Anticipative direct transformations on the Poisson space

Abstract

We study in this paper a new type of anticipative transformation on the Poisson space, which consist in adding and removing particles to an initial condition ω following a Poisson conditional distribution. We give some sufficient criteria ensuring that the distribution of the transformed system is absolutely continuous with respect to the initial Poisson distribution. Thanks to the independence properties of random Poisson measures, we split the transformation into an adapted part and an anticipative part, which is made of an almost surely finite number of modifications of the initial condition. The absolute continuity property for the adapted transformation is given by some ideas close to the ones used by Enchev and Stroock [4] in the context of transformations on the Wiener space. The same property for the anticipative part is solved thanks to some results coming from Picard [10]. As an application, we study an anticipative perturbation of a Lévy, β-stable isotropic process by another similar β′-stable process and give sufficient conditions to have an absolute continuity property.

Résumé

Nous étudions un nouveau type de transformation anticipante de l'espace de Poisson qui consiste à ajouter ou enlever certaine particules d'une condition initiale répartie suivant la mesure de Poisson. Sachant la condition initiale ω, les modifications sont aléatoires, régies par une mesure de Poisson dont l'intensité est fonction de ω. La question principale concerne l'absolue continuité de la loi du système transformé par rapport à la répartition de Poisson du système initial. Nous séparons de telles transformations en une partie adaptée et une partie anticipante : l'absolue continuité est obtenue pour la partie adaptée grâce à des idées semblables à celles utilisées par Enchev et Stroock [4] dans le cadre de l'espace de Wiener. La partie anticipative de la transformation est résolue grâce au calcul de Malliavin développé par Picard [10]. Nous appliquons ces résultats à létude de perturbations anticipatives d'un processus de Lévy β-stable par un autre processus de Lévy β′-stable, donnant un critère d'absolue continuité pour de telles perturbations.