Generalized fractal dimensions: equivalences and basic properties

https://doi.org/10.1016/S0021-7824(01)01219-3Get rights and content
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Résumé

Etant donné une mesure de probabilité μ sur R, nous établissons les propriétés de base des fonctions τμ±(q) et des dimensions fractales généralisées Dμ±(q), avec q∈R. Nous démontrons l'equivalence des dimensions de Hentschel–Procaccia avec les dimensions Rényi généralisées et les dimensions q-moyennées, et ce pour q>0. Nous utilisons alors cette équivalence afin de prouver les propriétés de régularité des fonctions τμ±(q) et Dμ±(q) ; nous donnons aussi quelques estimations des ces mesures, et en particulier leur comportement en ±∞, ainsi qu'une discussion sur les dimensions des mesures aprés convolution. Pour terminer, nous proposons des calculs de dimensions pour quelques exemples illustrant les cas rencontrés dans l'article.

Abstract

Given a positive probability Borel measure μ on R, we establish some basic properties of the associated functions τμ±(q) and of the generalized fractal dimensions Dμ±(q) for q∈R. We first give the equivalence of the Hentschel–Procaccia dimensions with the Rényi dimensions and the mean-q dimensions, for q>0. We then use these relations to prove some regularity properties for τμ±(q) and Dμ±(q); we also provide some estimates for these functions, in particular estimates on their behaviour at ±∞, as well as for the dimensions corresponding to convolution of two measures. We finally present some calculations for specific examples illustrating the different cases met in the article.

Keywords

Multifractal dimensions
Rényi dimensions
Hentschel–Procaccia dimensions
Generalized entropies dimensions

Cited by (0)

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Financially supported by M.E.N.R.T. through the project ACI Blanche.