Nonparametric estimation: The survival function

Resumen

Se considera la función de supervivencia desconociaS(t) de una variable aleatoriaT≥0. Primero estudiamos las propiedades deS(t) y luego, la estimamos desde un punto de vista Bayesiano, obteniendo, bajo pérdida cuadrática, el estimador

$$\hat S(t) = [1 - p_n (t)]S_n (t) + p_n (t)S_0 (t)$$

y el riesgo Bayes mínimo asociado dondeS _n (t) es la función de supervivencia empírica,S ₀ (t) la función de supervivencia a priori,R _min(0)=V(S(t)) el riesgo en el problema sin muestra y

$$p_n (t) = \frac{{S_0 (t) - E[S^2 (t)]}}{{S_0 (t) + (n - 1)E[S^2 (t)] - nS_0^2 (t)}}, 0 \leqslant p_n (t) \leqslant 1$$

siendoŜ(t) _c.s. →S(t) y R _min (n) _n→∞ →0. Comparamos dicho estimador con la media a posteriori y después de ver condiciones generales bajo las cuales los coeficientes, en las estimaciones Bayesianas lineales, suman uno, terminamos dando reglas Bayes para las funciones lineales deS(t).

Summary

The unknown survival functionS(t) of a random variableT≥0 is considered. First we study the properties ofS(t) and then, we estimate it from a Bayesian point of view. We compare the estimator with the posterior mean and we finish giving Bayes rules for linear functions ofS(t).