Cohomologie de l'espace des sections d'un fibre et cohomologie de Gelfand-Fuchs d'une variete

Résumé

Soit F↪ $E\xrightarrow{\pi }X$un fibré nilpotent, où les espaces sont connexes par arcs, nilpotents et ont le type d'homotopie de C.W. complexes de type fini. On suppose que H⁺(X,ℚ)≠0, qu'il existe n⩾1 tel que X a le type d'homotopie d'un complexe simplicial de dimension n, et F a le type d'homotopie de $\mathop V\limits_{i = l}^r {\mathbf{ }}S^{{}^ki^{ + l} }$où r⩾2 et inf(k_i)⩾n. Soit Γ l'espace des sections continues du fibré. On démontre qu'il existe N∈ℕ et une constante réelle C>1 tels que si p⩾N, on a $\sum\limits_{i = 0}^p {\dim {\mathbf{ }}H^i (\Gamma ,\mathbb{Q})} \geqslant C^p$dans les deux cas suivants : ou bien, le fibré est trivial (i.e. Γ=F^X), ou bien X a le type d'homotopie d'un bouquet S^d∨Y (où Y est un complexe simplicial de dimension ⩽n et d⩾1). On en déduit que la suite des dimensions des groupes de la cohomologie de Gelfand-Fuchs d'une variété M, C^∞, compacte, connexe, nilpotente de dimension ⩾2 telle que H⁺(M,ℝ)≠0, et dont toutes les classes de Pontryagin sont nulles est à croissance exponentielle.

ERA au CNRS 07 590