Comptes Rendus
Mathematical Problems in Mechanics
Very weak solutions for the stationary Oseen and Navier–Stokes equations
[Solutions très faibles pour les équations stationnaires d'Oseen et de Navier–Stokes]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 5-6, pp. 335-339.

Nous considérons les équations stationnaires d'Oseen et de Navier–Stokes dans un ouvert borné connexe et de classe C1,1 de R3. Nous donnons ici une nouvelle preuve plus simple de l'existence de solutions très faibles (u,q)Lp(Ω)×W1,p(Ω) correspondant à des données au bord dans W1/p,p(Γ). Ces solutions sont obtenues sans hypothèse de petitesse des forces extérieures. On obtient aussi des résultats de régularité dans des espaces de Sobolev fractionnaires.

We consider the stationary Oseen and Navier–Stokes equations in a bounded connected domain of class C1,1 of R3. Here we give a new and simpler proof of the existence of very weak solutions (u,q)Lp(Ω)×W1,p(Ω) corresponding to boundary data in W1/p,p(Γ). These solutions are obtained without imposing smallness assumptions on the exterior forces. We also obtain regularity results in fractional Sobolev spaces.

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DOI : 10.1016/j.crma.2009.12.021
Chérif Amrouche 1 ; María Ángeles Rodríguez-Bellido 2

1 Laboratoire de mathématiques appliquées, CNRS UMR 5142, Université de Pau et des Pays de l'Adour, IPRA, avenue de l'université, 64000 Pau, France
2 Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, Universidad de Sevilla, Aptdo. de Correos 1160, 41080 Sevilla, Spain
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Chérif Amrouche; María Ángeles Rodríguez-Bellido. Very weak solutions for the stationary Oseen and Navier–Stokes equations. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 5-6, pp. 335-339. doi : 10.1016/j.crma.2009.12.021. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.12.021/

[1] C. Amrouche; V. Girault Decomposition of vector spaces and application to the Stokes problem in arbitrary dimension, Czechoslovak Math. J., Volume 44 (1994) no. 119, pp. 109-140

[2] C. Amrouche, M.A. Rodríguez-Bellido, Stationary Stokes, Oseen and Navier–Stokes equations with singular data, submitted for publication

[3] G.P. Galdi An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier–Stokes Equations, vol. 2: Nonlinear Steady Problems, Springer Tracts in Natural Philosophy, vol. 39, Springer, New York, 1994

[4] G.P. Galdi; C.G. Simader; H. Sohr A class of solutions to stationary Stokes and Navier–Stokes equations with boundary data in W1/q,q, Math. Ann., Volume 331 (2005), pp. 41-74

[5] H. Kim Existence and regularity of very weak solutions of the stationary Navier–Stokes equations, Arch. Rational Mech. Anal., Volume 193 (2009), pp. 117-152

[6] J. Leray Etude de divesres équations intégrales non linéaires et de quelques problèmes que pose l'hydrodynamique, J. Math. Pures Appl., Volume 12 (1933), pp. 1-82

[7] E. Marusič-Paloka Solvability of the Navier–Stokes system with L2 boundary data, Appl. Math. Optim., Volume 41 (2000), pp. 365-375

[8] D. Serre Équations de Navier–Stokes stationnaires avec données peu régulières, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (4), Volume 10 (1983), pp. 543-559

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