Two-scale expansion of a singularly perturbed convection equation

https://doi.org/10.1016/S0021-7824(01)01215-6Get rights and content
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Abstract

In magnetic fusion, a plasma is constrained by a very large magnetic field, which introduces a new time scale, namely the period of rotation of the particles around the magnetic field lines. This new time scale is very restrictive for numerical simulation, which makes it important to find approximate models of the Vlasov–Poisson equation where it is removed. The gyrokinetic models aim at exactly this. Such models have been derived in the physics literature for several decades now, but only in the last few years there have been rigorous mathematical derivations. Those have only addressed the limit when the magnetic field becomes infinite. We consider here the Vlasov equation in different physical regimes for which small parameters are identified, and cast the obtained dimensionless equations into the abstract framework of a singularly perturbed convection equation. In this framework we derive an asymptotic expansion with respect to the small parameter of its solution, and characterize the terms of the expansion. The proofs make use of Allaire's two-scale convergence.

Résumé

Lors de la fusion par confinement magnétique, un plasma est confiné par un champ magnétique très fort, qui introduit une nouvelle échelle de temps qui est la période de rotation des particules autour des lignes de champ magnétique. Cette nouvelle échelle de temps est très pénalisante pour la simulation numérique ce qui rend essentiel l'utilisation de modèles approchés de l'équation de Vlasov–Poisson dans lesquels cette échelle n'apparaı̂t pas. Les modèles gyrocinétiques ont été introduits dans ce but. De tels modèles existent dans la littérature de physique depuis plusieurs décennies, mais des dérivations mathématiquement rigoureuses ont seulement été réalisées récemment. Celles-ci ont considéré la limite de l'équation de Vlasov–Poisson quand le champ magnétique tend vers l'infini. Nous considérons ici l'équation de Vlasov dans différents régimes physiques pour lesquels nous identifions des paramètres petits. Nous replaçons les équations adimensionnées obtenues dans le cadre abstrait d'une équation de convection singulièrement perturbée. Dans ce cadre nous dérivons un développement asymptotique par rapport au petit paramètre de la solution, et caractérisons les différents termes du développement. Les preuves sont basées sur la convergence à deux échelles introduite par Allaire.

Keywords

Vlasov equation
Singular perturbation
Two scale convergence
Asymptotic expansion

Mots-clé

Equation de Vlasov
Perturbation singulière
Convergence à deux échelles
Développement asymptotique

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