We classify complete gradient Ricci solitons satisfying a fourth-order vanishing condition on the Weyl tensor, improving previously known results. More precisely, we show that any n-dimensional () gradient shrinking Ricci soliton with fourth order divergence-free Weyl tensor is either Einstein, or a finite quotient of , , the product of a Einstein manifold with the Gaussian shrinking soliton . The technique applies also to the steady and expanding cases in all dimensions. In particular, we prove that a three dimensional gradient steady soliton with third order divergence-free Cotton tensor, i.e. with vanishing double divergence of the Bach tensor, is either flat or isometric to the Bryant soliton.
Résumé
On classe les solitons de Ricci de type gradient satisfaisant à une condition d'annulation d'ordre 4 sur le tenseur de Weyl, en améliorant des résultats précédents connus. Plus précisément, on montre que tout soliton contractant de Ricci de type gradient de dimension n () est soit Einstein, soit un quotient fini de , , ce dernier étant le produit d'une variété d'Einstein avec le soliton contractant de Gauss . Cette technique s'applique également au cas stationnaire et expansif en toute dimension. En particulier, on démontre l'assertion suivante : un soliton stationnaire de type gradient de dimension 3 avec divergence d'ordre 3 nulle du tenseur de Cotton, c'est–à-dire dont la divergence du tenseur de Bach s'annule deux fois, est soit plat soit isométrique au soliton de Bryant.