Elsevier

Signal Processing

Volume 43, Issue 2, May 1995, Pages 133-147
Signal Processing

Paper
On the performance of direction finding with time-varying arrays

https://doi.org/10.1016/0165-1684(94)00149-TGet rights and content

Abstract

This paper considers the problem of finding the directions of narrow-band signals using a time-varying array whose elements move during the observation interval in an arbitrary but known way. We derive the conditional maximum likelihood (CML) estimator for the directions-of-arrivals, and the corresponding Cramer-Rao bound (CRB). Using small-error analysis we derive analytical expressions for the bias and variance of the estimates. The CML is derived using a deterministic signal model. Its performance for Gaussian signal is, therefore, suboptimal. However, we demonstrate that for the case of two uncorrelated sources, and sufficiently high signal-to-noise ratio, the accuracy of the CML is close to the CRB derived for Gaussian signals. Thus, the closed-form expressions for the performance of the CML are useful for evaluating the performance of time-varying arrays. For uncorrelated sources, these expressions are significantly simpler than the corresponding expressions for the Gaussian signal model, and provide more insight into the problem. Furthermore, these expressions provide a simple quality measure for time-varying arrays which depends only on the time-varying geometry of the problem.

Zusammenfassung

Betrachtet wird das Problem, die Einfallsrichtungen von Schmalbandsignalen mit Hilfe eines zeitvariablen Arrays zu bestimmen. Die Arrayelemente bewegen sich während des Beobachtungsintervalls in beliebiger, aber bekannter Weise. Wir leiten den bedingten Maximum-Likelihood (CML-)Schätzer für die Einfallsrichtungen her sowie die zugehörige Cramer-Rao-Grenze (CRB). Unter der Annahme kleiner Fehler leiten wir analytische Ausdrücke für Ablage und Varianz der Schätzungen her. Der CML-Schätzer wird mit Hilfe eines deterministischen Signalmodells hergeleitet. Seine Leistungsfähigkeit für Gauβ-Signale ist daher suboptimal. Wir zeigen jedoch, daβ im Falle unkorrelierter Quellen und genügend hohen Signal-Stör-Abstandes die CML-Genauigkeit der CRB für Gauβ-Signale nahe kommt. Demnach sind die geschlossenen Ausdrücke für die Leistungsfähigkeit des CML-Schätzers von Nutzen für die Bewertung der Leistungsfähigkeit zeitvariabler Arrays. Für unkorrelierte Quellen sind diese Ausdrücke bedeutend einfacher als die entsprechenden Ausdrücke für das Gauβ-Signal-Modell, und sie liefern einen tieferen Einblick in das Problem. Darüber hinaus stellen die Ausdrücke ein einfaches Qualitätsmaβ für zeitvariable Arrays bereit, das nur von der zeitlich veränderlichen Problemgeometrie abhängt.

Résumé

Nous nous attaquons dans cet article au problème de recherche des directions de signaux à bande étroite à l'aide d'un réseau variant dans le temps dont les éléments bougent durant l'intervalle d'observation d'une façon arbitraire mais connue. Nous dérivons l'estimateur à maximum de vraisemblance conditionnelle (CML) pour les directions d'arrivée, et la borne de Cramer-Rao (CRB) correspondante. A l'aide d'une analyse de type petites erreurs nous dérivons des expressions analytiques pour le biais et la variance des estimées. Le CML est dérivé à l'aide d'une modèle déterministe de signal. Ses performances pour des signaux gaussiens sont, de ce fait, sous-optimales. Toutefois, nous démontrons que pour le cas de deux sources non corrélées, et un rapport signal sur bruit suffisamment élevé, la précision du CML est proche du CRB dérivé pour des signaux gaussiens. Les expressions analytiques des performances du CML sont donc utiles pour évaluer les performances de réseaux variant dans le temps. Pour des sources non corrélées, ces expressions sont significativement plus simples que les expressions correspondantes pour le modèle de signal gaussien, et procurent un meilleur apreçu du problème. De plus, ces expressions fournissent une mesure de qualité simple pour les réseaux variant dans le temps qui dépend seulement de la géométrie variant dans le temps du problème.

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    This work was supported by the Army Research Office under contract no. DAAL03-91-C-0022, sponsored by U.S. Army Communications Electronics Command, Center for Signals Warfare.

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