A Dini type test on the pointwise convergence of double Fourier integrals

Abstract

We give sufficient conditions for the convergence of the double Fourier integral of a complex-valued function f ∈ L ¹(ℝ²) with bounded support at a given point (x ₀,y ₀) ∈ ℝ². It turns out that this convergence essentially depends on the convergence of the single Fourier integrals of the marginal functions f(x,y ₀), x ∈ ℝ, and f(x ₀,y), y ∈ ℝ, at the points x:= x ₀ and y:= y ₀, respectively. Our theorem applies to functions in the multiplicative Zygmund classes of functions in two variables.

Abstract

Установлены достаточные условия сходимости в точке (x ₀,y ₀) ∈ ℝ² двойных интегралов Фурье комплексноэначных функций f ∈ L ¹ (ℝ²) с ограниченным носителем. Окаэалось, что зта сходимость по сушсцеству эависит от сходимости обычных нтегралов Фурье функций f(x,y ₀), x ∈ ℝ и f(x ₀, y), y ∈ ℝ в точках x:= x ₀, и соответственно y:= y ₀. Приведены приложения докаэанной теоремы к мультипликативным классам Зигмунда функций двух переменных.