Elastostatic problems of curvilinear cracks in bonded dissimilar materials

Abstract

Boundary problems for a circular elastic insert bonded partially to the interior of an infinite medium of another material are formulated and solved in closed form. The unbonded portions of the interface may be regarded as circular arcs of discontinuities or curved cracks. By application of the complex function theory dealing with sectionally holomorphic functions, the present problem is reduced to the solution of the problem of linear relationship or Hilbert problem. Exact solutions to several examples of theoretical and practical importance are obtained. They include the cases of uni-axial tension applied at infinity and concentrated forces located in the insert and/or the surrounding material. Contact stresses are computed and compared to those for perfect bonding. It is found that the stresses near the tips of a curved crack possess the same trig-log character of singularity as those obtained for a straight crack between dissimilar media. Formulas for finding the crack-tip stress-intensity factors, employed m the Griffith-Irwin theory of fracture, are also derived.

Résumé

Les problèmes aux limites concernant un poinçon circulaire, élastique, en contact partiel à l'intérieur d'un milieu infini, en une autre matière, sont étudiés et résolus de très près. Les parties interfaciales, non au contact, peuvent être considérées comme des arcs circulaires de discontinuité ou fissures courbes. En appliquant la théorie des fonctions complexes aux fonctions holomorphs, le présent problème se réduit à trouver la solution du problème de relation linéaire ou problème d'Hilbert. On obtient des solutions exactes pour différents exemples qui présentent une importance théorique et pratique. Ceux-ci comprennent le cas de la force de traction uni-axiale, appliquée à l'infini et le cas de forces concentrée localisées dans le poinçon et/ou dans le matériau qui l'entoure. Les contraintes de contact sont calculées et compasées à celles du contact parfait. On constate que les contraintes, près de l'extrémité d'une fissure coubes, ont le même caractère de singularité d'apparition que celui que l'on observe sur une fissure droite entre deux milieux différents.

On donne également des formules permettant de trouver les facteurs d'intensité de contrainte, à la pointe de la fissure, que l'on utilise dans la théorie de la fracture de Griffith-Irwin.

Zusammenfassung

Für einen runden elastischen Einsatz, der stellenweise am Inneren eines aus einem anderen Material bestehenden unendlichen Mediums anhaftet, werden die Randwertprobleme formuliert und in geschlossener Form gelöst. Die nichthaftenden Stellen der Zwischenfläche können als die Kreisbögen einer Diskontinuität oder als kurvenförmige Risse angesehen werden. Durch Anwendung desjenigen Teils der Theorie der komplexen Funktionen, der sich mit sektionsmässigen holomorphen Funktionen befasst, lässt sich das vorliegende Problem auf ein Problem linearer Beziehung oder Hilbert-Problem reduzieren. Für verschieden Beispiele, die sowohl von theoretischer als auch praktischer Bedeutung sind, werden genaue Lösungen erhalten. Die behandelten Beispiele urnfassen die Fälle einer einachsig gerichteten, im Unendlichkeitspunkt angesetzten Kraft und den Fall einer im Einsatz und/oder im umgebenden Medium lokalisierten Punktkraft. Es werden die Berührungsbeanspruchungen berechnet und diese mit den bei vollkommener Bindung auftretenden Kräften verglichen. Es zeigt sich, dass die in der Nähe der Spitze des kurvenförmigen Risses auftretenden Beanspruchungen die gleiche trig-log Eigenschaft der Singularität besitzen, wie Beanspruchungen, die für einen geraden, zwischen unendlichen Medien verlaufenden Riss erhalten werden. Ausserdem werden Formehl abgeleitet, mit denen sich die Faktoren für die Intensität der Beanspruchung an der Risspitze, wie sie in der Bruchtheorie nach Griffith-Irwin Verwendung finden, bestimmen lassen.

Sumàrio

Si formulano e si risolvono in forma chiusa i problemi limite di un'inserto elastico circolare parzialmente legato all'interno di un mezzo infinito di un altro materiale. Le porzioni libere dell'interfaccia possono essere considerate come archi circolari di discontinuità o incrinature curve. Applicando la teoria della funzione complessa nel trattamento delle funzioni sezionalmente olomorfiche, il problema presente viene ridotto alla risoluzione del problema dei rapporti lineari o problema di Hilbert. Si ricavano soluzioni esatte di vari esempi di importanza teorica e pratica, che comprendono casi di tensione uniassiale applicata all'infinità e a forze concentrate dislocate nell'inserto e/oppure nel materiale circostante. Le sollecitazioni di contatto sono calcolate e confrontate con quelle del legame perfetto. Si è riscontrato che le sollecitazioni vicine alla sommità di un'incrinatura curva posseggono il medesimo carattere trilogaritmico di singolarità di quelle che si ottengono rispetto a un'incrinatura diritta fra mezzi dissimili. Si derivano inoltre le formule per scoprire i fattori dell'intensità di sollecitazione alla sommità delle incrinature impiegati nella teoria di frattura di Griffith-Irwin.

Реферат

Фopмyлиpyютcя и peшaютcя в зaкoHчeHHoй фopмe кpaeвыe зaдaчи, кacaющиecя кpyглoгo yпpyгoгo вклaдышa. чacтичHo cцeплeHHoгo c вHyтpeHHHeй cтopoHoй бecкoHeчoй cpeды из дpyгoгo мaтepиaлa. HecцeплeHHыe yчacтки Ha пoвepчHocти cтыкa мoгyт pacccaтpивaтьcя кaк кpyгoвыe дyги иecплoшHocти или кpивыe тpeщиHы. Пpи иcпpльзoвaHии тeopии кoмплecHoй фyHкции, oтHocящцeиcя к ceкциoHHo-гo лoмopфи к peшeHию зaдaчи пo лиHeйиoй зaвиcимocти или к зaдaчe Гильβepтa. ПoлyчeHы тoчHыe pcшeHя для Hecкoлpкич пpHмepoв тeopeтичecкoй и пpaктичecкoй вaжHocти. oHи oчвaтывaют cлyчaй oдHooceooгo pacтяьeHия пpилoжeHиoгo в βecкoHeчHocти и cлyчaи cocpeдoтoeHHыч ycилий пpилoжeeыч к вклaдышy или жe к oкyжaюцeмy мaтepиaлy. Иcчиcдяютcя cтык oвыe HapяжeHия HaпpяжeHиями пpи coвepшeHHoм cцeплeHии. oбHapyжиo, чтo HaпpяжeHия вблизи кpaeв кpивыч тpeщиH oβлaдaют тeм жe caмым cвoeoбpaзHым чpaгepoм тopмoзящeгo бapьepa, кaк и HaпpяжeHия пoлyчaeмыe для пpямoй тpeщиы мeждy paзличиыми cpeдaми. Bывoдятcя тaкж фopмyлы для пoкaзaтeлeи иHтeHcивHocти HaпpяжeHия Ha кpaю тpeщиHы, пpимeHяeмвыч в тeopии изл oмa Гpиффиca-И