimension. En particulier, on démontre l'assertion suivante : un soliton stationnaire de type gradient de dimension 3 avec divergence d'ordre 3 nulle du tenseur de Cotton, c'est–à-dire dont la divergence du tenseur de Bach s'annule deux fois, est soit plat soit isométrique au soliton de Bryant.

MSC

53C20
53C25
53C24

Keywords

Ricci solitons
Rigidity results
Weyl tensor
Integrability conditions

Cited by (0)

The three authors are supported by GNAMPA project “Strutture Speciali e PDEs in Geometria Riemanniana”.