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Nombrils, bruslans, autrement foyerz: la géométrie projective en action dans le Brouillon Project de Girard Desargues

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Abstract

In the middle part of his Brouillon Project on conics, Girard Desargues develops the theory of the traversale, a notion that generalizes the Apollonian diameter and allows to give a unified treatment of the three kinds of conics. We showed elsewhere that it leads Desargues to a complete theory of projective polarity for conics. The present article, which shall close our study of the Brouillon Project, is devoted to the last part of the text, in which Desargues puts his theory of the traversal into practice by giving a very elegant tratment of the classical theory of parameters and foci. This will lead us to show that Desargues’ proofs can only be understood if one accepts that he reasons in a resolutely projective framework, completely assimilating elements at infinity to those at finite distance in his proofs.

Résumé

Le Brouillon Project de Girard Desargues sur les coniques développe, dans sa partie centrale, la notion de traversale, qui généralise celle de diamètre d’Apollonius et permet d’unifier le traitement des diverses espèces de coniques. Nous avons montré ailleurs que le Lyonnais y développe une théorie complète de la polarité projective des coniques. Nous allons dans le présent article analyser la fin du Brouillon Project, où la théorie de la traversale est mise en pratique pour donner un très élégant traitement du paramètre et des foyers. Cela nous permettra de montrer que les preuves de Desargues ne peuvent se comprendre que si l’on accepte qu’il raisonne dans un cadre que l’on peut qualifier de projectif, assimilant complètement les éléments à l’infini à ceux à distance finie dans ses démonstrations.

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Notes

  1. Advertissement pour la ligne 3 de la page 16.

  2. Nous renvoyons au chapitre Style cartésien, style arguésien du livre Granger (1988) de Gilles-Gaston Granger pour une analyse moins caricaturale.

  3. Plus précisément les pages 23 à 29 de l’original, voir plus bas.

  4. Intitulé L’exemple de l’une des manières du S\({}^{r}.\) G. D. L. touchant à la pratique de la perspective, Sans employer aucun tiers poinct de distance ou d’autre nature qui soit hors du champs de l’Ouvrage. Ouvrage disponible sur le site Gallica.

  5. Advice for line 3 on page 16.

  6. We refer to the chapter Style cartésien, style arguésien of Gilles-Gaston Granger’s book (Granger 1988) for a less caricatured analysis.

  7. More precisely pages 23 to 29 of the original, see below.

  8. Entitled The example of one of the ways of the S\({}^{r}\). G. D. L. touching the practice of perspective, Without employing any third point of distance or other nature which is out of the field of the Work. Available on the site Gallica.

  9. Les Advertissements.

  10. Ce document est disponible sur le site Gallica.

  11. VoirAnglade and Briend (2019).

  12. p. 23, l. 37–42.

  13. Ou conique.

  14. Michel Chasles, Géométrie de situation. Mémoire sur les propriétés de systèmes de sections coniques, situées dans un même plan, Annales de mathématiques pures et appliqués, tome 18 (1827–1828), pp. 277–301.

  15. p. 9, l. 4.

  16. Cela découle de l’engagement de la souche A d’entre les nœuds F et F, voir p. 23, l. 60.

  17. Dans l’orginal: Quand en un plan une droite PH, comme tronc etc..

  18. voirMydorge (1650), p. 385 et suivantes.

  19. p. 16, l. 56–61.

  20. p. 17, l. 32–36.

  21. p. 25, l. 3–8.

  22. p. 25, l. 54.

  23. p. 25, l. 29.

  24. p. 25, l. 31–33.

  25. p. 25, l. 34.

  26. p. 4, l. 7.

  27. p. 25, l. 40.

  28. p. 26, l. 1–6.

  29. René Taton la reprend textuellement dans Taton (1951).

  30. De la ligne 49 de la page 18 à la ligne 32 de la page 20.

  31. p. 26, l. 10–13.

  32. p. 26, Advertissements pour la ligne 13.

  33. p. 16, Advertissements pour la ligne 3.

  34. p. 26, l. 14–22.

  35. p. 26, l. 23–25.

  36. p. 26, l. 26.

  37. p. 26, l. 33–37.

  38. Voir la Fig. 7.

  39. p. 27, l. 8–11.

  40. p. 27. l. 26–28.

  41. p. 27, l. 29–34.

  42. p. 27, l. 17.

  43. p. 27, l. 59–61.

  44. p. 27, l. 41–44.

  45. p. 27, l. 54–55.

  46. p. 28, l. 6–7.

  47. p. 28, l. 8.

  48. p. 28, l. 17.

  49. p. 28, l. 18–19.

  50. p. 28, l. 20.

  51. p. 28, l. 23–24.

  52. p. 4, l. 15–18.

  53. p. 28, l. 37.

  54. Et le lecteur par la même occasion...

  55. p. 28, l. 48–52.

  56. Voir aussi l’article Anglade and Briend (2019).

  57. ou représentations.

  58. p. 29, l. 1–13.

  59. c’est-à-direles paramètres.

  60. Advertissements, pour la ligne 3 de la page 30. La ponctuation a été modifiée pour la rendre conforme aux usages contemporains.

  61. Les infiniment grandes et les infiniment petites.

  62. Voir le fragment de l’Introduction à la Géométrie dans Pascal (1914), pp. 291–294.

References

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Anglade, M., Briend, JY. Nombrils, bruslans, autrement foyerz: la géométrie projective en action dans le Brouillon Project de Girard Desargues. Arch. Hist. Exact Sci. 76, 173–206 (2022). https://doi.org/10.1007/s00407-021-00282-3

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