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References
Erweiterung des Satzes, dass zwei polare Dreieckt perspectivisch liegen, auf eine beliebige Zahl von Dimensionen [Journal für die reine und angewandte Mathematik, LXV (1866), pp. 189–197].
O. Hermes,Ueber homologe Tetraeder [Ibid, LVI (1859), pp. 218–246].
Reference
Si osservi la proprietà: Date comunque in Sn due piramidi riferite fra loro, ad ogni retta che tagli tutte le inter sezioni delle facce omologhe risulta coordinato un Sn−2 che si appoggia a tutte le congiungenti i vertici omologhi, e inversamente: una retta ed un Sn−2 fra loro coordinati essendo tali che esiste una collineazione assiale, che trasforma le due date piramidi l’una nell’altra, e di cui la retta e l’Sn−2 sono gli spazi fondamentali risp. di punti e d’iperpiani. Essa può dimostrarsi sia analiticamente, sia con metodo puramente geometrico estendendo il ragionamento fatto per n = 3 dalloSchur nella NotaUeber besondere Lagen zweier Tetraeder [Math. Ann., XIX (1882), pp. 429–432]. Nel primo modo si assuma come piramide fondamentale F una delle due date, e si dicano ai1, ai2 …, ai,n+1 le coordinate del vertice Pi dell’altra. Partendo allora, come nel testo, da un Sn−1 che tagli le rette Fi Pi, le formole della collineazione sono le stesse (6) del testo, dove però nei numeratori dei secondi membri si scambino fra loro i due indici delle aij (il cui determinante A ora non è più simmetrico); e la retta luogo dei punti uniti è quella in cui s’intersecano gli n + 1 iperpiani Questi ultimi, in conformità ad un noto teorema sulle omografie, sono gl’iperpiani di prospettiva delle coppie di stelle prospettive d’iperpiani aventi per centri gli Sn−3 in cui il dato Sn−2 vien tagliato dalle coppie di facce omologhe delle date piramidi. Che essi passino per una retta, segue del resto anche da ciò, che moltiplicando i primi membri delle loro equazioni risp. per Σa Ii u i,...,Σa n+I,iu i , oppure risp. per Σa Ii v i,...,Σa n+I,iv i , e sommando, le due somme, avuto riguardo alle (5), risultano identicamente nulle.
Reference
H. Schröter,Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung, etc., Leipzig (1880), pp. 95 e 204.
Reference
P. Muth,Zur hyperboloidischen Lage von Tetraederpaaren [Zeitschrift für Math. und Phys., XXXVIII (1893), pag. 314];Projective Form eines metrischen Satzes [Ibid., XXXIX (1894), pag. 116]. Caso particolare metrico notevole è questo, che,date in S n due piramidi di n+1vertici riferite tra loro, se le perpendicolari condotte dai vertici della prima sulle facce omologhe della seconda sono in posizione di Schläfli,hanno tale posizione anche le perpendicolari condotte dai vertici della seconda sulle facce omologhe della prima. Per n=3, cfr. J. Neuberg,Mémoire sur le tétraédre [Mém. cour, de l’Acad. r. de Belgique, t. XXXVII (1884)], n∘ 22.
Reference
F. Schur,Ueber eine besondere Classe von Flächen vierter Ordnung [Math. Ann., XX (1882), pp. 254–296]; M. Munk,Ueber du möglichen Fälle mehrfach hyper-boloidischer Lagen zweier Tetraeder [Inaug.-Diss., Marburg 1893]; J. Vàlyi,Ueber das räumliche Analogon des Desargues’schenSatzes [Math. und Naturw. Berichte aus Ungarn, XIII (1896), pag. 166].
References
P. Muth,Ueber Tetraederpaare [Zeitschrift für Math. und Phys., XXXVII (1892), pag. 116].
Cfr. la mia NotaSulla omologia di due piramidi in un iperspazio [Rend, della R. Accad. dei Lincei, série 5a, volume XIII1 (1904), pag. 446].
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Berzolari, L. Sui sistemi din + 1 rette dello spazio adn dimensioni, situate in posizione di schläfli. Rend. Circ. Matem. Palermo 20, 229–247 (1905). https://doi.org/10.1007/BF03014038
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