Probability distributions arising from nested Gaussians

Souad El Otmani; Armand Maul

doi:10.1016/j.crma.2009.01.009

Statistics

Probability distributions arising from nested Gaussians
[Lois de probabilités résultant de lois normales réitérées]

Présenté par : Paul Deheuvels

Souad El Otmani ¹ ; Armand Maul ¹

¹ Université Paul-Verlaine-Metz, LMAM, CNRS UMR 7122, Île du Saulcy, 57045 METZ, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 3-4, pp. 201-204.

Résumé
Abstract

On considère un échantillon aléatoire $X_{1}, \dots, X_{n}$ suivant la loi normale $N (μ, σ_{1}^{2})$ , de taille $n ⩾ 1$ . Conditionnellement à chaque $X_{i}, i = 1, \dots, n$ , on définit un nouvel échantillon aléatoire $X_{i, 1}, \dots, X_{i, n}$ suivant la loi normale $N (X_{i}, σ_{2}^{2})$ ( $N (X_{i}, σ_{2}^{2})$ est une notation introduite par commodité). Sous l'hypothèse que les n nouveaux échantillons aléatoires ainsi obtenus sont conditionnellement indépendants, on obtient un ensemble de points aléatoires de seconde génération. La question est d'étudier les propriétés de cet ensemble. On donne un théorème précisant la densité limite obtenue lorsque n tend vers l'infini, et on généralise ce théorème en étudiant ce qui se produit lorsque que l'on répète cette procédure jusqu'à obtenir, conditionnellement à chaque $X_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{p - 1}}, i_{1} = 1, \dots, n_{1}, i_{2} = 1, \dots, n_{2}, \dots, i_{p - 1} = 1, \dots, n_{p - 1}$ , de nouveaux échantillons aléatoires $X_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{p}}, i_{p} = 1, \dots, n_{p}$ suivant la loi normale $N (X_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{p - 1}}, σ_{p}^{2})$ .

We consider a random sample $X_{1}, \dots, X_{n}$ of size $n ⩾ 1$ from an $N (μ, σ_{1}^{2})$ Gaussian law. Then, conditionally on each $X_{i}, i = 1, \dots, n$ , we define a new random sample $X_{i, 1}, \dots, X_{i, n}$ from the $N (X_{i}, σ_{2}^{2})$ normal distribution ( $N (X_{i}, σ_{2}^{2})$ is notation introduced for convenience). Assuming that the so obtained n new random samples are conditionally independent, we get a second step randomly generated set of points. The question is to investigate the properties of this set. We give a theorem precising the limiting density obtained when n approaches infinity, and we generalize this theorem by studying what occurs when repeating this process until, conditionally on each $X_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{p - 1}}, i_{1} = 1, \dots, n_{1}, i_{2} = 1, \dots, n_{2}, \dots, i_{p - 1} = 1, \dots, n_{p - 1}$ , we get new random samples $X_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{p}}, i_{p} = 1, \dots, n_{p}$ , from the $N (X_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{p - 1}}, σ_{p}^{2})$ normal distribution.

Reçu le : 2007-11-19
Accepté le : 2009-01-14
Publié le : 2009-02-01

DOI : 10.1016/j.crma.2009.01.009

Affiliations des auteurs :

Souad El Otmani ¹ ; Armand Maul ¹

¹ Université Paul-Verlaine-Metz, LMAM, CNRS UMR 7122, Île du Saulcy, 57045 METZ, France

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Souad El Otmani; Armand Maul. Probability distributions arising from nested Gaussians. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 3-4, pp. 201-204. doi : 10.1016/j.crma.2009.01.009. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.01.009/

Bibliographie
Cité par

[1] S. Arora, R. Kannan, Learning mixtures of arbitrary Gaussians, in: Symposium on Theory of Computing (STOC), 2001

[2] S. Dasgupta, Learning mixtures of Gaussians, in: Proc. of Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), 1999

[3] B.S. Everitt; D.J. Hand Finite Mixture Distributions, Chapman and Hall, New York, 1981

[4] G.J. McLachlan; D. Peel Finite Mixture Models, Wiley, New York, 2000

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